Диссертация (1150658), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В одном из них, в так называемом расчете в нерелятивистском пределе, подробно обсуждаемом в приложении F,стандартное значение скорости света ≈ 137 а.е. было увеличено в 1000раз. Из сравнения результатов этих расчетов, показанном на рис. 3.21 можно судить о влиянии релятивистских эффектов на вероятность ионизации.Из рисунка видно, что релятивистские эффекты увеличивают вероятностьионизации при малых и уменьшают ее при больших прицельных параметрах для всех рассмотренных состояний.
Такое поведение вероятности ионизации объясняется релятивистским эффектом сжатия и атомных орбиталей. Также интересно, что при малых прицельных параметрах ионизацияиз наиболее связанного 1 состояния наибольшая. Резкий рост ионизации из -оболочки наблюдается при прицельных параметрах меньших, чем радиусоболочки. При бо́льших прицельных параметрах ионизация из -оболочки60Релятивистский расчет1s2s2pРасчет в нерелятивистскомпределе1s2s2p0.0120.01Pion0.0080.0060.0040.002000.050.10.15b (a.u.)Рис.
3.21: Зависимость полной вероятности ионизации от прицельного параметра длястолкновения 100 МэВ/а.е.м. C6+-Xe53+ при различных начальных состояниях. Результаты вычисления в нерелятивистском пределе также показаны.больше, так как энергия ионизации ее электронов меньше. Отметим такжечто кривые, соответствующие вероятностям ионизации из 1 и 2 состояний, являются выпуклыми функциями на всем рассмотренном интервалеизменения прицельного параметра, в то время как кривая, соответствующая полной ионизации из 2 состояния (с учетом усреднения по значениюполного углового момента и его проекциям) при малых прицельных параметрах является вогнутой.Стоит отдельно рассмотреть зависимость полной вероятности ионизацииот прицельного параметра из 2 состояний с различными значениями квантовых чисел и . Эти результаты вместе с результатами соответствующихнерелятивистских вычислений показаны на рис.
3.22. Полная вероятностьионизации не зависит от знака проекций ( и для релятивистского и нере-61Релятивистский расчет2p1/2 (μ = ±1/2)2p3/2 (μ = ±1/2)2p3/2 (μ = ±3/2)Расчет в нерелятивистскомпределе2p (m = 0)2p (m = ±1)0.010.008Pion0.0060.0040.002000.050.10.15b (a.u.)Рис. 3.22: Зависимость полной вероятности ионизации от прицельного параметра длястолкновения 100 МэВ/а.е.м.
C6+-Xe53+ при различных значениях полного углового момента и его проекции начального 2 состояния. Результаты вычисления в нерелятивистском пределе также показаны.лятивистского расчетов соответственно). Однако для обоих расчетов она существенно зависит от их абсолютных значений. В релятивистском расчетеполная вероятность ионизации зависит также от значения полного угловогомомента начального 2 состояния.62ЗаключениеОсновные положения, выносимые на защиту1. Разработан релятивистский метод расчета полностью дифференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях.2. Вычислены различные дифференциальные, а также полные сеченияионизации в столкновении антипротона с атомом водорода, для которогорезультаты имеющихся подходов значительно не согласуются друг с другом.3.
Исследовано влияние релятивистских эффектов в столкновениях с участием тяжелых мишеней на вероятность процесса ионизации.63Я хотел бы поблагодарить своего научного руководителя д.ф.-м.н., профессора Тупицына Илью Игоревича за конструктивные обсуждения и коллег Кожедуба Юрия Сергеевича и Мальцева Илью Александровича за плодотворное сотрудничество. Также хочу выразить благодарность д.ф.-м.н.,профессору Шабаеву Владимиру Моисеевичу за внимание и помощь на протяжении работы над диссертацией.64Список сокращенийВмСиЯМДДСИДКБОДСИПБПТДСИCCCCOLTRIMSCPeefffFAIRFBAiionMOTRIMSnuclPQM-CCCscrTtrTDCCWP-CCC—————————————————————————взаимодействие между снарядом и ядром мишенидважды дифференциальное сечение ионизациидуально кинетический балансоднократно дифференциальное сечение ионизациипервое борновское приближениетрижды дифференциальное сечение ионизацииconvergent close couplingcold target recoil ion momentum spectroscopycoupled pseudostateelectroneffectivefinalFacility for Antiproton and Ion Researchfirst Born approximationinitialionizationmagneto-optical trap recoil ion momentum spectrosсopynucleusprojectilequantum mechanical convergent close couplingscreeningtargettransitiontime-dependent close couplingwave packet convergent close coupling65Приложение AПреобразование нестационарногоуравнения, основанное на выборе фазыволновой функцииПреобразование нестационарного уравнения с помощью выбора фазыволновой функции для избавления от независящих от электронных координат слагаемых применяется довольно давно [74, 79].
Изложение ниже следует недавней работе [80], где подобное преобразование также обсуждается.Сразу отметим, что явный вид стационарного гамильтониана не важен, иподобные рассуждения справедливы как для нерелятивистского уравненияШредингера, так и для релятивистского уравнения Дирака.В представлении прицельного параметра электронная волновая функцияΦ удовлетворяет нестационарному уравнению Дирака[︂]︂Φ= 0 + () Φ,(A.1)где = P + NN ,(A.2)а стационарный атомный гамильтониан определен уравнением (2.3). В явном66виде потенциал может быть записан как =−PT P+,| − |(A.3)а межъядерное расстояние меняется по закону = + .
Взаимодействиемежду снарядом и ядром мишени NN =T Pможет быть исключено изуравнения (A.1) с помощью следующего выбора фазы волновой функции:)︁(︁ ∫︁ T P′√ Ψ,Φ = exp −2 + ′2(A.4)−∞где = . При этом волновая функция Ψ удовлетворяет уравнению несодержащему в явном виде потенциала взаимодействия между снарядом иядром мишени NN[︂]︂Ψ= 0 + P () Ψ,(A.5)совпадающим с уравнением (2.1) Уравнение (A.4) может быть представленов видеΦ = () Ψ,где[︃() = −T Pln(A.6)√︁√︀]︃22( + + )( + 2 + 2 )2.(A.7)При достаточно больших значениях и выражение (A.7) переходит в() = −2T PT Pln(402 ) +ln().(A.8)При и не зависящих от первое слагаемое может быть опущено какобщий фазовый множитель.
Таким образом, при достаточно больших и независящих от прицельного параметра начальном и конечном расстояниях получаем окончательное выражение для фазы ()() =2T Pln(),которое и используется в работе (см. уравнение (2.39)).67(A.9)Приложение BСтационарное уравнение Дирака вконечном базисеB-сплайновБудем решать стационарное уравнение Дирака для активного электрона0 () = (),(B.1)где гамильтониан 0 состоит из свободного дираковского гамильтониана иатомного потенциала T , учитывающего ядерный потенциал в выбранноймодели ядра, а также создаваемый пассивными электронами экранирующийпотенциал (см.
уравнение (2.3)).В сферически симметричном поле T () дираковская волновая функция() может быть представлена как биспинор⎛⎞() κ (^)1⎠,() = ⎝ () (^)(B.2)−κгде () и () — большая и малая радиальные компоненты волновой функции, соответственно. Подставляя уравнение (B.2) в (B.1), получаем системурадиальных уравненийκ () = (),68(B.3)где радиальный гамильтониан κ определен как⎛κ = ⎝[− T[ ++⎞κ ]⎠2κ](B.4),T − 2а двухкомпонентная радиальная волновая функция как⎛⎞()⎠.() = ⎝ ()(B.5)Она (приближенно) раскладывается по конечному базисному набору() =2∑︁(B.6) (),=1где двухкомпонентные функции () квадратично интегрируемы, линейно независимы и удовлетворяют определенным граничным условиям. Тогдакоэффициенты могут быть найдены из вариационного принципа(B.7)⟨|(κ − )|⟩ = 0,приводящего к обобщенной задаче на собственные значения2∑︁ = =1где2∑︁ ,(B.8)=1∫︁∞ = † κ ,∫︁∞ = † .0(B.9)0Обобщенную задачу на собcтвенные значения (B.8) можно решить с помощью стандартных процедур, например, из библиотеки LAPACK (LinearAlgebra PACKage) [81].Перейдем теперь к выбору вида функций .
Прямолинейным выборомфункций является следующий:⎛⎞ ()⎠, () = ⎝069 6 ,(B.10a)⎛ () = ⎝0⎞⎠,− () > ,(B.10b)где { ()}=1 — квадратично интегрируемы, линейно независимы и удовлетворяют граничному условию (0) = 0. Однако этот выбор приводит кпоявлению в спектре уравнения (B.8) ложных, так называемых шпуриозныхсостояний для κ > 0, как было показано в работах [58, 59]. Там же доказывается, что при использовании метода дуального кинетического баланса, вкотором базисные функции, применяемые для разложения большой и малойкомпонент радиальной волновой функции, связаны друг с другом соотношением специального вида, шпуриозные состояния в спектре не возникают.
Этосоотношение эквивалентно соотношению между большой и малой компонентой в нерелятивистском пределе,⎛⎞ ()⎠ , 6 ,)︁1κ22 + ()⎛ (︁⎞)︁1κ22 − − ()⎠, > . () = ⎝− () () = ⎝(︁В качестве функций () используются(B.11a)(B.11b)B-сплайны [55, 82], построение ко-торых приведено ниже. Разобьем отрезок [0, ], на котором ищется решениесистемы радиальных уравнений Дирака (B.3), на части узлами { }=1 .B-сплайны первого порядка определяются выражением,1 () =⎧⎪⎨1, 6 < +1.(B.12)⎪⎩0, иначеB-сплайны высших порядков получаются из них с помощью рекуррентногосоотношения, () = − − ,−1 () ++1,−1 ().+−1 − + − +170(B.13)Видно, чтоB-сплайн -ого порядка , () является кусочно-заданным по-линомом степени − 1, который отличен от нуля только на интервале 6 < + .71Приложение CРешение временного уравнения.Алгоритм ЛанцошаРешение временного уравнения (2.24) может быть выражено через унитарный оператор эволюции() = (, 0 )(0 ),(C.1)который в свою очередь удовлетворяет следующему уравнению и начальному условию: (, 0 ) = () (, 0 ),(C.2)(C.3) (0 , 0 ) = 1.Оператор эволюции обладает свойствами (, 0 ) = (, 1 ) (1 , 0 ),(C.4) (, 0 ) = −1 (0 , ).(C.5)Последовательно интегрируя уравнение (C.2), можно получить его формальное решение∫︁2 (, 0 ) = 1 − ∫︁∫︁11 (1 ) + (−)12 (1 ) (2 ) + · · ·0∫︁ 0 ∫︁ 1∫︁ −102 .
. . (1 ) (2 ) . . . ( ) + · · · . (C.6)+ (−) 100072Каждый член ряда в уравнении (C.6) может быть записан с помощью оператора временного упорядочивания как(−) (, 0 ) =!∫︁∫︁10∫︁2 . . .0 { (1 ) (2 ) . . . ( )},(C.7)0а сам оператор эволюции как (, 0 ) =∞∑︁{︂ ∫︁ }︂ (, 0 ) = exp − ( ) .(C.8)0=0Однако прямое использование ряда (C.6) для численной пропагации неудобно. Более того, его обрезание на любом заданном слагаемом нарушает унитарность получившегося оператора. Разбивая весь интервал времени на малые промежутки и пренебрегая зависимостью () от на малом промежутке времени, для оператора эволюции можно получить{︂ ∫︁ }︂ ∏︁(︁)︁ (, 0 ) = exp − ( ) ≈exp − ( )Δ ,0(C.9)=1где интервал [0 , ] разбит на подынтервалы точками . Таким образом, задача сводится к отысканию пропагатора(︁ (, + Δ ) = exp − ( )Δ)︁(C.10)на подынтервале [ , + Δ ]. Обычно прямая диагонализация матрицы ( ) для каждого подынтервала является очень трудоемкой задачей, и используются различные приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
