Диссертация (1150658), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Более того, взаимодействие междуснарядом и ядром мишени не влияет на сечения не дифференциальные попеременным рассеянного снаряда. Несмотря на использование представле-17ния прицельного параметра для описания столкновения, можно получитьсечения ионизации, дифференциальные в том числе по переменным рассеянного снаряда, и зависящие от учета этого взаимодействия. При этомпостоянство прицельного параметра является удобным приближением длярешения нестационарного уравнения Дирака (2.1) и вычисления матричныхэлементов (см. уравнение (2.19)).Потенциал мишени T состоит из кулоновского потенциала ядра nucl иэкранирующего потенциала пассивных электронов scr(2.6)T = nucl + scr .Эффекты конечного размера ядра, существенные для тяжелых ядер, включены в потенциал nucl c помощью подходящего распределения заряда поядру.
В данной работе использовалась модель равномерно заряженного шара с плотностью () =3(nucl −),34nuclв которой потенциал ядра задаетсявыражениемnucl () =⎧⎪⎨− , > nucl(︁⎪⎩− 2 3 −2nucl22nucl)︁,(2.7), 6 nuclгде nucl — радиус ядра. Локальный экранирующий ядро потенциал пассивных электронов scr может быть получен различными приближеннымиметодами (см., например, [54]).Для того чтобы решить уравнение (2.1), разложим нестационарную волновую функцию Ψ(, , ) по конечному базисному наборуΨ(, , ) =∑︁ (, )− (),(2.8)где базисные состояния ортонормированы. Они получены диагонали-^ 0 с использованиемзацией стационарного атомного гамильтониана B-сплайнов [55, 56]^ 0 | ⟩ = ,⟨ |18⟨ | ⟩ = .(2.9)Благодаря тому что потенциал мишени T () обладает сферической симметрией, базисная функция () может быть представлена как биспинор κ () с определенным главным квантовым числом , релятивистскимугловым квантовым числом κ = (−1) + +1/2 ( +1/2) и проекцией полногоуглового момента на ось ⎛ () ≡ κ () =⎞)1 ⎝ κ () κ (^⎠, () (^) κ(2.10)−κ где κ () и κ () — большая и малая радиальные компоненты волновой функции, соответственно, и κ (^ ) — шаровые спиноры, а такжеиспользовано обозначение ^ = / [57].
В дальнейшем будем предполагать,что ось направлена вдоль вектора .Базисные состояния описывают связанные состояния мишени, а такжесостояния непрерывного спектра (как дискретизованные положительно- иотрицательно-энергетические континуумы). Более того, для нескольких первых связанных состояний они очень близки к точным. Их качество и общееколичество зависит от количества B-сплайнов, использованных для диагонализации стационарного атомного гамильтониана (см.
уравнение (2.9). Особо^ 0 произвоотметим, что диагонализация релятивистского гамильтониана дится с использованием подхода дуально-кинетического баланса [58]. Благодаря этому полученный базисный набор не содержит так называемыхшпу-риозных состояний, которые могут возникнуть для представления уравненияДирака в конечном базисном наборе [59] (см. приложение B).Подставляя уравнение (2.8) в уравнение (2.1) и пользуясь свойствами (2.9)базисных функций (2.10), получим так называемую системусвязанных ка-налов для коэффициентов разложения волновой функции по базису (, ) ∑︁= (, )( − ) ⟨ |P | ⟩19(2.11)с начальными условиями, характеризующими начальное состояние активного электрона ( → −∞, ) = .(2.12)В частном случае основного состояния одноэлектронной мишени ≡ { =1; κ = −1; = 1/2}.
Заметим, что в релятивистском случае основное состояние вырождено по проекции полного углового момента, которая можеттакже принимать противоположное значение = −1/2. Значение проекцииполного углового момента начального состояния будет важно в дальнейшемпри вычислении дифференциальных сечений ионизации.Стоит отметить, что атомно-подобный базисный набор центрированныйтолько на мишени (или только на снаряде) не позволяет корректно описатьпроцессы перезарядки (захвата активного электрона снарядом).
Таким образом, настоящий метод может быть использован, если вероятность процессовперезарядки мала по сравнению с вероятностью процессов возбуждений иионизации. Это условие выполняется для столкновений с быстрыми снарядами, легкими (по сравнению с мишенью) снарядами и снарядами не имеющими связанных электронных состояний. В общем случае метод позволяетвычислять так называемую вероятность обдирки (в англоязычной литературе используется терминelectron loss), т.е.
сумму вероятностей ионизации иперезарядки [60].Перейдем теперь к вычислению матричных элементов потенциала снаряда () ≡ ⟨ |P | ⟩. Из свойств матричного элемента () при вращении вокруг оси следует, что можно выделить следующую зависимость: () = ̃︀ (, )( − ) ,(2.13)где — азимутальный угол вектора . Тогда зависимость коэффициентаразложения волновой функции (, ) от азимутального угла тоже может20быть факторизована̃︀ (, )( − ) . (, ) = (2.14)̃︀ (, ) удовлетворяет системе уравненийПри этом ̃︀ (, ) ∑︁̃︀ (, )( − ) ̃︀ (, )=(2.15)с начальными условиями̃︀ ( → −∞, ) = .(2.16)Таким образом, система уравнений (2.15) не содержит зависимости от угла . Отметим также появление проекции полного углового момента вформуле (2.14), по которой можно восстановить эту зависимость для коэффициента (, ) уже после решения системы (2.15) с начальными условиями (2.16).
Множитель в (2.14) обеспечивает выполнение начальныхусловий (2.12) для коэффициента (, ).Для вычисления матричных элементов ̃︀ (, ) удобно переразложить потенциал снаряда по сферическим функциям в начало координат, где центрированы базисные функции. Пренебрегая эффектом конечного ядра дляснаряда, это переразложение можно выполнить аналитически [61])︂ ∞ (︂PP ∑︁ < ∑︁ * ^−=− (^ )(),| − |>>=0(2.17)=−где < и > — наименьшее и наибольшее из пары {, }, соответственно, а обозначает сферический тензор, который связан со сферической функцией как(^) =√︂4 (^ ).2 + 1(2.18)Аналогичное разложение можно написать и для потенциала снаряда, учитывающего протяженность ядра. При этом угловая часть останется прежней, а радиальную можно получить численно [62].
Эффекты, связанные с21протяженностью ядра снаряда могут играть роль для процессов рожденияэлектрон-позитронных пар в столкновениях тяжелых ионов [63, 64], которые происходят при очень малых межъядерных расстояниях. Для процессаионизации эти эффекты несущественны.Таким образом, матричный элемент ̃︀ может быть представлен в следующей форме:̃︀ (, ) ≡ ̃︀ κ κ (, ) =∑︁* κ κ (, ) κ κ (arccos(/), 0),(2.19)где радиальная часть задается выражением κ κ(︂ )︂∫︁∞]︁1 < [︁= −P κ () κ () + κ () κ () , (2.20)> >0а угловая часть является так называемым релятивистским коэффициентомГаунтаκ κ = ⟨κ | |κ ⟩ = ( ; ).(2.21)Он может быть выражен через 3 -символы как⎞⎛⎞⎛√︀ 1⎠⎝ ⎠, ( ; ) = (−1) 2 + (2 + 1)(2 + 1) ⎝11− 2 0 −2(2.22a)где сумма + + должна быть четной, иначе ( ; ) = 0.(2.22b)Часто используемый нерелятивистский коэффициент Гаунта пропорционален хорошо известному интегралу от трех сферических функций [61].
Выводформулы (2.22) и коэффициенты Гаунта более подробно обсуждаются в приложении E.Заметим, что вычисление матричных элементов ̃︀ по формуле (2.19)производится в лабораторной системе координат . Однако этот наиболее22прямолинейный способ не лучший с вычислительной точки зрения. Болееэффективно сначала вычислить матричные элементы ̃︀0 влокальной си-стеме отсчета ′ , в которой ось ′ направлена вдоль межъядерного вектора в каждый момент времени. После этого необходимо либо преобразоватьматричные элементы ̃︀0 при переходе из локальной в лабораторную систему отсчета с помощьюD-функций Вигнера (см., например, [62]), либопереписать нестационарное уравнение Дирака (2.1) в локальной системе отсчета.
Так как вращающаяся система отсчета ′ является неинерциальной,в гамильтониане (2.2) появляется при этом дополнительное слагаемое (см.,например, [65]).Для вычисления и хранения матричных элементов ̃︀ удобно пользоваться свойством симметрии по отношению к смене знака проекций полныхугловых моментов стоящих в обкладках волновых функций̃︀ κ − κ − = (−1)( + + − − − ) ̃︀ κ κ .(2.23)Система уравнений (2.15) может быть удобно записана в матричной форме̃︀̃︀= , = ( − ) ̃︀ ,(2.24)̃︀ составлен из коэффициентов разложения ̃︀ . Для решениягде вектор матричного уравнения (2.24), используется метод Ланцоша [66, 67]. В этомметоде экспонента от матрицы аппроксимируется в подпространстве Крылова [68].
Метод пропагации Ланцоша в настоящее время стал стандартнойпроцедурой в различных химических и физических вычислениях [69,70]. Более детальное обсуждение метода решения нестационарного уравнения (2.24)и описание алгоритма Ланцоша можно найти в приложении C.232.2Дифференциальные и полные сечения ионизацииПолная вероятность ионизации вычисляется как следующая сумма поположительно-энергетическим базисным состояниям:ion () = ion () =∑︁̃︀ ( → ∞, )|2 .|(2.25): >0Полную вероятность ионизации можно также вычислять с помощью метода, использованного, например, в работах [39, 71], где суммирование идет повсем базисным состояниям и для каждого из них учитывается доля перекрывания с положительно-энергетическим континуумом.
Однако в достаточнобольшом базисном наборе эти два способа должны приводить к одинаковымрезультатам.Полное сечение ионизации вычисляется интегрированием по прицельномупараметру∫︁ion =∫︁2∫︁∞∫︁∞ ion () = ion () = 2 ion ().00(2.26)0Используя метод Стилтьеса для каждой симметрии κ , можно также вычислить парциальные вероятности переходов дифференциальные по энергииэлектрона [64],(︂ κ)︂κtrκ +1 + κ1 +1 () + κ (), =,22κ+1 − κ(2.27)гдеκ ()=∑︁̃︀ κ ( → ∞, )|2 .| (2.28)После интерполяции парциальных вероятностей на общую энергетическуюсетку, суммирования по симметриям и интегрирования по прицельному параметру можно получить однократно (по энергии) дифференциальное сече-24ние переходаtr= 2∫︁∞∑︁ κ ()tr.
κ(2.29)0Заметим, что энергии ≡ κ получены диагонализацией стационарно-^ 0 в конечном базисего атомного гамильтониана B-сплайнов (см. урав-нение (2.9)) и не могут быть выбраны произвольно. Кроме того, базисныефункции с энергией около порога ионизации ( = 0) имеют похожееповедение для положительных и отрицательных значений энергии . Такимобразом, уравнение (2.27) может быть использовано также и при < 0, давая в этом случае вероятность возбуждения в интервал энергий, в отличиеот дифференциальной вероятности ионизации при > 0.Перейдем к вычислению вероятности испускания электрона в определенном направлении. Разложение волновой функции испущенного электрона(−)Ψ^ () с определенным асимптотическим импульсом и проекцией спинана ось по сферическим волнам есть [72](−)Ψ^ () =∑︁*^ κ (), −Δκ ,()12(2.30)κгде , 1 — коэффициент Клебша-Гордана, κ — дираковская парциаль2ная волна и Δκ — разница между асимптотической фазой решения уравнения Дирака в кулоновском поле и свободного уравнения Дирака [57].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
