Диссертация (1150658), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Дираковская парциальная волна κ с определенным значением энергии , релятивистского углового квантового числа κ , и проекцией полного угловогомомента является биспинором⎛κ () =⎞)1 ⎝ κ () κ (^⎠, () (^)κ(2.31)−κи нормирована по энергетической шкале,⟨κ |′ κ ⟩ = ( − ′ ).25(2.32)Радиальные компоненты κ и κ волновой функции κ и фазовый сдвигΔκ получены с помощью пакета программ RADIAL [73].
В отличие от энергий , фигурирующих в уравнении (2.27), энергия может быть выбранапроизвольно (при условии > 0).Заметим, что ввиду того что спин испущенного электрона квантуется внаправлении оси , суммирование по проекциям = ±1/2 необходимо вовсех выражениях для наблюдаемых величин. Можно также квантовать спиниспущенного электрона в направлении его распространения ^.
В этом случаекомпоненты с разными проекциями (спиральностями) могут быть полученыи, в принципе, измерены.Амплитуда перехода (, , , , ) вычисляется проектированиемволновой функции Ψ(, , ) на волновую функцию конечного состояния(−)−Ψв достаточно далекий момент времени, когда взаимодействие^ () снаряда и мишени мало(−)− (, , , , ) = ⟨Ψ|Ψ()⟩,^ → ∞,(2.33)где углы и соответствуют направлению распространения испущенногоэлектрона ^ (см.
рис. 2.2). Проектируя волновую функцию конечного со(−)стояния Ψ^ на базисные функции и пользуясь их ортогональностью,приходим к следующему выражению для амплитуды перехода: (, , , , ) =∑︁κ(−) Δκ∑︁ ( , )( −),1 2×∑︁κ ̃︀κ ( → ∞, ), (2.34)где — проекция полного углового момента начального состояния и радиκальный интеграл перекрывания определен какκ∫︁∞= [κ ()κ () + κ ()κ ()].026(2.35)zpθeyφexРис. 2.2: Полярный и азимутальный углы испущенного в направлении ^ электрона.Входящие в него функции κ () и κ () определены уравнением (2.10).Для радиальных функций, отвечающих точным связанным состояниям, интеграл типа (2.35), конечно же, равен нулю.
Более подробный вывод формулы (2.34) и соответствующие комментарии приведены в приложении D.Полностью дифференциальная вероятность ионизации как функция прицельного параметра , энергии испущенного электрона , и углов его испускания и вычисляется как∑︁3 ()=| (, , , , )|2 . (cos ) 1(2.36) =± 2Заметим, что в нерелятивистском пределе проекция спина на любую ось(в том числе и на ось ) сохраняется, и одно слагаемое в уравнении (2.36)равняется нулю.Для сравнения с экспериментом обычно удобнее выражать дифферен-27циальную вероятность ионизации через поперечную (перпендикулярнуюскорости ) компоненту переданного снарядом импульса , чем черезприцельный параметр .
Переданный снарядом импульс есть по определению разность между его начальным ( ) и конечным ( ) импульсами: = − (см. рис. 2.3). Заметим, что его продольная (параллельная скоzqηkikfθPРис. 2.3: Начальный и конечный импульсы снаряда задают плоскость рассеяния,P — угол отклонения снаряда. Переданный снарядом импульс и его поперечная компонента также показаны.рости ) компонента фиксирована законами сохранения энергии и импульса.Амплитуды перехода в - и -представлениях связаны друг с другом через28двумерное преобразование Фурье [74, 75]1 (, , , , ) =2∫︁ · () (, , , , ),(2.37)где () — дополнительная фаза обусловленная наличием взаимодействиямежду снарядом и ядром мишени, которое не было учтено в уравнении (2.5).Фаза () зависит от явного вида этого взаимодействия, которое можетвключать кулоновское взаимодействие между снарядом и ядром мишени,между снарядом и пассивными электронами мишени, а также поляризационные эффекты мишени.
Для простого приближения, в котором присутствие пассивных электронов мишени учитывается заменой заряда мишениT некоторым экранированным зарядом eff , потенциал взаимодействия мишени и снаряда может быть записан как () =eff P.(2.38)Фаза (), отвечающая такому взаимодействию может быть выражена как(см. приложение A)() =2eff Pln .(2.39)Кроме того, в проведенных расчетах было проверено, что включение взаимодействия между снарядом и ядром мишени (2.38) в уравнение (2.5) явноили как дополнительный фазовый множитель (2.39) в уравнение (2.37) приводит к практически совпадающим результатам.
Заметим, что для болеесложных видов взаимодействия между остовом мишени и снарядом подход,основанный на выборе фазы волновой функции, нужно использовать с осторожностью.Применяя ко множителю · разложение Якоби-Ангера [76], преобразо-29вание Фурье амплитуды (, , , , ) можно представить как1 (, , , , ) =2∫︁2∫︁∞ 0×0∑︁ ( − ) () () (, , , , ). (2.40)Здесь () — функция Бесселя -ого порядка первого рода и — азимутальный угол поперечной компоненты переданного импульса снаряда .Интегрирование по углу дает (, , , , ) =∑︁(−) Δκ∑︁, ( , ) (− ) ( −)1 κ2×∑︁κ −κ (), (2.41)где введены обозначения∫︁∞̃︀κ ( → ∞, ).κ() = () () (2.42)0Тогда полностью дифференциальная вероятность ионизации как функцияпоперечной компоненты компоненты переданного импульса , энергии испущенного электрона , и углов его испускания и вычисляется как∑︁3 ()=| (, , , , )|2 .
(cos ) 1(2.43) =± 2А (полностью) трижды дифференциальное сечение ионизации (ТДСИ) может быть выражено как3 3 ()= . Ω ΩP (cos ) (2.44)Это сечение испускания электрона с энергией в интервале от до + в телесный угол Ω , в то время как снаряд рассеивается в телесный угол30ΩP . Заметим, что оно зависит от системы отсчета через начальный и конечный импульсы снаряда (телесный угол ΩP тоже различный в лабораторнойсистеме отсчета и системе отсчета центра масс).Интегрируя ТДСИ по соответствующим переменным, можно получитьразличные дважды дифференциальные сечения ионизации (ДДСИ), однократно дифференциальные сечения ионизации (ОДСИ) и, наконец, полноесечение ионизации.Наиболее интересными из ДДСИ являются сечения ионизации дифференциальные по энергии испущенного электрона и телесному углу испусканияэлектрона Ω или рассеяния снаряда ΩP . Первое из них определяется как2 = Ω∫︁3 ΩP. Ω ΩP(2.45)Являясь независящим от координат рассеянного снаряда, оно может бытьполучено сразу из -представления как2 1= Ω2∫︁∞∫︁2∫︁2 0003 ().
(cos ) (2.46)Отметим, что в действительности это сечение зависит только от энергии и полярного угла испущенного электрона . В сечениях, проинтегрированных по азимутальному углу ( ), зависимости от азимутального угла также нет. Это связано с тем, что благодаря симметрии полностью дифференциальная вероятность ионизации3 () (cos ) 3 ( )( (cos ) ) зависит отэтих углов только через их разность − ( − ), а не от каждого вотдельности.
Тем не менее обозначение2 Ωявляется общепринятым. Вто-рое сечение удобнее выразить не через телесный угол рассеяния снарядаΩP , а через поперечную компоненту переданного снарядом импульса . Изопределения переданного импульса = − получаем 2 = 2 + 2 − 2 cos P = 2 + ‖2 ,31(2.47)где продольная компонента переданного импульса ‖ фиксирована закономсохранения энергии, так что ‖ = 0. Тогда∫︁1∫︁ΩP =−1∫︁∞∫︁2∫︁21(cos P ) P = P , 00(2.48)0и ДДСИ принимает следующий вид:2= где2 = ΩP∫︁∫︁22 P , ΩP(2.49)3 Ω Ω ΩP(2.50)0и P — азимутальный угол рассеянного снаряда.
В нашем подходе оно можетбыть вычислено как2 = ∫︁2∫︁1∫︁2 (cos ) 0−103 (). (cos ) (2.51)Из ОДСИ наиболее интересны сечения ионизации дифференциальные поэнергии испущенного электрона и по углу его испускания Ω . Их прощевычислять без перехода к -представлению (см. уравнение (2.37)) сразу в представлении, интегрируя ДДСИ2 Ωпо соответствующим переменным.Таким образом, для сечения дифференциального по энергии получаем=∫︁∫︁Ω3 ΩP Ω ΩP(2.52)и, в явном виде,=∫︁∞∫︁2∫︁1∫︁2 (cos ) 00−103 (), (cos ) (2.53)а для сечения дифференциального по углу=Ω∫︁∫︁∞ ΩP0323 Ω ΩP(2.54)и, в явном виде,1=Ω2∫︁∞∫︁2∫︁∞ ∫︁2 00003 (). (cos ) (2.55)Также отметим, что благодаря специальному виду зависимости полностьюдифференциальной вероятности ионизации от азимутальных углов (см. замечание после уравнения (2.46)) формулы, содержащие интегрирования пообоим азимутальным углам могут быть упрощены: можно оставить интегрирование только по одному из них и умножить результат на 2 .ОДСИ вычисленные по формулам (2.53) и (2.29) для положительныхэнергий должны совпадать.
Это условие может служить “внутренней”проверкой вычислений с использованием волновой функции испущенногоэлектрона, определяемой уравнением (2.30).Полезной проверкой сходимости по размеру базисного набора являетсяполучение решения системы связанных каналов (2.11) в первом порядке теории возмущений по взаимодействию P :B1 (, ) = − ∫︁ ′′ ( − ) ⟨ |P | ⟩(2.56)−∞и сравнение сечений, вычисленных с помощью этого пертурбативного решения, с соответствующими сечениями в первом борновском приближении(ПБП).
Заметим, что взаимодействие между снарядом и ядром мишени невносит вклад в коэффициенты (2.56) из-за ортогональности волновых функций в обкладках матричного элемента.Трижды дифференциальное сечение ионизации атома водорода антипротонным ударом в ПБП может быть получено аналитически и выражено сле-33дующей формулой [45, 74] (см.
также оригинальную работу [77]):3 FBA2562 = Ω ΩP 2 [1 − exp(−2/)])︁]︁(︁[︁222exp − arctan 1+2 −2 2 − 2 · + 2+12 ( · )2 . (2.57)×222222(1 + − ) + 4(1 + + − 2 · )4Чтобы перейти от системы центра масс к лабораторной системе координат,нужно в этом уравнении заменить приведенную массу на массу протона и использовать соответствующие значения импульсов и . Видно, что ТДСИ в ПБП симметрично относительно направления переданного импульса . Также хорошо известно, что в ПБП любые сечения ионизации не зависятот знака заряда снаряда.
Отметим, что в формуле (77) работы [39] для ТДСИ в ПБП, аналогичной уравнению (2.57), содержится опечатка: слагаемое · в числителе и знаменателе входит с противоположным знаком.Интегрируя ТДСИ (2.57) по соответствующим переменным, можно получить различные ДДСИ, ОДСИ и полное сечение ионизации FBA∫︁∞ ∫︁∫︁3 FBA= Ω ΩP. Ω ΩP(2.58)0При этом в выражении (2.58) интегрирование по азимутальным углам испущенного электрона и рассеянного антипротона P , входящим в дифференциалы Ω и ΩP , соответственно, тривиально и сводится к домножению нафактор (2)2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
