Диссертация (1150701), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть = 1/2 1/2 . После подстановки вформулу (2.17) и применения свойств монотонности идемпотентного сложенияполучим−1 ≤ −1 −1 2 ⊕ −1/2 −1/2 ≤ ≤ (−1 −1 2 ⊕ −1/2 −1/2 )−1 ≤ −1 ,откуда можно заключить, что = −1 .Аналогичным образом можно проверить, что при = 2/3 1/3 имеет месторавенство = 2/3 −2/3 , при = 2/3 1/3 равенство = −2/3 2/3 , а при =1/2 1/2 равенство = 1/2 −1/2 .При условии, что = , представление для (2.15) принимает вид = (2 −2 ⊕ −1 )1− (2 −2 ⊕ −1 )− ,для любого 0 ≤ ≤ 1.2.2.3Решение задачи с двумя переменными с ограничениямиПусть заданы числа ,,,,,,, > 0. Требуется найти ненулевые решения, ∈ X задачиmin −1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 ⊕ ,,∈X ≤ ≤ ,(2.18) ≤ ≤ .Следующий результат описывает все решения рассматриваемой задачи.Теорема 5.
Введем обозначения = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ , = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ .45Тогда минимум в задаче (2.18) равен = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ ⊕ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2и справедливы следующие утверждения:1) если = 1/2 1/2 при = 1/2 1/2 и = −1 или = −1 , то = (1/4 1/4 ⊕ 1/2 −1/2 )(1/2 −1/2 ⊕ 1/2 )−1 , = ;2) если = 1/2 1/2 при = 1/2 1/2 и = или = , то = (1/4 1/4 ⊕ 1/2 1/2 )(1/2 1/2 ⊕ 1/2 )−1 , = ;3) если = −1 , то = , = (−1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ⊕ ;4) если = , то = , = (−1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ⊕ ;5) если = 1/2 1/2 , то = (−1/2 −1/2 ⊕ )1− (−1/2 −1/2 ⊕ −1 )− , = 1/2 −1/2 −1 ;6) если = 1/2 1/2 , то = (−1/2 −1/2 ⊕ )1− (−1/2 −1/2 ⊕ −1 )− , = 1/2 −1/2 ,где – вещественное число, удовлетворяющее условию 0 ≤ ≤ 1.Доказательство. Обозначим минимум целевой функции в задаче (2.18) через . Тогда все решения задачи определяются системой, состоящей из уравне-46ния и двух неравенств,−1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 ⊕ = , ≤ ≤ , ≤ ≤ .В силу того, что – минимальное значение целевой функции, равенство впервом уравнении можно заменить на неравенство и записать систему так:−1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 ⊕ ≤ , ≤ ≤ , ≤ ≤ .Полученная система неравенств эквивалентна системе−1 −1 ≤ ,−1 ≤ ,−1 ≤ , ≤ , ≤ , ≤ , ≤ , ≤ .Заметим, что перемножение соответствующих частей, например, первого и четвертого неравенств дает ≤ 2 , откуда с учетом условия леммы следует, что ≥ 1/2 1/2 > 0.Решим систему относительно неизвестного , считая параметром.Решения неравенств −1 −1 ≤ и −1 ≤ относительно имеют вид ≥−1 −1 и ≥ −1 .
Объединив их с условием ≥ , приходим к неравенству ≥ −1 −1 ⊕ −1 ⊕ .Рассмотрим неравенства −1 ≤ и ≤ , которые решим относительно−1 , чтобы получить −1 ≥ −1 −1 и −1 ≥ −1 . Найденные решения вместес условием −1 ≥ −1 приводят к неравенству −1 ≥ −1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 илик эквивалентному ему неравенству ≤ (−1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 .Записывая вместе неравенства для и граничные условия на , получимсистему−1 −1 ⊕ −1 ⊕ ≤ ≤ (−1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 , ≤ ≤ .(2.19)47Множество значений , удовлетворяющих первому неравенству, непусто, если выполняется условие−1 −1 ⊕ −1 ⊕ ≤ (−1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 ,которое равносильно условию(−1 −1 ⊕ −1 ⊕ )(−1 −1 ⊕ −1 ⊕ −1 ) ≤ 1.Раскроем скобки в левой части, а затем заменим полученное неравенствоэквивалентной системой неравенств, включая неравенство −1 ≤ 1, котороепрямо следует из условия ≤ .
Решение остальных неравенств системы относительно дает ≥ 1/2 1/2 −1 , ≥ 1/2 1/2 , ≥ 1/2 1/2 , ≥ 1/2 1/2 , ≥ −1 −1 , ≥ , ≥ −1 , ≥ −1 .Полученная система, с учетом граничных условий на , равносильна паренеравенств ≥ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 −1 ⊕ 1/2 1/2 ⊕1/2 1/2 ⊕ −1 −1 ⊕ ⊕ −1 ⊕ −1 , ≤ ≤ .Заметим, что переход от исходной задачи к полученной системе, в которой обозначает минимум целевой функции, включал только эквивалентные преобразования. Из этого следует, что первое неравенство системы задает точнуюнижнюю границу для , выраженную через , а потому теперь необходимо решить задачу оптимизации следующего вида:min (1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ )−1 ⊕ (1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ ) ⊕ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 , ≤ ≤ .(2.20)Введем обозначения = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕, = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕, = 1/2 1/2 ⊕1/2 1/2 .
(2.21)48Задача (2.20) может быть записана в форме (2.13), где заменяется на , на , и на . Применение следствия 6 для решения задачи дает минимальноезначение = 1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ ⊕ ,причем согласно следствию 6 выполняются следующие условия:1) если = 1/2 1/2 , то = 1/2 −1/2 ;2) если = −1 , то = ;3) если = , то = ;4) если = , то = (−1 ⊕ )1− (−1 ⊕ −1 )− ,0 ≤ ≤ 1.Теперь уточним полученное решение, рассматривая различные значения,которые может принимать величина .Случай = 1/2 1/2Предположим, что = 1/2 1/2 .
В этом случае = 1/2 −1/2 , а двойноенеравенство (2.19) для можно записать в виде−1 ⊕ −1 ⊕ ≤ ≤ (−1 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 .Рассмотрим все значения, которые могут принимать и , определенные поформулам (2.21). Найдем соответствующие представления для и .Пусть = 1/2 1/2 , тогда = 1/4 1/4 1/2 , а = 1/4 1/4 −1/2 . Проверим,какие значения может принимать и найдем соответствующие величины и .Исследуем случай, когда выполняется равенство = 1/2 1/2 . В силу тропического аналога неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим выполняется неравенство = 1/2 1/2 = 1/4 1/4 1/4 1/4 ≤ 1/2 1/2 ⊕ 1/2 1/2 = .Полученное неравенство с учетом условия 1/2 1/2 ≥ приводит к равенству = , а потому решение при = 1/2 1/2 можно рассматривать какчастный случай для общего случая = , который будет изучен ниже.49Теперь пусть = −1 .
В этом случае = 1/4 1/2 1/4 −1/2 , = 1/4 −1/2 1/4 1/2 .Двойное неравенство для принимает следующий вид: ≤ 1/2 −1/2 ⊕ ⊕ ≤ ≤ (−1/2 1/2 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 ≤ ,откуда следует, что = .Пусть = тогда = 1/4 1/4 1/2 1/2 , = 1/4 1/4 −1/2 −1/2 .Двойное неравенство для записывается так: ≤ −1/2 −1/2 ⊕ −1 −1 ⊕ ≤ ≤ (−1/2 −1/2 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 ≤ ,что дает равенство = .Предположим, что = −1 .
Тогда = 1/2 −1/2 1/2 , = 1/2 −1/2 −1/2 .Для запишем двойное неравенство ≤ −1 ⊕ −1 ⊕ ≤ ≤ (−1 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 ≤ ,а значит = .При = выполняется = 1/2 1/2 1/2 и = 1/2 1/2 −1/2 . Двойное неравенство для в этом случае можно записать следующим образом: ≤ −1 −1 ⊕ −1 ⊕ ≤ ≤ (−1 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 ≤ ,что означает = .Записывая вместе предыдущие результаты для = 1/2 1/2 , получим, чтоесли = 1/2 1/2 и = −1 , то = 1/4 −1/2 1/4 1/2 и = ;50если = −1 , то = 1/2 −1/2 −1/2 и = ;если = 1/2 1/2 и = , то = 1/4 1/4 −1/2 −1/2 и = ;если = , то = 1/2 1/2 −1/2 и = .Покажем, что выражения для , которые соответствуют случаю = 1/2 1/2и = −1 и случаю = −1 , можно представить с помощью одной формулы = (1/4 1/4 ⊕ 1/2 −1/2 )(1/2 −1/2 ⊕ 1/2 )−1 .Предположим, что = 1/2 1/2 и = −1 .
Из первого условия следуетнеравенство 1/2 1/2 ≥ −1 , а значит 1/4 1/4 ≥ 1/2 −1/2 . С учетом последнегонеравенства и равенства 1/2 = 1/2 −1/2 получаем, что = (1/4 1/4 ⊕ 1/2 −1/2 )(1/2 −1/2 ⊕ 1/2 )−1 = 1/4 −1/2 1/4 1/2 .В случае, если = −1 , выполняется неравенство −1 ≥ 1/2 1/2 , из которого получаем 1/2 −1/2 ≥ 1/4 1/4 . Кроме того, всегда выполняется неравенство ≥ −1 . Следовательно = (1/4 1/4 ⊕ 1/2 −1/2 )(1/2 −1/2 ⊕ 1/2 )−1 = 1/2 −1/2 −1/2 .Аналогичным образом проверяется, что при = 1/2 1/2 и = или = справедливо общее выражение для в виде = (1/4 1/4 ⊕ 1/2 1/2 )(1/2 1/2 ⊕ 1/2 )−1Случай = −1Рассмотрим случай, когда = −1 и = . Двойное неравенство (2.19) для принимает форму−1 ⊕ −1 2 ⊕ ≤ ≤ (−1 ⊕ −1 2 ⊕ −1 )−1 .Найдем соответствующие значения для и при различных значениях .51Предположим, что = 1/2 1/2 . Тогда = 1/2 1/2 −1 .
Учитывая, что = ,представление для можно записать в виде двойного неравенства1/2 −1/2 ≤ 1/2 −1/2 ⊕ −1/2 −1/2 2 ⊕ ≤ ≤≤ ≤ (−1/2 1/2 ⊕ −1/2 −1/2 2 ⊕ −1 )−1 ≤ 1/2 −1/2 ,из чего вытекает равенство = 1/2 −1/2 .Аналогичным образом находим, что при = −1 выполняются равенства = −1 −1 и = , а при = – равенства = −1 и = .Нетрудно проверить, что все значения , при которых достигается минимумв этом случае, вычисляются по формуле = (−1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ⊕ .Пусть, например = 1/2 1/2 .
В этом случае выполняются условия 1/2 1/2 ≥ −1 и 1/2 1/2 ≥ . Эти неравенства равносильны неравенствам −1/2 1/2 ≥ −1и 1/2 −1/2 ≥ , откуда следует, что = (−1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ⊕ = 1/2 −1/2 .Случаи, когда = −1 и = проверяются аналогично.Таким образом, если = −1 , то минимум достигается при = , = (−1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ⊕ .Случай = Рассмотрим случай, при котором = и = . Двойное неравенство (2.19)для можно записать с учетом значений и так: −1 −2 ⊕ −1 ⊕ ≤ ≤ ( −1 −2 ⊕ −1 ⊕ −1 )−1 .Исследуем значения, которые может принимать , и найдем соответствующие представления для и .52Если = 1/2 1/2 , то = 1/2 1/2 .
В силу того, что = , двойное неравенство для принимает вид1/2 −1/2 ≤ −1 −2 ⊕1/2 −1/2 ⊕ ≤ ≤ ( −1 −2 ⊕−1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ≤ 1/2 −1/2 ,из которого следует, что = 1/2 −1/2 .Аналогичным образом можно проверить, что при = −1 выполняютсяравенства = −1 и = , а при = – равенства = и = .Все значения , при которых достигается минимум в этом случае, вычисляются по формуле = (−1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ⊕ .Если, например = 1/2 1/2 , то справедливы неравенства 1/2 1/2 ≥ −1и 1/2 1/2 ≥ , которые равносильны паре неравенств −1/2 1/2 ≥ −1 и1/2 −1/2 ≥ . Это означает, что = (−1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ⊕ = 1/2 −1/2 .Аналогично могут быть проверены случаи = −1 и = .В результате получим, что если = , то минимум достигается при = , = (−1/2 1/2 ⊕ −1 )−1 ⊕ .Случай = В случае, когда = , выражение для включает параметр . Покажем,что в этом случае величина может принимать только два значения.Пусть сначала = 1/2 1/2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
