Диссертация (1150701), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда двойное неравенство (2.19) для можнозаписать следующим образом:1/2 −1/2 −1 ⊕ −1/2 −1/2 ⊕ ≤ ≤ (−1/2 −1/2 −1 ⊕ −1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 .При этом для выражений слева и справа выполняются неравенства1/2 −1/2 −1 ≤ 1/2 −1/2 −1 ⊕ −1/2 −1/2 ⊕ ,53(−1/2 −1/2 −1 ⊕ −1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ≤ (−1/2 1/2 )−1 = 1/2 −1/2 −1 .Отсюда можно сделать вывод, что если = 1/2 1/2 , то выполняется равенство = 1/2 −1/2 −1 , где = (−1/2 −1/2 ⊕ )1− (−1/2 −1/2 ⊕ −1 )− ,0 ≤ ≤ 1.При = 1/2 1/2 аналогичным образом получим = 1/2 −1/2 , где = (−1/2 −1/2 ⊕ )1− (−1/2 −1/2 ⊕ −1 )− ,0 ≤ ≤ 1.Исследование этого случая завершает доказательство теоремы.Сформулируем полученный результат в более компактной форме.Следствие 8. Введем обозначения = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ , = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ , = 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 .Тогда минимум в задаче (2.18) равен = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ ⊕ и достигается тогда и только тогда, когда = (−1 ⊕ )1− (−1 ⊕ −1 )− ,(2.22) = (−1 −1 ⊕ −1 ⊕ )1− (−1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 )− ,(2.23)где – вещественное число, удовлетворяющее условию 0 ≤ ≤ 1.Доказательство.
При доказательстве теоремы 5 было показано, что множество решений (,) задачи (2.18) описывается при помощи двойного неравенства−1 −1 ⊕ −1 ⊕ ≤ ≤ (−1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 ,где величина является решением задачи (2.20).Решение задачи (2.20) с помощью следствия 5 дает результат в параметрической форме (2.22).54Ясно, что двойное неравенство для также может быть записано в видеравенства с использованием некоторого параметра. Заметим, что в каждом изслучаев решения, исследованных в теореме 5, по крайней мере одна из величин и определяется однозначно без помощи параметров.
В силу этого, параметрическое представление для можно также записать с использованием в виде(2.23).Теперь рассмотрим два частных случая задачи, когда одна из переменныхне имеет ограничений. Сначала рассмотрим задачуmin −1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 ⊕ ,(2.24),∈X ≤ ≤ .Следующий результат описывает все решения рассматриваемой задачи.Следствие 9. Минимум в задаче (2.24) равен = 1/2 1/2 −1 ⊕ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2и справедливы следующие утверждения:1) если = 1/2 1/2 −1 , то = , = 1/2 −1/2 ; = , = 1/2 −1/2 ;2) если = 1/2 1/2 , то3) если = 1/2 1/2 , то = (1/2 −1/2 ⊕ )1− (−1/2 1/2 ⊕ −1 )− , = 1/2 −1/2 −1 ;4) если = 1/2 1/2 , то = (1/2 −1/2 ⊕ )1− (−1/2 1/2 ⊕ −1 )− , = 1/2 −1/2 ,55где – вещественное число, удовлетворяющее условию 0 ≤ ≤ 1.Теперь рассмотрим вариант, когда у отсутствуют ограничения.min −1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 ⊕ ,(2.25),∈X ≤ ≤ .Следующий результат описывает все решения рассматриваемой задачи.Следствие 10.
Введем обозначения = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ , = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ .Тогда минимум в задаче (2.25) равен = 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2и справедливы следующие утверждения:1) если = 1/2 1/2 при = 1/2 1/2 и = −1 или = −1 , то = (1/4 1/4 ⊕ 1/2 −1/2 )(1/2 −1/2 ⊕ 1/2 )−1 , = ;2) если = 1/2 1/2 при = 1/2 1/2 и = или = , то = (1/4 1/4 ⊕ 1/2 1/2 )(1/2 1/2 ⊕ 1/2 )−1 , = ;3) если = 1/2 1/2 , то = (−1/2 −1/2 )1− (−1/2 −1/2 )− = 2−1 1− − , = 1/2 −1/2 −1 ;4) если = 1/2 1/2 , то = (−1/2 −1/2 )1− (−1/2 −1/2 )− = 2−1 1− − , = 1/2 −1/2 ,где – вещественное число, удовлетворяющее условию 0 ≤ ≤ 1.562.2.4Решение задачи с двумя переменнымиПусть заданы числа ,,,,,,,ℎ, > 0.
Требуется найти ненулевые решения , ∈ X задачиmin −1 ⊕ −1 ⊕ ⊕ ⊕ −1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 ⊕ ℎ ⊕ .,∈X(2.26)Теорема 6. Введем обозначения1 = 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 ,1 = 1/2 ℎ1/2 ⊕ ,1 = 1/2 ℎ1/2 ⊕ 1/2 1/2 ,1 = 1/2 1/2 ⊕ ,1 = 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 ℎ1/2 ⊕ .(2.27)Тогда минимум в задаче (2.26) равен1/2 1/22/3 1/32/3 1/31/2 1/2 = 1 1 ⊕ 1 1 ⊕ 1 1 ⊕ 1 1 ⊕ 1и справедливы следующие утверждения:1/2 1/21) если = 1 1 , то = 1 −11 и⎧⎨3/4 −1/4 −1/2 , если 1 = 1/2 1/2 ,1=⎩−3/4 1/4 1/2 ,если 1 = 1/2 1/2 ;12/3 1/32/3 −2/32) если = 1 1 , то = 1 1и⎧⎨2/3 −1/3 −1/3 , если 1 = 1/2 1/2 ,1=⎩−2/3 1/3 1/3 ,если 1 = 1/2 1/2 ;12/3 1/3−2/3 2/313) если = 1 1 , то = 1и⎧⎨2/3 ℎ−1/3 −1/3 , если 1 = 1/2 ℎ1/2 ,1=⎩−2/3 1/3 1/3 , если = 1/2 1/2 ;11571/2 −1/21/2 1/24) если = 1 1 , то = 1 1=и⎧⎪⎪1/2 −1/2 ,⎪⎪⎪⎪⎨ 1/2 ℎ−1/2 ,если 1 = 1/2 1/2 ,если 1 = 1/2 ℎ1/2 ,⎪⎪(−1/2 −1/2 ⊕ −1 ⊕ −1 )1− ⊗⎪⎪⎪⎪⎩⊗(−1/2 −1/2 ⊕ −1 ⊕ −1 ℎ)− , если = , = ;11−1 1− 2 −2−5) если = 1 , то = (21 −2(1 1 ⊕ 1 −1и1 ⊕ 1 1 )1 )⎧⎪1/2 −1/2 ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ −1/2 1/2 ,⎪⎨ = 1/2 ℎ−1/2 −1 ,⎪⎪⎪⎪−1−1 −1−11−⎪(⊕⊕)⊗⎪⎪⎪⎪⎩⊗( −1 ⊕ −1 −1 ⊕ −1 ℎ)− ,если 1 = 1/2 1/2 ,если 1 = 1/2 1/2 ,если 1 = 1/2 ℎ1/2 ,если 1 = ,где , – вещественные числа, удовлетворяющие условиям 0 ≤ ≤ 1,0 ≤ ≤ 1.Доказательство.
Обозначим минимум целевой функции в задаче (2.26) через . Тогда все решения задачи определяются неравенством−1 ⊕ −1 ⊕ ⊕ ⊕ −1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 ⊕ ℎ ⊕ ≤ .Полученное неравенство эквивалентно системе−1 ≤ , −1 ≤ , ≤ , ≤ ,−1 −1 ≤ , −1 ≤ , −1 ≤ , ℎ ≤ , ≤ .(2.28)Заметим, что перемножение соответствующих частей, например, первого итретьего неравенств дает ≤ 2 , откуда с учетом условия леммы следует, что ≥ 1/2 1/2 > 0.58Решим систему относительно , считая параметром.
Рассмотрим неравенства, в которых имеется переменная , и представим их в виде ≥ −1 , ≤ −1 , ≥ −1 −1 , ≤ −1 , ≥ −1 , ≤ ℎ−1 −1 .Объединив вместе соответствующие неравенства, получим двойное неравенство−1 ( ⊕ −1 ⊕ ) ≤ ≤ ( ⊕ −1 ⊕ ℎ)−1 .(2.29)Множество значений , удовлетворяющих этому неравенству, непусто, есливыполняется условие( ⊕ −1 ⊕ )( ⊕ −1 ⊕ ℎ) ≤ 2 .Раскроем скобки слева и извлечем квадратный корень из обоих частей неравенства. После добавления тех неравенств из (2.28), которые не зависят от ,получим ≥ (1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 )−1/2 ⊕ (1/2 ℎ1/2 ⊕ 1/2 1/2 )1/2 ⊕⊕ (1/2 1/2 ⊕ )−1 ⊕ ( 1/2 ℎ1/2 ⊕ ) ⊕ (1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 ℎ1/2 ⊕ ).Заметим, что переход от исходной задачи к этому неравенству, в котором обозначает минимум целевой функции, включал только эквивалентные преобразования.
Из этого следует, что полученное неравенство задает точную нижнюю границу для , выраженную через , а потому необходимо решить задачуоптимизации следующего видаmin (1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 )−1/2 ⊕ (1/2 ℎ1/2 ⊕ 1/2 1/2 )1/2 ⊕⊕ (1/2 1/2 ⊕ )−1 ⊕ ( 1/2 ℎ1/2 )⊕⊕ (1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 ℎ1/2 ⊕ ). (2.30)59С учетом обозначений (2.27), задача (2.30) может быть записана в краткойформеmin 1 −1/2 ⊕ 1 1/2 ⊕ 1 −1 ⊕ 1 ⊕ 1 .Применение теоремы 4 для решения задачи дает минимальное значение1/2 1/22/3 1/32/3 1/31/2 1/2 = 1 1 ⊕ 1 1 ⊕ 1 1 ⊕ 1 1 ⊕ 1 ,причем выполняются следующие условия:1/2 1/21) если = 1 1 , то = 1 −11 ;2/3 1/32/3 −2/32/3 1/3−2/3 2/31 ;1/2 1/21/2 −1/22) если = 1 1 , то = 1 1;3) если = 1 1 , то = 14) если = 1 1 , то = 1 1;−1 1− 2 −2−(1 1 ⊕ 1 −15) если = 1 , то = (21 −21 ) ,1 ⊕ 1 1 )0 ≤ ≤ 1.Рассмотрим различные значения, которые может принимать величина иуточним полученное решение.1/2Случай = 1/21 11/2 1/2Предположим, что = 1 1 .
В этом случае = 1 −11 , а двойное неравенство (2.29) для можно записать в виде−1/2 −1/21 (11/2 1/2−1−1−1 −1⊕ −11 1 ⊕ 1 1 ) ≤ ≤ 1 1 ( ⊕ 1 1 ⊕ 1 1 ℎ) .Рассмотрим все значения, которые может принимать 1 , определенное поформулам (2.27). Найдем соответствующие представления для и .Пусть 1 = 1/2 1/2 .Двойное неравенство для в этом случае преобразуется к виду−1/2−1/4 −1/4 1( ⊕ −1/2 −1/2 1 ⊕ 1/2 1/2 1−1 ) ≤ ≤1/2−1≤ ≤ 1/4 1/4 1 ( ⊕ −1/2 −1/2 1 ⊕ 1/2 1/2 −11 ℎ) ,60−1/23/4 −1/4 1−1/2≤ 3/4 −1/4 1−1/2≤ ≤ (−1/4 −1/4 1−3/21/2⊕ −3/4 −3/4 1 ⊕ 1/4 1/4 1−3/21/2 ⊕ −3/4 1/4 1 ⊕ 1/4 1/4 1−1/2откуда следует, что = 3/4 −1/4 1≤≤−1/2ℎ)−1 ≤ 3/4 −1/4 1,.Применяя такие же рассуждения, находим, что при 1 = 1/2 1/2 выполня1/2ется равенство = −3/4 1/4 1 .1/3Случай = 2/31 12/3 −2/32/3 1/3Предположим, что = 1 1 .
В этом случае = 1 1, а двойноенеравенство (2.29) для можно записать в виде−2/3 −1/31 (1−2/3 2/31 ⊕ 12/3 −2/3⊕ 1 1) ≤−2/3 2/31 2/3 1/3≤ ≤ 1 1 ( ⊕ 12/3 −2/3⊕ 1 1ℎ)−1 .Рассмотрим все значения, которые может принимать 1 , определенное поформулам (2.27).
Найдем соответствующие представления для и .Пусть 1 = 1/2 1/2 .Двойное неравенство для в этом случае преобразуется к виду−1/3−1/3 −1/3 1−2/32/3( ⊕ −1/3 −1/3 1 ⊕ 1/3 1/3 1) ≤ ≤1/32/3−2/3≤ ≤ 1/3 1/3 1 ( ⊕ −1/3 −1/3 1 ⊕ 1/3 1/3 1−1/32/3 −1/3 1−1/3≤ 2/3 −1/3 11/3⊕ −2/3 −2/3 1 ⊕ −11 ≤ ≤−1/3≤ ≤ (−1/3 −1/3 1ℎ)−1 ,1/3−1/3−1 ⊕ −2/3 1/3 1 ⊕ −1≤ 2/3 −1/3 11 ℎ)−1/3откуда следует, что = 2/3 −1/3 1,.Повторим рассуждения для случая 1 = 1/2 1/2 и получим равенство =1/3−2/3 1/3 1 .611/3Случай = 2/31 1−2/3 2/31 ,2/3 1/3Предположим, что = 1 1 .
В этом случае = 1а двойноенеравенство (2.29) для можно записать в виде−2/3 −1/31 (12/3 −2/3⊕ 1 1−2/3 2/31 ) ⊕ 1≤≤2/3 −2/32/3 1/3≤ ≤ 1 1 ( ⊕ 1 1−2/3 2/3 −11 ℎ) . ⊕ 1Рассмотрим все значения, которые может принимать 1 , определенное поформулам (2.27). Найдем соответствующие представления для и .Пусть 1 = 1/2 ℎ1/2 .Двойное неравенство для в этом случае преобразуется к виду−1/3−1/3 ℎ−1/3 1−2/3( ⊕ 1/3 ℎ1/3 12/3 ⊕ −1/3 ℎ−1/3 1 ) ≤ ≤−2/31/3≤ ≤ 1/3 ℎ1/3 1 ( ⊕ 1/3 ℎ1/3 1−1/32/3 ℎ−1/3 1−1/3≤ 2/3 ℎ−1/3 12/3 ⊕ −1/3 ℎ−1/3 1 ℎ)−1 ,1/3−2/3 −2/3⊕ −1ℎ1 ≤ ≤1 ⊕−1/3≤ ≤ (−1/3 ℎ−1/3 1−1/31/3−2/3 1/3 ⊕ −1ℎ 1 )−1 ≤ 2/3 ℎ−1/3 11 ⊕−1/3откуда следует, что = 2/3 ℎ−1/3 1,.1/3В случае, если 1 = 1/2 1/2 аналогично можно получить = −2/3 1/3 1 .1/2Случай = 1/21 11/2 −1/21/2 1/2Предположим, что = 1 1 .
В этом случае = 1 1, а двойноенеравенство (2.29) для можно записать в виде−1/2 −1/21 (1−1/2 1/21 ⊕ 11/2 −1/2⊕ 1 1) ≤ ≤1/2 1/2−1/2 1/21 ≤ ≤ 1 1 ( ⊕ 11/2 −1/2⊕ 1 1ℎ)−1 .Рассмотрим все значения, которые могут принимать 1 и 1 , определенноепо формулам (2.27). Найдем соответствующие представления для и .Пусть 1 = 1/2 1/2 .62Двойное неравенство для в этом случае преобразуется к виду−1/2−1/4 −1/4 1−1/21/2( ⊕ −1/4 −1/4 1 ⊕ 1/4 1/4 11/2) ≤ ≤1/2−1/2≤ ≤ 1/4 1/4 1 ( ⊕ −1/4 −1/4 1 ⊕ 1/4 1/4 1−1/21/2 −1/2 ≤ −1/4 −1/4 1ℎ)−1 , ⊕ 1/2 −1/2 ⊕ −11 ≤ ≤−1/2≤ ≤ (−1/4 −1/4 1−1 ⊕ −1/2 1/2 ⊕ −1≤ 1/2 −1/2 ,1 ℎ)откуда следует, что = 1/2 −1/2 .Рассмотрим случай 1 = 1/2 ℎ1/2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
