Диссертация (1150496), страница 5
Текст из файла (страница 5)
28 Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèþ(4.22), èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïðè îòñóòñòâèèsâíåøíèõ óñèëèé ñóùåñòâîâàëî áû ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå σ11, îòëè÷íîå îòêîíñòàíòû, ÷òî äëÿ áåñêîíå÷íîé ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè íåðåàëüíî. Ïî ýòîé ïðè÷èíå, åñëè ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ts óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ üëüäåðà, òî óðàâíåíèå (4.22) âñåãäà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ëþáîé íåïðåðûâíîé ïðàâîé÷àñòè [42]. 1.5Ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïðè äåéñòâèèïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêèÍàéä¼ì ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå äåéñòâèÿ íà ãðàíèöå Γñàìîóðàâíîâåøåííîé ïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêè p(x), ò.
å. ïðè P = 0. Ðàññìîòðèì÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà êàñàòåëüíûå óñèëèÿ p1 îïèñûâàþòñÿ íå÷¼òíîé ôóíêöèåé,à íîðìàëüíûå p2 ÷¼òíîé. Òîãäà ôóíêöèþ p ìîæíî ðàçëîæèòü â ñëåäóþùèéðÿä Ôóðüåp(x) = p1 (x) + ip2 (x) =nX(5.1)(Ck sin bk x + iDk cos bk x) ,k=0ãäå2Ck =aZa/2p1 (x) sin bk xdx,−a/22Dk =aZa/2p2 (x) cos bk xdx,bk =2πk.a−a/2Çäåñü è äàëåå âìåñòî x1 èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå x ≡ x1 .sÂåùåñòâåííóþ ôóíêöèþ σ11òàêæå èùåì â âèäå ðÿäà Ôóðüå:sσ11(x)=∞XAk cos bk x + Bk sin bk x.(5.2)k=0Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû Ak , Bk ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ (4.22), ïîäñòàâèâ â íåãî âûðàæåíèÿ (5.1) è (5.2) è âçÿâ ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëû.
Îäíàêî ïðîùå íàéòè ýòè êîýôôèöèåíòû äðóãèì ïóò¼ì. 29 Äëÿ èíòåãðàëîâ òèïà Êîøè (4.18) â ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ [41]:1. Åñëè ôóíêöèÿ f (z) ãîëîìîðôíà â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè Ω, âêëþ÷àÿáåñêîíå÷íî óäàë¼ííóþ òî÷êó, íåïðåðûâíàÿ â Ω ∪ Γ, ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî ïåðåìåííîé Re z èlimIm z→−∞f (z) = a = const, |a| < ∞. Òîãäà1F (z) =2πiZ+∞−∞ a/2,f (t)dt =t−zIm z > 0,(5.3)−f (z) + a/2, Im z < 0.2. Åñëè ôóíêöèÿ f (z) ãîëîìîðôíà â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè Ω, âêëþ÷àÿáåñêîíå÷íî óäàë¼ííóþ òî÷êó, íåïðåðûâíàÿ â Ω ∪ Γ, ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî ïåðåìåííîé Re z èlimIm z→−∞f (z) = a = const, |a| < ∞.
ÒîãäàF (z) =Z+∞12πi−∞ f (z) − a/2, Im z > 0,f (t)dt =t−z−a/2,(5.4)Im z < 0.Ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèÿ (5.1), (5.2) â ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (4.10), ñ ó÷¼òîì (5.3) è (5.4) ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ äëÿ êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà Θ:1ibk z∞X 2 (Ck − Dk − bk Ak + ibk Bk )e , Im z > 0,Θ(z) = C + 1k=0 (Ck + Dk − bk Ak − ibk Bk )e−ibk z , Im z < 0.2(5.5)Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ (5.5) â óðàâíåíèå (4.15) ñ ó÷¼òîì îáîçíà÷åíèé (4.9)è, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ãàðìîíèêàõ, ïîëó÷àåì ðåøåíèå:A0 = γ0 + M (κ + 1)Ak =σ1,4M (Ck (κ + 1) + Dk (κ − 1)), k ≥ 1,2 + M bk (κ + 1)Bk = 0,(5.6)k ≥ 0.Òàêèì îáðàçîì, íàéäåíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ âñåõ êîýôôèöèåíòîâs0ðÿäà Ôóðüå (5.2) èñêîìîé ôóíêöèè σ11, òî åñòü ïîëó÷åíî òî÷íîå ðåøåíèå èíòå- 30 ãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (4.22) â âèäå ðÿäà Ôóðüå:sσ11(x)= τ0 +∞XAk cos bk x,k=1σ1τ0 = γ0 + M (κ + 1) .4(5.7)Âåëè÷èíà τ0 åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå, îòâå÷àþùåå îäíîðîäíîìó íàïðÿæ¼ííî-äåôîðìèðîâàííîìó ñîñòîÿíèþ òåëà ñ ïëîñêîéãðàíèöåé.
Èç (5.7) âèäèì, ÷òî τ0 = γ0 ïðè îòñóòñòâèè â òåëå íàïðÿæåíèé(σ1 = 0, p = 0). Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü íå ìîæåò íàõîäèòñÿ âíàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè, òî γ0 = 0. Òàêèì îáðàçîì, â äàííîé çàäà÷å îñòàòî÷íîåïîâåðõíîñòíîå íàïðÿæåíèå ðàâíî íóëþ. Î÷åâèäíî, ïðè÷èíîé ýòîìó ÿâëÿåòñÿòîò ôàêò, ÷òî ãðàíèöà òåëà íåçàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü.Äàëåå ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êàñàòåëüíûõ σ12 è ïðîäîëüíûõ σ11 íàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå Γ. Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ (5.5) â ñîîòíîøåíèÿ (4.11) è â (4.12), ïîëó÷èì:σ11 (x)|x2 =0 =∞X2Ck + Dk − 2bk Ak cos bk x + σ1 ,(5.8)Ck − bk Ak sin bk x,(5.9)k=1σ12 (x)|x2 =0 =∞Xk=1σ22 (x)|x2 =0 =∞XDk cos bk x.(5.10)k=1 1.6Ïðèìåð äàííîì ðàçäåëå ïîëó÷åííîå â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ðåøåíèå çàäà÷è ïðèìåíÿåòñÿ ê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ, êîãäà íàãðóçêà, äåéñòâóþùàÿ íà ãðàíèöå 31 ïîëóïëîñêîñòè, îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì èç ðàâåíñòâp1 (x, y) = q1Im f (x, y),max | Im f (x, y)|ãäåp2 (x, y) = q2Re f (x, y),max | Re f (x, y)|(6.1)iπxf (x, y) = − sh−2 y +,(6.2)aq1 , q2 ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, ðàâíûå ìàêñèìóìàì àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ óñèëèé; ïàðàìåòð y îïðåäåëÿåò ôîðìó ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâûõ.Ôóíêöèÿ p1 (x) ÿâëÿåòñÿ íå÷¼òíîé, à p2 (x) ÷¼òíîé.Ìíèìàÿ ÷àñòü p1 (x, y) êîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèè f (x, y) îïèñûâàåò äåéñòâèå âíåøíèõ êàñàòåëüíûõ íàãðóçîê íà ãðàíèöå Γ, à âåùåñòâåííàÿ ÷àñòüp2 (x, y) äåéñòâèå âíåøíèõ íîðìàëüíûõ íàãðóçîê.
Ãðàôèêè ôóíêöèé (6.1) ïðèðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ôîðìû y èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.3. Âèäíî, ÷òî ñóìåíüøåíèåì ïàðàìåòðà ôîðìû y íàãðóçêà ñòàíîâèòñÿ áîëåå ëîêàëèçîâàííîé,äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà y ìîæíî ìîäåëèðîâàòü äåéñòâèå ïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêè, ñîñðåäîòî÷åííîé íà ó÷àñòêàõ ãðàíèöû, ìàëûõïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðèîäîì.Èç (6.1) ñëåäóåò, ÷òî2πx,lim p1 (x, y) = q1 siny→∞a(à)2πxlim p2 (x, y) = q2 cos.y→∞a(á)1,01,00,5p1q1(6.3)0,50,0y = 0, 2y = 0, 6y=2-0,5-1,0-0,50-0,250,00x/a0,250,50p2q20,0y = 0, 2y = 0, 6y=2-0,5-1,0-0,50-0,250,000,250,50x/aÐèñ.
1.3. Ïðèâåä¼ííàÿ êàñàòåëüíàÿ (à) è íîðìàëüíàÿ (á) íàãðóçêà íà ãðàíèöå ïîëóïëîñêîñòèÀïïðîêñèìèðóÿ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ êàæäóþ èç ôóíêöèé (6.1) îòðåçêîì ñîîòâåòñòâóþùåãî ðÿäà Ôóðüå (5.1), ìîæíî ïîëó÷èòü ñ òîé æå òî÷íîñòüþ 32 ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è.
 êà÷åñòâå êðèòåðèÿ òî÷íîñòè ïðèìåì êðèòåðèé ðàâåíñòâà ðàäèóñîâ êðèâèçíû âî âïàäèíå, ñîãëàñíî êîòîðîìó îòíîñèòåëüíàÿ ðàçíîñòü ðàäèóñîâ êðèâèçíû ôóíêöèé pj è èõ ïðèáëèæ¼ííûõ âûðàæåíèé íà èíòåðâàëå ïîëîæèòåëüíîãî èçìåíåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé íåïðåâûøàåò çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ε: 00gapprox (x0 , y) − g 00 (x0 , y)|g 00 (x0 , y)|(6.4)< ε.ãäå gapprox îòðåçîê ðÿäà, àïïðîêñèìèðóþùèé íåêîòîðóþ ôóíêöèþ g . Äëÿôóíêöèè p1 (x, y) òî÷êà x0 = a/2, à äëÿ p2 (x, y) òî÷êà x0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ p2 (x, y) = 0 íà ïðîìåæóòêå x ∈ [0, a/2].Çàâèñèìîñòü ÷èñëà ÷ëåíîâ ðÿäà Ôóðüåîò òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè è ïàðàìåòðà y äëÿ ôóíêöèè p2(x, y)Òàáë.
1.Îòíîñèòåëüíàÿ òî÷íîñòüN1%0,1%0,01%y=2234y = 0, 681113y = 0, 2253340Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ Ck , Dk , à òàêæå îïðåäåëåíèÿêîëè÷åñòâà óäåðæèâàåìûõ ÷ëåíîâ ðÿäà N íàïèñàíà ïðîãðàììà â êðîññïëàòôîðìåííîé ñèñòåìå êîìïüþòåðíîé àëãåáðû MAPLE.
Âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òîäëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè êîëè÷åñòâî óäåðæèâàåìûõ ÷ëåíîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðÿäîâ çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà y , îïðåäåëÿþùåãî âèä íàãðóçêè. ×åì ìåíüøå ýòî çíà÷åíèå, òåì áîëüøå ÷ëåíîâ ðÿäà òðåáóåòñÿ óäåðæèâàòü.Âåëè÷èíà y áûëà âçÿòà ðàâíîé 2; 0, 6; 0, 2. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷¼òîâ ïðèâåäåíû âòàáëèöå 1. Âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà y , òî åñòü ñ óâåëè÷åíèåì ðàäèóñà êðèâèçíû p2 (x1 ) â òî÷êàõ ýêñòðåìóìà, êîëè÷åñòâî ÷ëåíîâ ðÿäà Ôóðüå,íåîáõîäèìûõ äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè, óìåíüøàåòñÿ. Ñâÿçü ìåæäó îòíîñèòåëüíîé òî÷íîñòüþ ïðèáëèæåíèÿ è ïàðàìåòðîì y äëÿ ìíèìîé ÷àñòè 33 ôóíêöèè f (x, y) òàêàÿ æå, êàê è äëÿ âåùåñòâåííîé.
 äàëüíåéøèõ ðàñ÷¼òàõ ïðèàïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé óäåðæèâàåòñÿ 50 ÷ëåíîâ ðÿäà Ôóðüå. 1.7Àíàëèç âëèÿíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî íàïðÿæåíèÿ íàíàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå ãðàíèöû ïîëóïëîñêîñòèÏî ôîðìóëàì (5.1), (5.6) è (5.8) (5.10) áûëè âû÷èñëåíû íàïðÿæåíèÿ íàãðàíèöå ïîëóïëîñêîñòè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâçàäà÷è áåç ó÷¼òà (M = 0) è ñ ó÷¼òîì (M 6= 0) ïîâåðõíîñòíîãî íàïðÿæåíèÿsσ11. Íàãðóçêà çàäàâàëàñü ôóíêöèÿìè (6.1) ïðè y = 2; 0, 6; 0, 2.
ÊîýôôèöèåíòÏóàññîíà ν = 0, 3. Ãðàôèêè ïîñòðîåíû äëÿ àëþìèíèÿ. Çàâèñÿùèé îò ïîâåðõíîñòíûõ è îáú¼ìíûõ ìîäóëåé óïðóãîñòè ïàðàìåòð M , ñîãëàñíî ðàáîòå [11], äëÿàëþìèíèÿ ðàâåí 0, 113 íì.Íà ðèñ. 1.4, 1.5 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå ïîëóïëîñêîñòè â äèàïàçîíå îäíîãî ïåðèîäà, ðàâíîãî 1 íì. ×¼ðíûìè ëèíèÿìè îáîçíà÷åíû ãðàôèêè íàïðÿæåíèé, ðàññ÷èòàííûõ ñ ó÷¼òîì ïîâåðõíîñòíûõíàïðÿæåíèé, êðàñíûìè ëèíèÿìè áåç ó÷¼òà. Àìïëèòóäû ïðîäîëüíûõ íàïðÿæåíèé, à òàêæå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïðè äåéñòâèè êàñàòåëüíîé íàãðóçêèóìåíüøàþòñÿ ïðè ó÷¼òå ïîâåðõíîñòíûõ íàïðÿæåíèé.
 ðåçóëüòàòå èçìåíåíèåýòèõ íàïðÿæåíèé ñòàíîâèòñÿ áîëåå ãëàäêèì, ÷åì ýòî ïðåäñêàçûâàåò ðåøåíèåçàäà÷è â òðàäèöèîííîé ïîñòàíîâêå. Ïðè ýòîì ýôôåêò âëèÿíèÿ ïîâåðõíîñòíûõíàïðÿæåíèé ïðîÿâëÿåòñÿ ñèëüíåå ñ óìåíüøåíèåì ïàðàìåòðà ôîðìû y , à çíà÷èò, ñ óìåíüøåíèåì ïëîùàäè, íà êîòîðîé äåéñòâóåò îñíîâíàÿ ÷àñòü íàãðóçêè.Òî åñòü, ÷åì áîëüøå íàãðóçêà ëîêàëèçîâàíà, òåì èçìåíåíèå çíà÷èòåëüíåå.Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî ïðè äåéñòâèè íîðìàëüíîé íàãðóçêè èìååò ìåñòî ýôôåêò ïîÿâëåíèÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå (ðèñ. 1.5). Ýòîò ôàêòâûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (3.3), èç êîòîðûõ ñëåäóåò,÷òî åñëè ïîâåðõíîñòíûå íàïðÿæåíèÿ îòëè÷íû îò êîíñòàíòû, òî êàñàòåëüíûå 34 M = 0, 113M =0íì(à)(ã)3,30,01y = 0, 2y = 0, 20,002,2σ11q1σ11q21,1-0,01-0,02-0,030,0-0,04-0,50-0,250,000,250,50x/a(á)3-0,50-0,250,2y = 0, 60,000,250,500,250,500,250,50x/a(ä)y = 0, 60,12σ11q10,0σ11q21-0,1-0,20-0,3-0,4-1-0,50-0,250,000,250,50x/a(â)-0,50y=221,010,5σ11q200,0-1-0,5-2-1,0-0,500,00x/a(å)y=2σ11q1-0,25-0,250,00x/a0,250,50-0,50-0,250,00x/aÐèñ.
1.4. Ðàñïðåäåëåíèå ïðîäîëüíûõ íàïðÿæåíèé â äèàïàçîíå îäíîãî ïåðèîäà ïðè äåéñòâèèêàñàòåëüíîé (à â) è íîðìàëüíîé (ã å) íàãðóçêè 35 M = 0, 113M =0íì(à)(ã)1,10y = 0, 20,0060,55σ12q1y = 0, 20,003σ12q20,000,000-0,003-0,55-0,006-1,10-0,50-0,250,000,250,50x/a(á)-0,50-0,250,06y = 0, 60,000,250,500,250,500,250,50x/a(ä)y = 0, 61,00,030,5σ12q1σ12q20,00,00-0,5-0,03-1,0-0,06-0,50-0,250,000,250,50x/a(â)-0,50-0,250,00x/a(å)0,151,0y=2y=20,100,5σ12q10,05σ12q20,00,00-0,05-0,5-0,10-1,0-0,15-0,50-0,250,00x/a0,250,50-0,50-0,250,00x/aÐèñ.
1.5. Ðàñïðåäåëåíèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé â äèàïàçîíå îäíîãî ïåðèîäà ïðè äåéñòâèèêàñàòåëüíîé (à â) è íîðìàëüíîé (ã å) íàãðóçêè 36 íàïðÿæåíèÿ âñåãäà áóäóò íà ãðàíèöå ïîëóïëîñêîñòè íåçàâèñèìî îò âèäà ïðèëîæåííîé íàãðóçêè. Îäíàêî, êàê èçâåñòíî, â êëàññè÷åñêîì ðåøåíèè çàäà÷è êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå ðàâíî íóëþ ïðè äåéñòâèè íîðìàëüíîé íàãðóçêè. Ïîÿâèâøèåñÿ ïðè äåéñòâèè íîðìàëüíîé íàãðóçêè êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ äîñòèãàþò15% îò âåëè÷èíû q2 . Ñ óìåíüøåíèåì ïëîùàäè, ïî êîòîðîé ðàñïðåäåëåíà íàãðóçêà, äàííûé ýôôåêò ñòàíîâèòñÿ ìåíåå ñóùåñòâåííûì.Íà ðèñ. 1.6, 1.7 ïðèâåäåíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèéìîäóëåé ïðîäîëüíûõ è êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé îò ïåðèîäà íàãðóçêè a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
