Диссертация (1150496), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ñèíèå,÷¼ðíûå è êðàñíûå ëèíèè îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî íàïðÿæåíèÿ, ðàñ÷èòàííûåïðè ïàðàìåòðå ôîðìû y ðàâíîì 2; 0, 6; 0, 2. Ýòè çàâèñèìîñòè äåìîíñòðèðóþòòàê íàçûâàåìûé ðàçìåðíûé ýôôåêò, êîòîðûé áûë îòìå÷åí âî ìíîãèõ ðàáîòàõ(ñì., íàïðèìåð, [14, 35, 43, 44]) è ïðîÿâëÿåòñÿ íà íàíîñòðóêòóðíîì óðîâíå ïðèó÷¼òå ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé.Èç ðèñ. 1.6, 1.7 âèäíî, ÷òî íàèáîëåå çàìåòíîå âëèÿíèå ïåðèîäà íàãðóçêè íà íàïðÿæåíèÿ íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ èçìåíåíèÿ a ïðèìåðíî îò 1 äî 30íì. Ïðè a > 100 íì ðàçìåðíûé ýôôåêò ïðàêòè÷åñêè èñ÷åçàåò, è íàïðÿæ¼ííîäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå òåëà íå çàâèñèò îò ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé.(à)(á)1,003,0y=2max |σ11 |/q2max |σ11 |/q12,52,01,5y = 0, 21,00,750,50y = 0, 60,25y = 0, 6y = 0, 2y=20,510a,100íì0,00100010100a,íì1000Ðèñ. 1.6.
Çàâèñèìîñòü ìàêñèìóìîâ ïðîäîëüíûõ íàïðÿæåíèé îò ïåðèîäà äåéñòâèÿ êàñàòåëüíîé(à) è íîðìàëüíîé (á) íàãðóçêè 37 (à)(á)y = 0, 20,16max |σ12 |/q2max |σ12 |/q11,000,750,50y = 0, 2y=20,120,080,04y = 0, 60,25y = 0, 6y=20,000,0010a,íì100100010a,íì1001000Ðèñ. 1.7. Çàâèñèìîñòü ìàêñèìóìîâ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé îò ïåðèîäà äåéñòâèÿ êàñàòåëüíîé (à) è íîðìàëüíîé (á) íàãðóçêè êîíöå ãëàâû ïðèâåäåì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, âûòåêàþùèå èç ïîëó÷åííûõçàâèñèìîñòåé. Ýôôåêò ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé, âîçíèêøèõ â ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ ïîâåðõíîñòíîé íàãðóçêè, äåéñòâóþùåé â íàíîìåòðîâîì äèàïàçîíå íàãðàíèöå ïîëóïëîñêîñòè, ïðîÿâëÿåòñÿ â ñëåäóþùåì:• ïðè äåéñòâèè êàñàòåëüíûõ óñèëèé àìïëèòóäà ïðîäîëüíûõ è êàñàòåëüíûõíàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå óìåíüøàåòñÿ,• ïðè äåéñòâèè íîðìàëüíûõ óñèëèé àìïëèòóäà ïðîäîëüíûõ íàïðÿæåíèé íàãðàíèöå óìåíüøàåòñÿ, à òàêæå âîçíèêàþò êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ,• ÷åì áîëåå ðåçêîå èçìåíåíèå íàãðóçêè, òåì ñèëüíåå ïðîÿâëÿåòñÿ ýôôåêòïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé,• âëèÿíèåì ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, åñëè ïåðèîäa > 100 íì.
38 Ãëàâà 2. Ïîëóïëîñêîñòü ñî ñëàáîèñêðèâë¼ííîé ãðàíèöåéÇà èñêëþ÷åíèåì èäåàëüíûõ (áåçäåôåêòíûõ) êðèñòàëëîâ, ïîâåðõíîñòè ðåàëüíûõ òåë ðåäêî áûâàþò èäåàëüíî ãëàäêèìè è ïëîñêèìè. Ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî îáû÷íî ïîâåðõíîñòü îêàçûâàåòñÿ ðèôë¼íîé èëè øåðîõîâàòîé äàæåòîãäà, êîãäà îíà ñ÷èòàåòñÿ ïëîñêîé [45, 46]. Öåëüþ äàííîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ýôôåêòà âîçäåéñòâèÿ ïîâåðõíîñòíîãî íàïðÿæåíèÿ íà íàïðÿæ¼ííîåñîñòîÿíèå ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöû è ïîñëåäóþùèé àíàëèç âëèÿíèÿ ôîðìûïîâåðõíîñòè íà íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå òåëà. 2.8Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì óïðóãóþ ñðåäó, çàíèìàþùóþ ïîëóïðîñòðàíñòâî, ïîâåðõíîñòüêîòîðîãî áëèçêà ê ïëîñêîé ôîðìå è îáëàäàåò óïðóãèìè ñâîéñòâàìè, îòëè÷íûìèîò àíàëîãè÷íûõ ñâîéñòâ îáú¼ìà. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñðåäà íàõîäèòñÿ â óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë è äîïîëíèòåëüíûõ ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé σ s .
Ýòî ïîçâîëÿåò ïåðåéòè ê ôîðìóëèðîâêå ñîîòâåòñòâóþùåé äâóìåðíîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ïîëóáåñêîíå÷íîé îáëàñòè Ω [47]Ω = {z : Im z < εf (x1 ), Re z ∈ R1 }â ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî z = x1 + ix2 . Ãðàíèöà Γ îáëàñòè Ωîïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìζ = x1 + iεf (x1 ).(8.1) 39 Çäåñü f (x1 ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì a, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì max |f (x1 )| = a, |f 0 (x1 )| < 1/ε, 0 < ε 1.Òàêèì îáðàçîì, ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå òî÷åê ïîâåðõíîñòè îò ïëîñêîñòèx2 = 0 ðàâíî εa.p(x1 )σsx2Γσsx1σ1Ωλ, µσ1∞σ12∞σ22Ðèñ.
2.8. Äâóìåðíàÿ ìîäåëü óïðóãîãî òåëà ñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöåéÑîãëàñíî îáîáù¼ííîìó çàêîíó Ëàïëàñà Þíãà [12], ãðàíè÷íîå óñëîâèå âñëó÷àå ïëîñêîé äåôîðìàöèè [33] èìååò âèäσtts1 dσttsσn (ζ) =−i+ p(ζ) ≡ ts (ζ) + p(ζ),rh dx1ζ ∈ Γ,(8.2)ãäå σn = σnn + iσnt ; p(ζ) = pn (ζ) + ipt (ζ); σnn , σnt íîðìàëüíîå è êàñàòåëüíîåíàïðÿæåíèÿ â ëîêàëüíîé äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò n, t ñöåíòðîì â òî÷êå z (â óðàâíåíèè (8.2) îñü n ïåðïåíäèêóëÿðíà Γ); pn , pt ïðîåêöèè âåêòîðà âíåøíåé íàãðóçêè íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò n, t; σ s ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå; ðàäèóñ êðèâèçíû r êðèâîé Γ è ìåòðè÷åñêèé êîýôôèöèåíò h (êîýôôèöèåíò Ëàìå) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè [38]11=q,h201 + (εf (x1 ))1=rεf 00 (x1 )21 + (εf 0 (x1 ))3/2 .(8.3)Ñ÷èòàåì, ÷òî ôóíêöèÿ p óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ üëüäåðà âñþäó íà Γ èζ+a/2Zp(τ )dτ = −iP,p(ζ) = p(ζ + a),ζ−a/2P = P1 + iP2 .(8.4) 40 Óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè èìåþò âèälim (σ22 − iσ12 ) = −x2 →−∞ 2.9iP,alim ω = ω ∞ .lim σ11 = σ1 ,x2 →−∞x2 →−∞(8.5)Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ èñêðèâë¼ííîé ãðàíèöûÎïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ ïîâåðõíîñòíîé è îáú¼ìíîé òåîðèè óïðóãîñòèâ ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò n, t çàïèøåì â âèäå [12, 11]:σ s = γ0 + (λs + 2µs )εstt ,σnn = (λ + 2µ)εnn + λεtt ,σnt = 2µεnt ,sσ33= γ0 + (λs + γ0 )εstt ,(9.1)σtt = (λ + 2µ)εtt + λεnn ,(9.2)σ33 = ν(σtt + σnn ).(9.3)Äëÿ íàõîæäåíèÿ íàïðÿæ¼ííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ òåëà âîñïîëüçóåìñÿ åäèíîé ôîðìóëîé, àíàëîãè÷íîé ñîîòíîøåíèÿì (4.4) (4.5), ïîçâîëÿþùåé âûðàçèòü íàïðÿæåíèÿ è ïåðåìåùåíèÿ ÷åðåç êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû Ãóðñà Êîëîñîâà [41]:zΦ0 (z)+ Ψ(z) e−2iα ,G(z) = ηΦ(z) + Φ(z) + σ(z),η = 1,G(z) = −2µ du , η = −κ.dzÒàê æå êàê è â ïåðâîé ãëàâå, ââåä¼ì íîâóþ ôóíêöèþ ΥΥ(z) = −Φ(z) − zΦ0 (z) − Ψ(z),z ∈ Ω,(9.4)(9.5)(9.6)ez ∈ Ω.Òîãäà ïðè z ∈ Ω ñîîòíîøåíèå (9.4) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäóG(z) = ηΦ(z) + Φ(z) − Υ(z) + Φ(z) − (z −z)Φ0 (z)e−2iα ,(9.7)ãäå α óãîë ìåæäó îñÿìè t è x1 , îòñ÷èòûâàåìûé îò îñè x1 ïðîòèâ ÷àñîâîéñòðåëêè; ÷åðòà ñâåðõó îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.
41 Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ Φ(z) ãîëîìîðôíà â îáëàñòè Ω, à Υ(z) â îáëàñòèe = {z : z ∈ Ω} c ãðàíèöåé Γe = {ζ : ζ = x1 − iεf (x1 )} (ðèñ. 2.9). ÏðèΩe è ãðàíèöà Γe ÿâëÿþòñÿ çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì ñîîòâåòñòâåííîýòîì îáëàñòü Ωîáëàñòè Ω è ãðàíèöû Γ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé x2 = 0.(à)(á)eΩΓΥeΓΦΩÐèñ. 2.9. Îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé Φ (à) è Υ (á)Ïåðåéä¼ì â (9.7) ê ïðåäåëó ïðè z → ζ ∈ Γ, íàïðàâèâ îñü t ïî êàñàòåëüíîéê Γ â ñîîòíîøåíèè (9.8) è ïî íîðìàëè â (9.9). Óãîë α ñîîòâåòñòâåííîπ+ α0 , ãäå α0 óãîë íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê Γ, à2çíà÷èò, tg α0 = εf 0 (x1 ).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì äâà óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíûïðèìåò çíà÷åíèÿ α0 èóäîâëåòâîðÿòü ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ Φ è Υσnn (ζ) + iσnt (ζ) = Φ− (ζ) + Φ− (ζ) −+− Υ (ζ) +Φ− (ζ)e−2iα0 ,(9.8)e−2iα0 ,(9.9)− 2iεf (x1)Φ−0 (ζ)− 2iεf (x1)Φ−0 (ζ)σtt (ζ) − iσnt (ζ) = Φ− (ζ) + Φ− (ζ) +++ Υ (ζ) +Φ− (ζ)ãäåζ ∈ Γ,Φ− (ζ) = lim Φ(z),z→ζ−i0Υ+ (ζ) = lim Υ+ (z).z→ζ+i0Ïðè âûâîäå ðàâåíñòâ (9.8) (9.9) ó÷òåíî, ÷òî e−2i(α0 −π/2) = −e−2iα0 , à òàêæå(ζ − ζ) = 2iεf (x1 ). 42 Ñ ó÷¼òîì ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (8.2) èç (9.8) ïîëó÷èì êðàåâîå óñëîâèåts (ζ) + p(ζ) = Φ− (ζ) + Φ− (ζ) −+− Υ (ζ) + 2.10Φ− (ζ)− 2iεf (x1)Φ−0 (ζ)e−2iα0 .(9.10)Ìåòîä âîçìóùåíèéÑëåäóÿ ìåòîäó âîçìóùåíèé [31], ðàçëîæèì â ðÿä ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòèóðàâíåíèÿ (9.8), äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì ôóíêöèè Φ, Υ è σ s â âèäå ñòåïåííûõðÿäîâ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ε:Φ(z) =∞Xεnn=0n!Φn (z),Υ(z) =∞Xεnn=0n!σtts (ζ)Υn (z),=∞Xεnn=0n!σns (ζ).(10.1)Çàòåì ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé Φn , Υn , è ôóíêöèè p, σns íà Γ ðàçëîæèì âñîîòâåòñòâóþùèå ðÿäû Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè ïðÿìîé Im ζ = 0:Φ−n (ζ)=∞X(iεf (x1 ))mm=0p(ζ) =∞X(iεf (x1 ))mm=0Υ+nζ ==m!m!∞X(iεf (x1 ))mm=0m!(m)(x1 ),p(m) (x1 ),∞X(−iεf (x1 ))mm=0σns (ζ)m!Φ−nΥ+n(m)(x1 ),σns(m) (x1 ).(10.2)(10.3)(10.4)(10.5)Ðàäèóñ êðèâèçíû ãðàíèöû r è ìåòðè÷åñêèé êîýôôèöèåíò h îïðåäåëÿþòñÿñîîòíîøåíèÿìè (8.3) ÷åðåç ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè, ñëåäîâàòåëüíî, èõ òîæå ìîæíî âûðàçèòü â âèäå ðÿäîâ.
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ 43 ðàâåíñòâîì [48]:(1 + x)q = 1 + qx ++q(q − 1) 2x + ...2!q(q − 1) · . . . · (q − n + 1) nx + ...n!(10.6)Ðÿä (10.6) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ïðè |x| < 1, åñëè q íå ÿâëÿåòñÿ íè íàòóðàëüíûì÷èñëîì, íè íóë¼ì. Òàê êàê |εf 0 (x1 )| < 1, òî íà îñíîâàíèè (10.6) êîýôôèöèåíòû(8.3) ìîæåì çàïèñàòü â âèäå∞1 X (−1)n (2n − 1)!!=(εf 0 (x1 ))2n ,nh n=0 n!2∞X1(−1)n (2n + 1)!!00= εf (x1 )(εf 0 (x1 ))2n .nrn!2n=0(10.7)Çäåñü âûðàæåíèå âèäà n!! îçíà÷àåò ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âîòðåçêå [1; n], èìåþùèõ òó æå ÷¼òíîñòü, ÷òî è n, ò.
å.n!! = n(n − 2)(n − 4) · . . .Äëÿ óäîáñòâà ââåä¼ì êîýôôèöèåíòû Rn è Hn , êîòîðûå îïðåäåëèì ðàâåíñòâàìè∞1 X εn=Rn (x1 ),rn!n=0∞1 X εn=Hn (x1 ),h n=0 n!(10.8)ãäåR2n+1H2n(−1)n (2n + 1)!(2n + 1)!! 0=(f (x1 ))2n f 00 (x1 ),nn!2(−1)n (2n)!(2n − 1)!! 0=(f (x1 ))2n ,nn!2R2n = 0,(10.9)H2n+1 = 0,(10.10)ïðè n = 1, 2, 3, . . . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íóëåâîãî, ïåðâîãî è âòîðîãî ïðèáëèæåíèéèìååì:R0 = 0,R1 = f 00 (x1 ),R2 = 0,(10.11)H0 = 1,H1 = 0,02H2 = −f (x1 ).Êðîìå òîãî, ïðèìåì âî âíèìàíèå ñîîòíîøåíèå∞X1=(−iεf 0 (x1 ))m01 + iεf (x1 ) m=0(10.12) 44 è ïðåäñòàâèì ìíîæèòåëü e−2iα â âèäå:e−2iα∞X2iεf 0 (x1 )=1−=1+2(−iεf 0 (x1 ))m .01 + iεf (x1 )m=1(10.13)Ó÷èòûâàÿ ðàçëîæåíèÿ â ðÿäû (10.1) (10.5), à òàêæå ïðåäñòàâëåíèÿ (10.9)è (10.10), çàïèøåì ôóíêöèþ ts â âèäå ñîîòâåòñòâóþùåãî ðÿäàst (x1 ) =∞Xεn n=0=n!∞Xεnn=0n!Tns (x1 )+H0 σns 0(10.14)=!n−1lXn!(if )12Ck−l,l− iCk−l,l+ H0 σns 0 ,l!(n − l)!(10.15)l=0ãäå1Ck,lnXn!Rm (x1 ) s(l)=σn−m (x1 ),m!(n−m)!m=02Ck,lnXn!Hm (x1 ) s(l+1)=σn−m (x1 ),m!(n−m)!m=0ïðè ýòîì Tns çàâèñèò òîëüêî îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé.Ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü óñëîâèÿ (9.8) ðàçëîæåíèÿ (10.1) (10.5),(10.13), à â ëåâóþ ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè ts (10.14) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ εn , ïðèõîäèì â nîì ïðèáëèæåíèè (n = 0, 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
