Диссертация (1150658), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Сравнение многих видов пропагацииможно найти в работе [67]. Ниже мы приведем краткое описание методапропагации Ланцоша, используемого в данной работе.Метод пропагации Ланцоша основан на технике подпространств Крылова, которая изначально была созданa для поиска собственных значений исобственных векторов больших матриц. Вектор ( + Δ) получается извектора () действием оператора эволюции (C.10) на интервале [, + Δ],(︁)︁( + Δ) = exp − ()Δ ().73(C.11)Время, требуемое для прямого вычисления матричной экспоненты в уравнении (C.11) растет как размер матрицы в третьей степени, поэтому приходится использовать приближенные методы вычисления матричной экспоненты. В методе Ланцоша матричная экспонента аппроксимируется в подпространстве Крылова (, ) = {, , 2 , .
. . , −1 }.(C.12)С помощью процедуры ортогонализации Грама-Шмидта можно построитьортонормированный базис { }=1 в подпространстве Крылова (, ) спомощью следующего рекурсивного алгоритма:1 = ,(C.13)1 2 = 1 − 1 1(C.14) +1 = − − −1 −1 ,(C.15)где начальный вектор считается нормированным, а вещественные коэффициенты и вычисляются как = † ,(C.16) = ‖ − − −1 −1 ‖ = −1 † = † −1 .(C.17)Таким образом, матрица в подпространстве Крылова (, ) аппроксимируется трехдиагональной матрицей () , состaвленной из коэффициентов и ⎛()⎜ 1⎜⎜ 2⎜⎜⎜0⎜†= = ⎜⎜ ...⎜⎜⎜ ...⎜⎝0223...03.........··· ···74···...···.........−1−1 −100......⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.0⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠(C.18)()Обычно при достаточно малом Δ размерность матрицы невелика, ∼ 10, что позволяет явно диагонализовать ее стандартными методами.Тогда в базисе ее собственных векторов справедливо спектральное разложение()=∑︁ † ,(C.19)где — собственные числа.
Из спектрального разложения уже легко получить пропагатор ()()(︁)︁ ∑︁() exp(− Δ) †= exp − Δ =(C.20)в том же подпространстве Крылова. Тогда уравнение (C.11) приобретает вид(︁)︁(︁)︁∑︁()()( + Δ) ≈ exp − Δ () = exp − Δ 1 = , (C.21)=1где = † () 1 =∑︁ † exp(− Δ) † 1 .(C.22)Отсюда видно, что точность приближения в уравнении (C.21) порядка(Δ ).75Приложение DВычисление амплитуды ионизацииРассмотрим более подробно переход от формулы (2.33) к формуле (2.34)для амплитуды ионизации (, , , , ).
Амплитуда ионизации вычисляется как проекция волновой функции Ψ(, , ) на волновую функцию(−)(−)−конечного состояния испущенного электрона Ψв^ (, ) ≡ Ψ^ () достаточно далекий момент времени(−) (, , , , ) = ⟨Ψ^ ()|Ψ()⟩,(D.1) → ∞.(−)В этой формуле стоящая в левой обкладке волновая функция Ψ^ (, )удовлетворяет нестационарному уравнению (2.1) в пределе → ∞, когда^^ 0 , в то времявзаимодействие со снарядом пренебрежимо мало и ()→как стоящая в правой обкладке волновая функция Ψ(, , ), являющаясялинейной комбинацией базисных функций (), (см. уравнение (2.8)) удовлетворяет подобному уравнению, но с матричным представлением 0 ста-^ 0 в конечном базисном наборе. Этоционарного атомного гамильтониана приводит к тому, что их скалярное произведение зависит от временидаже в пределе → ∞.Чтобы убрать эту нефизическую зависимость, рассмотрим волновую76функцию в левой обкладке в нулевой момент времени(−)(−)Ψ^ (, = 0) = Ψ^ () =∑︁*^ κ ().
−Δκ ,()12(D.2)κРазложим парциальные волны κ () по базисным функциям κ ():̃︀κ () ≃ κ () =∑︁⟨ κ |κ ⟩ κ () ≡∑︁κ(), κ(D.3)где использовано свойство ортонормированности шаровых спиноров, и скаκ, явное выражелярное произведение сводится к радиальному интегралу ние для которого дается формулой (2.35). Выражение (D.3) является точнымв пределе бесконечно большого базисного набора, однако в реальных расчетах с использованием конечного базиса оно выполняется приближенно.С учетом выражения (D.3) временная зависимость волновой функции испущенного электрона принимает вид̃︀ (−) (, ) ≃ Ψ(−) (, ) =Ψ^ ^ ∑︁*κ^ −Δκ ,()() − κ 1 κ2 κ(D.4)Эта функция удовлетворяет невозмущенному нестационарному уравнению(−)̃︀Ψ^ (, )(−)̃︀= 0 Ψ^ (, ),(D.5)где 0 — матрица атомного гамильтониана.
Заметим, что формально вол-̃︀ (−) (, ) не соответствует стационарному состоянию.новая функция Ψ^ Можно показать, что выражение для амплитуды перехода̃︀ (−) ()|Ψ()⟩,̃︀ (, , , , ; ) = ⟨Ψ^ (D.6)̃︀ (−) (, ), а не Ψ(−) (, ) как в форв которое входит волновая функция Ψ^ ^ муле (D.1), имеет хорошо определенную асимптотику при → ∞.Также отметим, что амплитуда перехода ̃︀ (, , , , ; ) может бытьвычислена по эквивалентной формуле̃︀ (, , , , ; ) = −∫︁−∞77̃︀ (−) (′ )|P (′ )|Ψ(′ )⟩.′ ⟨Ψ^ (D.7)Таким образом, подставляя уравнения (D.4), (2.8) и (2.14) в уравнение (D.6)при → ∞ и пользуясь ортонормированностью базисных функций κ ,окончательно получаем уравнение (2.34).78Приложение EКоэффициенты ГаунтаРассмотрим матричный элемент сферического тензорного оператора=√︂42 + 1(E.1)на шаровых спинорахκ (^) =∑︁, ) ,1 (^2(E.2) ) — сферические функгде , 1 — коэффициенты Клебша-Гордана, (^2ции, а — двухкомпонентные спиновые функции, которые в явном видезаписываются как(︂ )︂1 21 =,0− 21(︂ )︂0=.1(E.3)С учетом ортонормированности спиновых функций он сводится к матричному элементу сферического тензора на сферических функциях и имеет следующий вид:⟨κ ||κ ⟩ =∑︁ ∑︁ , 1 , 1 ⟨ || ⟩ .
, , 2 2 (E.4)Матричный элемент ⟨ || ⟩, называемый также нерелятивистскимкоэффициентом Гаунта ( , ; , ), пропорционален хорошо известно-79му интегралу от трех сферических функций и может быть записан как [61] ( , ; , ) ≡ ⟨ || ⟩√︀(2 + 1)(2 + 1) 0 0, 0 = (−1) , −2 + 1√︂2 + 1 0 0,0 , . (E.5)=2 + 10в формуле (E.5) нерелятивистЗаметим, что из наличия множителя 0,0ский коэффициент Гаунта отличен от нуля только при четном + + .После подстановки явного выражения для нерелятивистского коэффициента Гаунта (E.5) в выражение (E.4) можно воспользоваться правилом суммдля коэффициентов Клебша-Гордана [61] и получить1⟨ || ⟩ = (−1) 2 +√︀(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1)2 + 1⎫⎧⎨ 1 ⎬2. (E.6)× 0 0, 0 , −⎩ ⎭Выражение (E.6) можно упростить, если воспользоваться следующей формулой для произведения коэффициента Клебша-Гордана с нулевыми проекциями моментов и 6 -символа [83, 84]:0 0, 0⎫⎧⎨ 1 ⎬12= √︀0 − 1 , 1 ,22⎩ ⎭(2 + 1)(2 + 1)(E.7)где + + должно быть четным числом.Тогда окончательно получим⟨ || ⟩ = (−1)12 +√︀(2 + 1)(2 + 1) 0 − 1 , 1 , , −222 + 1(E.8)где + + — четное число.По аналогии с определением (E.5) введем релятивистские коэффициенты80Гаунта как√︃ ( ; ) = ⟨ || ⟩ == (−1)12 +2 + 1 120, 1 ,22 + 1√︀(2 + 1)(2 + 1) 0.
(E.9) − 1 , 1 , −222 + 1Релятивистские коэффициенты Гаунта (E.9) отличны от нуля только причетном + + . Переходя от коэффициентов Клебша-Гордана к 3 символам,= (−1) − + , −√⎛2 + 1 ⎝− ⎞⎠,(E.10)перепишем выражение (E.9) в окончательном виде⎛⎞⎛⎞√︀ 1+⎠⎝ ⎠.2 ( ; ) = (−1)(2 + 1)(2 + 1) ⎝11− 2 0 −2(E.11)Для релятивистских коэффициентов Гаунта выполняется следующее соотношение симметрии: ( ; ) = (−1) − ( ; ).(E.12)Также для них имеет место правило сумм∑︁ ( ; ) (′ ′ ; ),81= ′ ′(︁)︁2 12 1 ,0 .2(E.13)Приложение FРасчет в нерелятивистском пределеВ разделе 3.2 влияние релятивистских эффектов на вероятность ионизации исследуется путем сравнения результатов обычного (релятивистского)расчета, основанного на теории изложенной в главе 2, c результатами такназываемого расчета в нерелятивистском пределе.
В последнем стандартное значение скорости света ≈ 137 а.е. увеличено в = 1000 раз, чтосоответствует формальному переходу от релятивистской теории к нерелятивистской при → ∞. При этом в формуле (2.10) для биспинора κ ()малая радиальная компонента волновой функции κ () стремится к нулю,а большая радиальная компонента κ () к нерелятивистской радиальнойфункции. При небольшом изменении множителя результаты не изменяются, дальнейшее же увеличение может привести к численным нестабильностям на этапе диагонализации атомного гамильтониана (2.9), поэтому использованное значение множителя = 1000 является адекватным для численной реализации нерелятивистского предела → ∞.
В остальном расчетв нерелятивистском пределе не отличается от релятивистского расчета, ивычисление матричных элементов проводится с помощью релятивистскойформулы (2.19). Таким образом, волновые функции κ (), хоть и имеют стремящуюся к нулю малую радиальную компоненту κ (), все равно82характеризуются релятивистскими угловыми квантовыми числами κ и .Начальное состояние с нерелятивистскими угловыми квантовыми числами и строится как их линейная комбинация. Выражение для него можнополучить из нижеследующих рассуждений.Рассмотрим определение шарового спинора κ (^ ),κ (^) =∑︁, ) ,1 (^2(F.1)где (^ ) — сферические функции, а явный вид двухкомпонентных спиновых функций задан формулой (E.3). Домножив левую и правую части на′ , 1 ′ , просуммировав по и и воспользовавшись соотношением унитар2ности для коэффициентов Клебша-Гордана,∑︁,= ′ ′ ,1 ′ , 1 ′22(F.2)получим∑︁) =′ , 1 ′ κ (^2∑︁ ) ′ , 1 ′ , 1 (^22=∑︁′ ′ (^ ) = ′ (^ ) ′ .
(F.3)Таким образом, “обратным” к уравнению (F.1) является (^ ) =∑︁, ).1 κ (^2(F.4)Используя явный вид коэффициентов Клебша-Гордана при частных значения индексов, получим следующие соответствия между нерелятивистскими угловыми состояниями | ; ⟩ ≡ (^ ) и релятивистскими | ()⟩ ≡83 (^ ) ≡ κ (^ ):|1 ; 1/2⟩ ←→ |3/2 (3/2)⟩,√︂√︂12|0 ; 1/2⟩ ←→ −|1/2 (1/2)⟩ +|3/2 (1/2)⟩,33√︂√︂21|−1 ; 1/2⟩ ←→ −|1/2 (−1/2)⟩ +|3/2 (−1/2)⟩,33√︂√︂21|1 ; −1/2⟩ ←→|1/2 (1/2)⟩ +|3/2 (1/2)⟩,33√︂√︂12|0 ; −1/2⟩ ←→|1/2 (−1/2)⟩ +|3/2 (−1/2)⟩,33|−1 ; −1/2⟩ ←→ |3/2 (−3/2)⟩.(F.5a)(F.5b)(F.5c)(F.5d)(F.5e)(F.5f)В итоге, в нерелятивистском расчете в качестве начальных условий (2.16)при решении уравнений связанных каналов (2.15) были использованы соответствующие коэффициенты при релятивистских угловых состояниях в правой части уравнений (F.5). Отметим также, что полная вероятность ионизации не зависит от знаков проекций моментов, поэтому начальные состояния (F.5a),(F.5c),(F.5d),(F.5f), как и (F.5b),(F.5e), приводят к одинаковымрезультатам, хотя это и неочевидно из вида функций в правых частях.84Литература[1] R.
Dörner, V. Mergel, O. Jagutzki, L. Spielberger, J. Ullrich, R. Moshammer,and H. Schmidt-Böcking, “Cold target recoil ion momentum spectroscopy:a ‘momentum microscope’ to view atomic collision dynamics”,PhysicsReports, vol. 330, no. 2–3, pp. 95 – 192, 2000.[2] J. Ullrich, R. Moshammer, A. Dorn, R. Dörner, L. P. H.
Schmidt, andH. Schmidt-Böcking, “Recoil-ion and electron momentum spectroscopy:reaction-microscopes”, Reports on Progress in Physics, vol. 66, no. 9, p. 1463,2003.[3] M. Schulz, R. Moshammer, D. Fischer, H. Kollmus, D. H. Madison, S. Jones,and J. Ullrich, “Three-dimensional imaging of atomic four-body processes”,Nature, vol.
422, no. 6927, pp. 48–50, 2003.[4] D. H. Madison, D. Fischer, M. Foster, M. Schulz, R. Moshammer, S. Jones,and J. Ullrich, “Probing scattering wave functions close to the nucleus”, Phys.Rev. Lett., vol. 91, p. 253201, 2003.[5] D. Fischer, R. Moshammer, M. Schulz, A. Voitkiv, and J. Ullrich, “Fullydifferential cross sections for the single ionization of helium by ion impact”,Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 36, no. 17,p. 3555, 2003.85[6] M. Foster, D.
H. Madison, J. L. Peacher, and J. Ullrich, “Highly chargedparticle impact ionization of He”,Journal of Physics B: Atomic, Molecularand Optical Physics, vol. 37, no. 19, p. 3797, 2004.[7] H. Gassert, O. Chuluunbaatar, M. Waitz, F. Trinter, H.-K. Kim, T. Bauer,A. Laucke, C. Müller, J. Voigtsberger, M. Weller, J. Rist, M. Pitzer, S. Zeller,T. Jahnke, L. P. H.
Schmidt, J. B. Williams, S. A. Zaytsev, A. A. Bulychev,K. A. Kouzakov, H. Schmidt-Böcking, R. Dörner, Y. V. Popov, and M. S.Schöffler, “Agreement of experiment and theory on the single ionization ofhelium by fast proton impact”,Phys. Rev. Lett., vol. 116, p. 073201, 2016.[8] D. Fischer, D. Globig, J. Goullon, M.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
