Автореферат (1150668), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В обоих случаях координатыподходафиксированных точек и соответствующие им критические индексы вычис­лены в форме псевдо--разложения ( -разложения) с точностью до( 5 ).Численные значения координат неподвижных точек и критических индексовполучены путем подстановки в эти разложения значения = 1.Полученные таким путем численные значения качественно согласуютсяс результатами обработки-разложенийдля всех трех неподвижных точек.Таким образом, подтверждается вывод о том, что при=4в модели возмо­жен фазовый переход второго рода.

Тем не менее, численные значения кри­тических индексов, полученные в рамках разных подходов, могут довольносущественно отличаться количественно. Более того, в рамкахслучае=2 -разложения водна из седловидных точек выходит за границу физической об­ласти параметров. Возможным объяснением данного факта может служитьболее сильная расходимость рядов теории возмущений в случае=2в рам­ках обоих подходов, приводящая к необходимости учитывать асимптотиче­ские свойства -разложенийуже на уровне четырех петель.В третьей главе приводится стандартная формулировка стохастиче­ской задачи: ℎ() = (, ℎ) + (),⟨ () (′ )⟩ = (, ′ ).(8)и описан стандартный метод [6] ее сведения к теоретико-полевой модели сдополнительным полем:1(ℎ, ℎ′ ) = ℎ′ ℎ′ + ℎ′ (− ℎ + ℎ + (ℎ)).2(9)Приводится краткое описание анализа структуры расходимостей в динамиче­ских моделях в изотропном и анизотропном случаях.

Обсуждается вопрос о11выборе формы шума, поднятый в работе [8] и приводятся важные для даль­нейшего детали анализа структуры расходимостей в динамических моделяхсо “статическим” случайным шумом:⟨ () (′ )⟩ = 20 () ( − ′ ).(10)В частности, оказывается, что пропагатор:⟨ℎℎ⟩0 ≡ ∆12 (, ) ()∆12 (, )(11)всегда будет содержать дополнительную дельта-функцию от частоты, чтов свою очередь приводит к необходимости учитывать ее размерность приподсчете индекса расходимости диаграмм.Четвертая глава посвящена ренормгрупповому анализу асимптотиче­ских режимов четырех моделей роста со “статическим” случайным шумом(10).В разделе 4.1 изучается модель КПЗ [9], задающаяся стохастическимуравнением: ℎ = 2 ℎ + (ℎ)2 /2 + .(12)Для модели приводятся ограничения на физическую область параметров иформулируются правила Фейнмана. Константы ренормировки и ренормгруп­повые функции вычислены в однопетлевом приближении.

Их анализ показы­вает, что в модели присутствует инфракрасно притягивающая фиксирован­ная точка, однако она лежит в нефизической области параметров и не можетотвечать на скейлинговое поведение модели. Тем не менее, для полноты при­водятся соответствующие ей критические размерности.Одна из возможных модификаций модели КПЗ была предложена в ра­боте [10]: ℎ = 0 2 ℎ + 2 ℎ2 /2 + .(13)Cуть данной модификации сводится к добавлению случайной поправки кчлену, описывающему релаксацию за счет поверхностного натяжения2(ℎ)2 + 2ℎ 2 ℎ.

2 ℎ2 =Однако в работе [11] было указано, что для “теплового” слу­чайного шума:⟨ () (′ )⟩ = 20 ( − ′ ) () ( − ′ )(14)нелинейность в (13) неизбежно порождает бесконечное число контрчленоввида 2 ℎ . В силу этого для корректности анализа необходимо рассматриватьследующую модификацию модели (13): ℎ = 0 2 ℎ + 2 (ℎ) + ,(15)12где функция (ℎ)задается своим рядом Тейлора: (ℎ) =∞∑︁0 ℎ=2!.(16)В разделе 4.2 изучается модель (15) со “статическим” случайным шумом(10). Анализ размерности полейℎ, ℎ′ ,а так же дополнительный учет произ­водной, входящей во все вершины, позволяет заключить, что поверхностныеУФ расходимости содержатся во всех 1-неприводимых функциях Грина, со­держащих одно полеℎ′и любое количество полейво всех случаях имеют вид2 ′( ℎ )ℎℎ.При этом контрчлены.

Таким образом изучаемая модель ока­зывается мультипликативно перенормируемой.Однопетлевой контрчлен может быть явно вычислен с помощью петле­вого разложения 1-неприводимых функций Грина [6]. В частности, он даетсярасходящейся частью выражения:Γ(1) (Φ) = −(1/2) (/0 ),(17) (, ) = − 2 (Φ)/Φ()Φ().(18)гдеДанное вычисление оказывается возможным в силу того факта, что вблизилогарифмической размерности все диаграммы модели расходятся лишь ло­гарифмически, из-за чего при вычислении их расходящихся частей можноигнорировать неоднородность 2 ℎ′ ()иℎ().В результате для контрчленабыло получено следующее выражение: −Γ (Φ) =(2) (1)в которомZ ′′ (ℎ()) 2 ℎ′ (),′2( + (ℎ()))(19)– контрчленная операция. Посредством разложения этого выра­жения в ряд были явно вычислены аномальная размерностьи -функции.Из явной формы последних следует, что в модели существует двумерная по­верхность фиксированных точек, параметризуемая значениями2*и3* ,вы­бираемыми произвольно.Для того, чтобы на этой поверхности существовали области ИК притя­жения, необходимо чтобы вещественные части всех собственных чисел матри­цы , были бы положительны.

Необходимым, но не достаточным, условиемдля этого является требование, чтобы сумма всех диагональных элементовданной матрицы была положительной величиной. Было показано, чтосуществует такая область на плоскости параметровявляются положительными.3*и22*для которой все13Если инфракрасно притягивающая область на поверхности фиксирован­ных точек действительно существует, то изучаемая модель может проявлятьИК скейлинг с не универсальными критическими размерностями, зависящи­23* и 2*,2∆ℎ = − 2∆ .ми от конкретного выбора параметровменее, точному соотношениюподчиняющимися, тем неВ работе [12] была предложена непрерывная модель самоорганизованнойкритичности, возникающей при рассмотрении эволюции некоторой границы ванизотропной системе.

Примером такой системы может выступать эрозия пес­чаного ландшафта на склоне, имеющем некоторое выделенное направление.Данная модель задается стохастическим дифференциальным уравнением: ℎ = ⊥0 ⊥2 ℎ + ‖0 ‖2 ℎ − ‖ ℎ2 /2 + .(20)Детерминистская часть данного уравнения выражает собой локальный законсохранения. Поэтому в отсутствие шума уравнение (20) сводится к уравнениюнеразрывности для поля высоты: ℎ + ∇ · j = 0.(21)Такое представление запрещает включение в уравнение членов типа ℎ,ко­торые ввели бы в модель управляемые характерные размеры и времена кор­реляций.В разделе 4.3 рассматривается модель (20) со “статическим” случайнымшумом (10). Приводятся ограничения на физическую область параметров иформулируются правила Фейнмана.

Анализ канонических размерностей по­лей и параметров показывает, что модель является мультипликативно пере­⊥2 , т.к. поле′производной ‖ ℎ .нормируемой, при этом не возникает контрчленов с производнойℎ′всегда входит в функции Грина только в формеКонстанты ренормировки и РГ функции модели были вычислены в од­нопетлевом приближении. Их анализ позволил обнаружить в модели инфра­красно притягивающую фиксированную точку, лежащую в физической обла­сти параметров.

Соответствующие ей критические размерности были вычис­лены в первом порядке-разложения.Тем не менее, полученные оценки накритические размерности в физически интересной размерности = 2 едва лимогут считаться надежными. Причина состоит в том, что в данной размер­ности формальный параметр разложения=4оказывается отнюдь не мал,а потому учет следующих порядков теории возмущений может существен­но сказаться на характере ИК устойчивости данной фиксированной точки ичисленных оценках критических размерностей.В работе [8] была предложена анизотропная модель, описывающая про­цессы переноса на малых масштабах (масштабах, на которых вектор, задаю­14щий выделенное направление, можно считать константой), задающаяся сто­хастическим уравнением: ℎ = ⊥ ⊥2 ℎ + ‖ ‖2 ℎ + ‖2 ℎ3 + .3В качестве симметрии модели авторы выбрали(22)‖ , ℎ, → −‖ , −ℎ, − ,чтоотличает ее от модели Хуа-Кардара (20) и приводит к другой форме нели­нейности.

Однако, в работе [13] было показано, что в случае “теплового” шу­ма (14) нелинейность в (22) порождает бесконечное число контрчленов вида‖2 ℎ .Поэтому в той же работе было сформулировано бесконечно-зарядноеобобщение модели эрозии, задающееся уравнением: ℎ = ⊥ ⊥2 ℎ + ‖ ‖2 ℎ + ‖2 (ℎ) + .(23)В разделе 4.4 изучается модель (23) со “статическим” случайным шу­мом (10). Анализ размерности полейℎ, ℎ′ ,с учетом производной входящейво все вершины, приводит к выводу, что поверхностные УФ расходимости со­держатся во всех 1-неприводимых функциях Грина, содержащих одно полеℎ′и любое количество полейвид(‖2 ℎ′ )ℎ(член действияℎ. При этом контрчлены во всех случаях имеют2с производной ⊥ не ренормируется).Поскольку вблизи логарифмической размерности все диаграммы моде­ли расходятся лишь логарифмически, явный вид однопетлевого контрчленабыл вычислен в рамках такой же схемы, что и в случае изотропной беско­нечно-зарядной модели роста. В результате, для расходящейся части (17) бы­ло получено выражение: −Γ (Φ) =(2) Z(1) ′′ (ℎ())2 ′ √︀ℎ ().⊥ (‖ + ′ (ℎ()))(24)Посредством разложения данного выражения в ряд были явно вычисленыаномальная размерность‖и -функции,из явной формы которых следу­ет, что в модели существует двумерная поверхность фиксированных точек,параметризуемая значениями2*и3* ,выбираемыми произвольно.

Было по­параметров 2*казано, что на данной поверхности существует область в которой всеявляются положительными, что означает что на плоскостии3*могут существовать инфракрасно притягивающие области. Если этодействительно так, то корреляционные функции и функции отклика моделимогут проявлять скейлинговое поведение с не универсальными критическимипоказателями, подчиняющимися точному соотношению2∆ℎ = −1+∆‖ −∆ .В Заключении диссертации представлены основные результаты и вы­воды, а также благодарности и список использованной литературы.15БлагодарностиДиссертант выражает благодарность Антонову Николаю Викторовичуза научное руководство, терпение и неоценимую помощь при выполнении дан­ной работы.Автор благодарит Компанийца Михаила Владимировича за многочис­ленные советы и полезные обсуждения.Также диссертант благодарит преподавателей и сотрудников кафедрыфизики высоких энергий и элементарных частиц Санкт–Петербургского Го­сударственного Университета и преподавателей Кировского Физико-Матема­тического Лицея за развитие интереса к теоретической физике, а также загоды преподавания и наставлений.Кроме того, автор благодарит своих родителей и друзей за неоценимуюпомощь и моральную поддержку.Список публикаций по теме диссертации из перечняВАК1.

N.V. Antonov, M.V. Kompaniets, N.M. Lebedev. Critical behaviour of the()-4model with an antisymmetric tensor order parameter // J.Phys. A:Math. Theor. 46:40, 405002, (2013)2. Н.В. Антонов, М.В. Компаниец, Н.М. Лебедев. Критическое поведение()-4 -моделис антисимметричным тензорным параметром порядка:трехпетлевое приближение // ТМФ, 190:2, P. 239–253, (2017); Theoret. andMath. Phys., 190:2, P.

Характеристики

Список файлов диссертации