Диссертация (1150496), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Àíàëîãè÷íîãëàâå 2 ïîêàæåì, ÷òî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ãèïåðñèíãóëÿðíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû Ñîõîöêîãî Ïëåìåëÿ (4.19) (4.20), ïðèõîäèì ê 66 ðàâåíñòâàìΥ01nu (x1 ) =κ2 µ1  1 s 001iσn +µ2 + µ1 κ2 22πiZ+∞−∞Φ01nu (x1 )µ1− 1 iσns 00 + 1=µ1 + µ2 κ122πiiσns 0 (t)(t − x1 )2Z+∞−∞dt ,iσns 0 (t) dt ,(t − x1 )2Z+∞111F(t)2n0Υ01nk (x1 ) =F2n(x1 ) +dt +µ2 + µ1 κ2 22πi(t − x1 )2(17.12)−∞Z+∞sκ2 µ11 01(F(t)−T(t))1nn+(F1n (x1 ) − Tns 0 (x1 )) +dt ,µ2 + µ1 κ2 22πi(t − x1 )2−∞Z+∞F2n (t)11100dt +F (x1 ) −Φ1nk (x1 ) =µ1 + µ2 κ1 2 2n2πi(t − x1 )2−∞Z+∞sµ1(F(t)−T(t))1 011nn+− (F1n (x1 ) − Tns 0 (x1 )) +dt .µ1 + µ2 κ122πi(t − x1 )2−∞Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (17.12) â óðàâíåíèå (17.11), ïîëó÷èì áåñêîíå÷íóþïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãèïåðñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíîïðîèçâîäíîé íåèçâåñòíîãî ìåæôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ σns 01σns 0 (x1 ) − M K12πZ+∞−∞σns 0 (t)dt =(t − x1 )2 K1K2 0= M ReF1n (x1 ) − Tns 0 (x1 ) +22πiZ+∞−∞K3 0K4+F2n (x1 ) +22πiZ+∞−∞F1n (t) − Tnsdt +(t − x1 )2F2n (t)dt + Vn0 , (17.13)2(t − x1 ) 67 ãäå Ki (i = 1, 4) çàâèñÿò îò ìîäóëåé óïðóãîñòè íèæíåé è âåðõíåé îáëàñòåé:κ2 µ1κ1 µ1+,µ2 + µ1 κ2 µ1 + µ2 κ1κ11+,K3 =µ2 + µ1 κ2 µ1 + µ2 κ1K1 =κ2 µ1κ1 µ1−,µ2 + µ1 κ2 µ1 + µ2 κ11κ1K4 =−.µ2 + µ1 κ2 µ1 + µ2 κ1K2 =(17.14)Íóæíî îòìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå (17.13) ïî òèïó ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèÿìè(4.22) è (11.9), ïîëó÷åííûìè â ïåðâîé è âòîðîé ãëàâå.

Ýòè óðàâíåíèÿ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ïðàâûìè ÷àñòÿìè. Êðîìå òîãî, êàê è óðàâíåíèÿ (4.22) è (11.9),óðàâíåíèå (17.13) ïîëó÷åíî áåç èñïîëüçîâàíèÿ ñâîéñòâà ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè f (x1 ), ò. å. îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè.Ÿ 3.18Ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ïåðèîäè÷åñêîéìåæôàçíîé ïîâåðõíîñòèÏðåäïîëîæèì, ÷òî íà áåñêîíå÷íîñòè äåéñòâóþò ïðîäîëüíûå íàïðÿæåíèÿ1∞2∞σ11≡ σ1 è σ11≡ σ2 . Òîãäà èç óñëîâèÿ èäåàëüíîãî êîíòàêòà ñëåäóåò, ÷òî îíèñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì [41]σ2 = σ1µ2 (κ1 + 1).µ1 (κ2 + 1)(18.1)Îñòàëüíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà íàïðÿæåíèé è óãîë ïîâîðîòà íà áåñêîíå÷íîñòèïðèìåì ðàâíûìè íóëþ.Îñíîâûâàÿñü íà ñïîñîáå ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñàííîì ⠟5ïåðâîé ãëàâû è ⠟12 ãëàâû 2, ïîëó÷èì ðåøåíèå çàäà÷è â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè.Äëÿ ýòîãî èñêîìóþ ôóíêöèþ ìåæôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ ïðåäñòàâèì â âèäå ðÿäàÔóðüåσns (x)=∞X(Ank cos bk x + Bnk sin bk x) ,(18.2)k=0ãäå bk = 2πk/a, çäåñü è äàëåå îáîçíà÷åíî x ≡ x1 .

Ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþôîðìó ãðàíèöû, êàê è â ïåðâûõ äâóõ ãëàâàõ, ïðèìåì ÷¼òíîé è òàêæå ðàçëîæèì 68 â ðÿä:f (x) =∞X(18.3)Ck cos bk x.k=018.1Íóëåâîå ïðèáëèæåíèåÑîãëàñíî (16.13) (16.14), ðåøåíèå çàäà÷ Ðèìàíà Ãèëüáåðòà (16.5) è(16.10) â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè èìååò âèä:µ1 κ2σ1I0 (z) + , Im z > 0,µ2 + µ1 κ24µ1σ1I0 (z) + , Im z < 0, Φ10 (z) =µ1 + µ2 κ14 Υ10 (z) =ãäåJ0 (z) = 0,I0k = 0,(18.4)I0 (z) = I0k + I0u ,I0u=1=2πi12πiZ+∞iσ0s 0 (t)dt =t−z−∞Z+∞ P∞i k=0 bk(18.5)(−A0k sin bk x + B0k cos bk x)dt.t−z−∞Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà èíòåãðàëîâ òèïà Êîøè, â ÷àñòíîñòè, ôîðìóëû (5.3)è (5.4), âûðàçèì êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿA0k , B0k , Ck :∞µ1 κ2 X bkσ1ibk zΥ(z)=(−A+iB)e+, Im z > 0,100k0kµ2 + µ1 κ224k=0∞Xµ1bkσ1(−A0k − iB0k ) e−ibk z + , Im z < 0. Φ10 (z) = µ1 + µ2 κ124(18.6)k=0Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (18.6) â óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿíåèçâåñòíîãî ìåæôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ (17.6) â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè:σ0s − M Re {κ1 Φ10 + Υ10 } = γ0 ,(18.7)îòêóäà, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ãàðìîíèêàõ, ïîëó÷èì, ÷òîA00 = M (κ1 + 1)A0k = 0,k ≥ 1;σ1,4B0k = 0,(18.8)k ≥ 0.(18.9) 69 Ñ ó÷¼òîì ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ èç (18.2) íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ ìåæôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè:σ0s = M (κ1 + 1)σ1,4(18.10)à èç (18.6) ïîëó÷èì êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû:Υ10 (z) = Φ10 (z) =18.2σ1,4Υ20 (z) = Φ20 (z) =σ2.4(18.11)Ïåðâîå ïðèáëèæåíèåÄàëåå ïîëó÷èì çíà÷åíèå ìåæôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè.Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì çàäà÷è Ðèìàíà Ãèëüáåðòà (16.5) è (16.10) â ïåðâîìïðèáëèæåíèè.

Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè âûðàæåíèÿ äëÿêîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ (18.11) â ñîîòíîøåíèÿ (16.8) è (16.11):(Υ11 + Φ21 )+ − (Φ11 + Υ21 )− =1= iσ s01 − f 00 (x1 )σ s 0 − 2if 0 (x1 ) (σ2 − σ1 ) , (18.12)2(µ2 Υ11 − µ1 κ2 Φ21 )+ − (µ1 Υ21 − µ2 κ1 Φ11 )− =1= − 2if 0 (x1 ) (µ2 σ1 − µ1 σ2 ) . (18.13)2Ðåøåíèåì çàäà÷ Ðèìàíà Ãèëüáåðòà (18.12) è (18.13) áóäóò ñîîòíîøåíèÿ (16.13), â êîòîðûõ, ñîãëàñíî ðàâåíñòâàì (16.14), ôóíêöèè I1 è J1 ïðèìóòçíà÷åíèÿ:bsibz [Ck (σ2 − σ1 + σ0 b) + (−A1k + iB1k )] e , Im z > 0,2I1 (z) = b [Ck (σ2 − σ1 − σ s b) + (−A1k − iB1k )] e−ibz , Im z < 0,02bibz −Ck [µ2 σ1 − µ1 σ2 ] e , Im z > 0,2J1 (z) = −Ck b [µ2 σ1 − µ1 σ2 ] e−ibz , Im z < 0.2(18.14)(18.15) 70 Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû(18.11) â óðàâíåíèå (17.6) ïðè n = 1 ñ ïðàâîé ÷àñòüþ (17.8), ïîëó÷èì:σ1s −M Re {κ1 Φ11 + Υ11 } = −if (x1 )σ0s 0 .(18.16)Ïîëó÷åííûå ñ ó÷¼òîì ñîîòíîøåíèé (18.14) è (18.15) êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû (16.13) ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (18.16).

Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðèîäèíàêîâûõ ãàðìîíèêàõ, ïðèä¼ì ê ñîîòíîøåíèÿì:A1kM bCk (K5 σ1 + K2 σ0s b)=,2 + M bK1B1k = 0,k ≥ 0,(18.17)ãäå çàâèñÿùèå îò ìîäóëåé óïðóãîñòè ïîñòîÿííûå K2 , K1 îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè (17.14), à K5 ïî ôîðìóëå:K5 =κ1 (µ2 − µ1 ) µ1 (κ1 + 1 − κ2 ) − µ2+.µ1 + µ2 κ1µ2 + µ1 κ2(18.18)Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì, ÷òî ìåæôàçíîå íàïðÿæåíèå â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ðàâíîσ s (ζ) = σ0s (x1 ) + iεf (x1 )σ0s 0 (x1 ) + εσ1s (x1 ) =∞Xσ1A1k cos bk x.= M (κ1 + 1) + ε4(18.19)k=0Ïîëó÷èâ çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ, îïðåäåëèì íàïðÿæ¼ííîåñîñòîÿíèå äâóõêîìïîíåíòíîé ïëîñêîñòè ñ êðèâîëèíåéíîé ìåæôàçíîé ãðàíèöåéâ ïåðâîì ïðèáëèæåíèè.

Àíàëîãè÷íî ðàâåíñòâàì (9.8) (9.9), âûðàæåíèÿ êîìïîíåíò íàïðÿæåíèé çàïèøóòñÿ â âèäå:kσnnno−2iα00= Re 2Φk (ζ) − Υk (ζ) + Φk (ζ) − (ζ − ζ)Φk (ζ) e,(18.20)kσntn o−2iα00,= Im − Υk (ζ) + Φk (ζ) − (z − ζ)Φk (ζ) e(18.21)σttkno−2iα00= Re 2Φk (ζ) + Υk (ζ) + Φk (ζ) − (ζ − ζ)Φk (ζ) e,(18.22)ãäå k = 1 äëÿ íàïðÿæåíèé, äåéñòâóþùèõ â îáëàñòè Ω1 è k = 2 äëÿ íàïðÿæåíèé, äåéñòâóþùèõ â îáëàñòè Ω2 . 71 Ïîäñòàâèâ ðàçëîæåíèÿ (16.1) (16.2), à òàêæå ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ (18.11), ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèé â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè:kσnn= Re {εΦk1 (x1 ) − εΥk1 (x1 )} ,(18.23)kσnt= Im {εΦk1 (x1 ) − εΥk1 (x1 ) + iεf 0 (x1 )σk } ,(18.24)σttk = Re {3εΦk1 (x1 ) + εΥk1 + σk } ,(18.25)ãäå σk ïðîäîëüíûå íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùèå íà áåñêîíå÷íîñòè â íèæíåé(ïðè k = 1) è âåðõíåé (ïðè k = 2) îáëàñòè. Ïîëó÷èòü ÷èñëåííûå âûðàæåíèÿìîæíî, ïîäñòàâèâ ñîîòíîøåíèÿ (18.14) è (18.15) â âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ (16.13), à çàòåì âîñïîëüçîâàâøèñü ïîëó÷åííûìè ðåçóëüòàòàìè(18.23) (18.25).Ÿ 3.19Àíàëèç âëèÿíèÿ ìåæôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ íà íàïðÿæ¼ííîåñîñòîÿíèå ãðàíèöû ðàçäåëàÄëÿ îïèñàíèÿ ôîðìû èñêðèâëåíèÿ ìåæôàçíîé ïîâåðõíîñòè âîçüìåì ôóíêöèþ (13.1) èç ãëàâû 2:oia h n πxIm ctg− iy− 1 , d = Im {ctg (iy)} .(19.1)daÐàññìîòðèì âëèÿíèå ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ íà íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèåf (x, y) =äâóõêîìïîíåíòíîé ïëîñêîñòè ñî ñëàáî èñêðèâë¼ííîé ìåæôàçíîé ãðàíèöåé.

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà îáîèõ ìàòåðèàëîâ ðàâíûν1 = ν2 = 0, 3.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íàïðÿæåíèé è ïîëó÷åíèÿ ãðàôè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ èñïîëüçîâàëàñü ñèñòåìà êîìïüþòåðíîé àëãåáðû MAPLE. Íà ðèñ. 3.16 3.17 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ îêðóæíûõ, êàñàòåëüíûõ è íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé â äèàïàçîíå îäíîãî ïåðèîäà, ðàâíîãî 5 íì.

Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷¼òîâ, 72 M = 0, 113íìM =0(à)(ã)1,30y = 0, 20,08y = 0, 21,251,20σttσ10,04σntσ11,151,100,001,05-0,041,000,95-0,08-0,50-0,250,000,250,50x/a(á)-0,50-0,25y = 0, 60,000,250,500,250,500,250,50x/a(ä)0,04y = 0, 61,120,021,08σttσ1σntσ11,041,00-0,020,96-0,04-0,50-0,250,000,250,50x/a(â)1,08-0,50-0,25y=20,00x/a(å)0,04y=20,021,04σttσ10,00σntσ11,000,960,00-0,020,92-0,04-0,50-0,250,00x/a0,250,50-0,50-0,250,00x/aÐèñ. 3.16. Ðàñïðåäåëåíèå îêðóæíûõ (à â) è êàñàòåëüíûõ (ã å) íàïðÿæåíèé âäîëü ìåæôàçíîé ãðàíèöû â ïðåäåëàõ îäíîãî ïåðèîäà 73 M = 0, 113íìM =0(à)y = 0, 20,120,08σnnσ10,040,00-0,04-0,50-0,250,000,250,500,250,500,250,50x/a(á)0,04y = 0, 60,03σnnσ10,020,010,00-0,01-0,50-0,250,00x/a(â)0,02y=20,01σnnσ10,00-0,01-0,02-0,50-0,250,00x/aÐèñ.

3.17. Ðàñïðåäåëåíèå íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé âäîëü ìåæôàçíîé ãðàíèöû â ïðåäåëàõîäíîãî ïåðèîäà 74 êàê è â ãëàâå 2, êîýôôèöèåíò M = 0, 113 íì. Îñòàòî÷íîå íàïðÿæåíèå γ0 ïðèíÿòî ðàâíûì íóëþ. Íà ãðàôèêàõ êðàñíûì öâåòîì îáîçíà÷åíû íàïðÿæåíèÿ, ðàññ÷èòàííûå áåç ó÷¼òà ìåæôàçíûõ íàïðÿæåíèé, ÷¼ðíûìè ñ ó÷¼òîì. Ãðàôèêèîêðóæíûõ è êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ñãëàæèâàþòñÿ ïðè ó÷¼òå ìåæôàçíûõíàïðÿæåíèé.

Íà ðèñ. 3.17 ïðîèëëþñòðèðîâàí ýôôåêò ðîñòà íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé. Ïðè ýòîì, ÷åì ìåíüøå ðàäèóñ êðèâèçíû âî âïàäèíàõ íà ìåæôàçíîéïîâåðõíîñòè, òåì ñèëüíåå ïðîÿâëÿåòñÿ ýôôåêò ìåæôàçíûõ íàïðÿæåíèé.Íà ðèñ. 3.18 ïðèâåäåíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèéîêðóæíûõ (à â) è íîðìàëüíûõ (ã å) íàïðÿæåíèé îò ïåðèîäà a èñêðèâëåíèÿìåæôàçíîé ïîâåðõíîñòè. Íà ðèñ. 3.18à è 3.18ã ãðàôèêè ïîñòðîåíû äëÿ ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ôîðìû ðåëüåôà ïîâåðõíîñòè y . Êðàñíûå, ÷¼ðíûå è ñèíèåëèíèè îáîçíà÷àþò íàïðàæåíèÿ, ðàññ÷èòàííûå ïðè y = 0, 2; 0, 6; 2 ñîîòâåòñòâåííî.

Íà ðèñ. 3.18á è 3.18ä ïðèâåäåíû íàïðÿæåíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ îòíîøåíèÿõìîäóëåé ñäâèãà íèæíåé è âåðõíåé îáëàñòè. Êðàñíûå, ÷¼ðíûå, ñèíèå è çåë¼íûåëèíèè îáîçíà÷àþò íàïðÿæåíèÿ, ðàññ÷èòàííûå ïðè îòíîøåíèè µ2 /µ1 , ðàâíîì0; 0, 1; 0, 3; 0, 5 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîêàçàíî, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì ðàäèóñà êðèâèçíû âïàäèíû â áîëåå æ¼ñòêîì ìàòåðèàëå, à òàêæå ñ óìåíüøåíèåì îòíîøåíèÿµ2 /µ1 ðàçìåðíûé ýôôåêò ìåæôàçíûõ íàïðÿæåíèé ïðîÿâëÿåòñÿ ñèëüíåå.Êàê è â ãëàâå 2, ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ âëèÿíèÿ ïàðàìåòðà M íà ðàçìåðíûéýôôåêò áûëè ïðîâåäåíû âû÷èñëåíèÿ äëÿ ãèïîòåòè÷åñêîãî ñî÷åòàíèÿ óïðóãèõñâîéñòâ ìåæôàçíîé ïîâåðõíîñòè è íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè ïðè M = 0, 5 íìè M = 1 íì.

Характеристики

Список файлов диссертации