Диссертация (1150484), страница 15
Текст из файла (страница 15)
, Kubyshkin I.V., Lebedeva V.V., Sidneva M.V.,Biernat H.K., Heyn M.F., Besser B.P., and Rijnbeek R.P., 1992). Äåéñòâèòåëüíî, åñëèñîñ÷èòàòü òàíãåíöèàëüíîå ê ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ñèñòåìåîòñ÷åòà äâèæóùåéñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ ðàçðûâà:1BnEt = − [(v − un) × B] = − wt ,cc116(4.65)òî ìû óâèäèì, ÷òî íàøà ñèñòåìà îòñ÷åòà, ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé îòñ÷åòà ÕîôìàíàÒåëëåðà, â êîòîðîé Et∗ + 1c [w × B] = 0 èwÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Êðîìå òîãî,îêàçûâàåòñÿ, ÷òî w · n = u, è ñëåäîâàòåëüíî, ìåñòîïîëîæåíèå ïîâåðõíîñòè ðàçðûâàóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (4.62).Òàêèì îáðàçîì, â ïðèáëèæåíèè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ ôîðìû âñåõ ðàçðûâîâ f (t, x)ìîãóò áûòü íàéäåíû èç óðàâíåíèÿ (4.63).
Íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ âíóòðè ñëîÿ ïåðåñîåäèíåíèÿ òàêæå ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ôóíêöèþ Φ:c B̃xi ∂Φiwj c ∂tBni =(4.66)Ôóíêöèÿ Φ îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ ïåðåñîåäèíåíèÿ òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùèõ, áîëåå ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ:Φi (t) =c(0)B̃i∫tE(τ )dτ ≡0c(0)F (t)Bi(4.67)ãäå F - ïåðåñîäåíèâøèéñÿ ìàãíèòíûé ïîòîê.Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Φ îïèñûâàåò ïîëîæåíèå ðàçðûâà è, ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíàáûòü íåèçìåííîé ïðè âû÷èñëåíèè ñ ðàçíûõ ñòîðîí ðàçðûâà, ñîîòíîøåíèÿ ñâÿçèìåæäó z -êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ ñìåùåíèÿ âî âñåõ îáëàñòÿõ çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:ξza + Φa (wAa ) = ξ˜za1 + Φa1 (wAa )(4.68)ξ˜za1 + Φa1 (wS − a ) = ξ˜za2 + Φa2 (wS − a )(4.69)ξ˜za2 = ξ˜b2(4.70)ξ˜zb1 + Φb1 (wS − b ) = ξzb2 + Φb2 (wS − b )(4.71)ξzb + Φb (wAb ) = ξ˜zb1 + Φb1 (wAb )(4.72)ãäå ñêîðîñòè Õîôìàíà-Òåëëåðà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:(wA,S − = vA,S − −117mρBn)(0)A,S −BA,S −(4.73)Òàêèì îáðàçîì, çíàÿ ξz òîëüêî â îäíîé îáëàñòè, ìîæíî ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ âîâñåõ äðóãèõ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü, êàê ìåíÿåòñÿ ξz â âîëíå ðàçðÿæåíèÿ, ðàññìîòðèìêàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè, êîòîðûå ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êè äâóõ ñîñåäíèõ âîëíîâûõïîâåðõíîñòåé.
Óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþìåæäó èçìåíåíèåì âåêòîðà íîðìàëè è íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ:dBn = B · dn.(4.74)Åñëè ýòè èçìåíåíèÿ âûðàçèòü â òåðìèíàõ f , ξz è Φ ñ ó÷åòîì (4.58), (4.63) è (4.66):dn = −∇df,(4.75)dBn = −d(B(0) · (f − ξz )) = −dB(0) ∇Φ − B(0) · ∇(df − dξz ),(4.76)è çàìåíèòü â (4.74) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî â âîëíå ðàçðÿæåíèÿ(0)B= η B0 , òî ïîëó-dBn = dB(0) · ∇(ηdξz − Φη (wR (η))dη) = 0.(4.77)(0)÷èòñÿ ñëåäóþùåå:Çäåñü(0)B0- ìàãíèòíîå ïîëå â íà÷àëå âîëíû ðàçðÿæåíèÿ, η - àâòîìîäåëüíûé ïà-ðàìåòð, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåò îòíîøåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â âîëíåðàçðÿæåíèÿ ê ìàãíèòíîìó ïîëþ â íà÷àëå âîëíû ðàçðÿæåíèÿ.Èç (4.77) ñëåäóåò óðàâíåíèå:1dξz = Φη (wR (η))dη,η(4.78)â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ êîòîðîãî ïîëó÷àåì èñêîìóþ ñâÿçü ìåæäó âåêòîðàìè ñìåùåíèÿ íà÷àëà è êîíöà âîëíû ðàçðÿæåíèÿ:∫ηξz2 = ξz1 +1dη ′Φη′ (wR (η ′ ))′η118(4.79)ãäå ñêîðîñòè Õîôìàíà-Òåëëåðà äîëæíû îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:√wR− (η) = vR− (η) ∓ρ(η)1√.4π1 + vA (η)2 /cs (η)2(4.80)Èç ïîëó÷åííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïîäñòàâëÿÿ íóæíûå àðãóìåíòû â ôóíêöèè Φi (t),ìîæíî âû÷èñëèòü îòíîñèòåëüíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ðàçðûâàìè, íî ôîðìû âñåõðàçðûâîâ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ëèøü ïîñëå òîãî êàê áóäóò ðàñ÷èòàíû z -êîìïîíåíòûâåêòîðîâ ñìåùåíèÿ â îáëàñòè âòåêàíèÿ è âî âñåõ îáëàñòÿõ ìåæäó ðàçðûâàìè.Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû (4.68) - (4.72) è (4.79), âûðaæåíèå äëÿ ôóíêöèè èñòî÷íèêà ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå:Q = ∆Aa + ∆S − a(R) − (∆Ab + ∆S − b(R) )(4.81)∆A ≡ Φ1 (wA ) − Φ(wA ), ∆S ≡ Φ2 (wS ) − Φ1 (wS )∫ η ′dη∆R ≡ −Φη′ (wR (η ′ ))′1 η(4.82)(4.83)Òåïåðü, äëÿ òîãî, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü ôóíêöèþ èñòî÷íèêà, íåîáõîäèìî ïðîâåñòèËàïëàñ-Ôóðüå ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêöèé Φ(t, x/w), âõîäÿùèõ â èñòî÷íèê.
Ïîñêîëüêó, Φ(t) ≡ 0 ïðè t < 0, ïî âðåìåíè óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàññàâìåñòî Ôóðüå.∫ ∞∫{ ((x )}x)−ptikxLt Fx Φ t −=dtedxe Φ t −ww0R(4.84)ãäå p = iw.Ðàcñìîòðèì ïîäðîáíåå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåííûõ τ =t − x/w:∫ ∞∫ ∞{ ((−pxxx )}x)−ptLt Φ t −=e Φ t−dt =e−p(τ + w ) Φ(τ )dτ = e w Φ(p) (4.85)ww00Òîãäà (4.84) ìîæíî ïåðåïèñàòü:∫ ∞{ (pxx )}wLt Fx Φ t −=dxeikx e− w Φ(p) =Φ(p),wp − ikw0119(4.86)è îêîí÷àòåëüíî äëÿ âñåãî ïðîñòðàíñòâà â ñëó÷àå (A, Sa− , C, Sb− ) çàïèñûâàåì:{Lt Fx(±Φxt− ±wjè â ñëó÷àå âîëíû ðàçðÿæåíèÿ:{Lt Fx(Φ±η′xt− ± ′wj (η ))}wj±±=±± Φ (p),p − ikwj)}∫=±1ηwj± (η ′ )±dη± ′ Φ (p),p − ikwj (η )′(4.87)(4.88)ãäå (±) ñîîòâåòñòâóåò ïðàâîé x > 0 è ëåâîé x < 0 ïîëóïëîñêîñòÿì.Òåïåðü ìîæíî ïîäñòàâèòü ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â ôóíêöèþ èñòî÷íèêà (4.81),çàìåòèâ, ÷òî àëüôåíîâñêèé ðàçðûâ ïîÿâëÿåòñÿ ëèøü â òîé ïîëóïëîñêîñòè, ãäåàëüôåíîâñêàÿ ñêîðîñòü ìåíüøå:()r)rrr111wAa1wSa+Q(p, k) =−−rr −B̃a1x B̃ax p − ikwAaB̃a2x B̃a1x p − ikwSa()r)l(rl11wSb1wAa1−−−−r −lB̃b2x B̃b1x p − ikwSbB̃a1x B̃ax p − ikwAa()l()lllwSawSb1111−−++−llB̃a2x B̃a1x p − ikwSaB̃b2x B̃b1x p − ikwSb((4.89)Äëÿ òîãî, ÷òîáû çàïèñàòü Q(p, k) äëÿ ñëó÷àÿ ñ âîëíîé ðàçðÿæåíèÿ, íåîáõîäèìîîäíî èç ñëàãàåìûõ çàìåíèòü â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.88):(11−Ba2x Ba1x)rrwSar →−p − ikwSa∫η1rdη ′1wRa(η ′ )r (η ′ ) p − iw r (η ′ )kη ′ BxRaRa(4.90)Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ èñòî÷íèêà â (4.55)è (4.56), ïåðåïèñàâ âûðàæåíèÿ äëÿ ϵ (4.45) è äëÿ q (4.46), ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òîw′ = w − kv = −ip − kv = −p(i + rv/p)√q(p, k) = p2ϵ(p, k) = −ρ0 p2 (k 2 vA0/p2 − (i + rv/p)2 ),(4.91)2 /p2 − (i + kv/p)2 )(k 2 c2 /p2 − (i + kv/p)2 )(k 2 vA0s,22222cs k vA0 /p − u (i + kv/p)2 )(4.92)120è ðåøåíèå äëÿ ξz áóäåò ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî â Ëàïëàñ-Ôóðüå ïðîñòðàíñòâå:1ξz (t, x, z) =2πi∫∫σ+i∞+∞pte dp−∞σ−i∞Lb (p, k)dk −ikee−qz Q(p, k)2πLa (p, k) + Lb (p/r)(4.93)×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå (4.93) çàòðóäíåíî èç-çà íàëè÷èÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà, ïîýòîìó ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä, êîòðûé ïîçâîëèò ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå è ïðîèíòåãðèðîâàòü îòäåëüíî ïî k è p.
Ýòîò ìåòîä, óñòàíîâëåíûé Êàíüÿðîìè Õóïîì (Ïåòðàøåíü Ã.È., Ìîëîòêîâ Ë.À., Êðàóêëèñ Ï.Â., 1985) âçÿò èç ðåøåíèÿñåéñìè÷åñêèõ çàäà÷ î ðàñïðîñòðîíåíèè ñåéñìè÷åñêèõ âîëí â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõóïðóãèõ ñðåäàõ ñ ïëîñêîïàðàëëåëüíûìè ãðàíèöàìè ðàçäåëà, è îáîáùåí íà ïðîáëåììó ðàñïðîñòðîíåíèÿ ÌÃÄ-âîëí, ãåíåðèðóåìûõ ïðîöåññîì ìàãíèòíîãî ïåðåñîåäèíåíèÿ â äâóõñëîéíîé ñðåäå.Èòàê, ïåðåïèøåì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èñïîëüçóÿ ñèììåòðèþ: ξz (p, −k, z)ξz∗ (p, k, z):∫ξz (t, x, z) =+∞−∞dk −ikx1eξz (p, k, z) = ℜ2ππ∫∞dke−ikx ξz (p, k, z)(4.94)0Ââåäåì íîâûå ïåðåìåííûå: ôàçîâóþ ñêîðîñòü s è ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû:s=kv0,px = r sin ϑ,z = r cos ϑ(4.95)ãäå v0 - õàðàêòåðíàÿ ñêîðîñòü.
Òàêàÿ çàìåíà óïðîñòèò ôóíêöèè q è L, êîòîðûåîäíîðîäíû ïî p è k :L(p, k) = pL̄(s)(4.96)q(p, k) = pq̄(s)(4.97)1Q(p, k) = Q̄(s)F0 (p)p(4.98)è ïîçâîëèò îòäåëüíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ýòèì ïåðåìåííûì.∫ξz (p, x, z) = ℜ∞ds0L̄b (s)Q̄(s)e−pτ (s) F0 (p)L̄a (s) + L̄b (s)121(4.99)ãäå√L̄(s) = −ρ0 v02 s2 − (i + vs)2 )(c2 v 2 s2 − u2 (i + vs)2 )(vA0s A022cs s − (i + vs)21r(q̄(s)z + isx) = (q̄(s2 ) cos ϑ + is sin ϑv0v0√2 s2 − (i + vs)2 )(c2 s2 − (i + vs)2 )1 (vA0sq̄(s) =2222v0cs vA0 s − u (i + vs)2τ (s) =(4.100)(4.101)(4.102)()r)r(rr1wAa1wSa11−−Q̄(p, k) =(4.103)r +r −B̃a1x B̃ax 1 − iswAaB̃a2x B̃a1x 1 − iswSa()r()lrl1111wSbwAa−−−−−rlB̃b2x B̃b2x 1 − iswSbB̃a1x B̃ax 1 − iswAa()l()lll11wSa11wSb−−+−llB̃a2x B̃a1x 1 − iswSaB̃b2x B̃b1x 1 − iswSbÄëÿ òîãî ÷òîáû ïåðåéòè îò (S − ) ê (R), àíàëîãè÷íî ôîðìóëå (4.104) íåîáõîäèìî â(4.104) ñäåëàòü çàìåíó(11−B̃a2x B̃a1x)rrwSar →−1 − iswSa∫η1rdη ′1wRa(η ′ )r (η ′ ) 1 − iw r (η ′ )sη ′ B̃xRaRa(4.104)Òàêèì îáðàçîì, ðàçäåëèâ â âûïàæåíèè (4.99) èíòåãðèðîâàíèå ïî p è ïî s, ïåðåïèñûâàåì z -êìïîíåíòó âåêòîðà ñìåùåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:1ξz (t, x, z) =2πi∫σ+i∞σ−i∞1tpt dp ℜπ∫∞e−pτ (s) F0 (p)0L̄b (s)Q̄(s)dsL̄a (s) + L̄b (s)(4.105)Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì Êàíüÿðà-Õóïà, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì ÷òî,êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ∫∞0äåôîðìèðóåòñÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè s òàêèì îá-ðàçîì, ÷òîáû τ (s) ÿâëÿëàñü âåùåñòâåííîé è ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé íà âñåìïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ, è òîãäà îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà îò e−pt Φ(p):L−1 {e−pt Φ(p)} = Φ(t − τ ),êîððåêòíî îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ âñåõ τ (s).122(4.106)Ïîñêîëüêó ïîëþñû Q̄(s), òàê æå êàê è òî÷êè âåòâëåíèÿ L̄(s), ðàñïîëîæåíûíà ìíèìîé îñè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè s, à ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ýêñïîíåíöèàëüíî îãðàíè÷åíî â îáëàñòè Im{s} < 0, òî êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíîäåôîðìèðîâàòü â ÷åòâåðòûé êâàäðàíò, åñëè ðàñïîëîæèòü ðàçðåçû ëåâåå ìíèìîéîñè.
Òàê êàê Φ0 (t) ≡ 0 ïðè t < 0, òî äîñòàòî÷íî èíòåãðèðîâàòü äî òî÷êè smax , âêîòîðîé t = τ . Äëÿ òî ÷òîáû åå íàéòè, ìû, ïîëàãàÿ t = τ (s), ðåøàåì óðàâíåíèå÷åòâåðòîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî s:2 2z 2 (vA0s − (i + vs)2 )(c2s s2 − (i + vs)2 ) −(4.107)2 2−(c2s vA0s − u2 (i + vs)2 )(τ0 (s) − isx)2 = 0Îäèí èç ÷åòûðåõ êîðíåé ýòîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ âåøåñòâåííûì è ðàñïîëàãàåòñÿ íà êîíòóðå èíòåãðèðîâàíèÿ â ÷åòâåðòîì êâàäðàíòå, ÿâëÿåòñÿ èñêîìîéêîíå÷íîé òî÷êîé.Ïîñëå èçìåíåíèÿ êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ z -êîìïîíåíòà âåêòîðà ñìåùåíèÿ âðåàëüíîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì èíòåãðàëîì:1ξz (t, x, z) = ℜπ∫dsCL̄b (s)Q̄(s)F0 (t − τ (s)),L̄a (s) + L̄b (s)(4.108)ãäå C , òàê íàçûâàåìûé êîíòóð Êàíüÿðà-Õóïà îò s = 0 äî s = smax , âäîëü êîòîðîãîτ (s) ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîé è ïîëîæèòåëüíîé.Ìîæíî âèäåòü, ÷òî èñïîëüçóåìûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ïåðåéòè îò äâîéíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ê îäíîêðàòíîìó ïî êîíòóðó Êàíüÿðà-Õóïà, â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè,÷òî çíà÷èòåëüíî óïðîùàåò âû÷èñëåíèÿ, è äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü ðåøåíèå âçàêîí÷åííîé ôîðìå.
 ðåçóëüòàòå, ìû ìîæåì ðàñ÷èòàòü ôîðìû âñåõ ðàçðûâîâ èâîçìóùåíèÿ ÌÃÄ-ïàðàìåòðîâ â îáëàñòè âòåêàíèÿ.Äëÿ ýòîãî, ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî çàäàòü äèôôóçèîííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëåE ∗ (t) â âèäå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ èìååò ôîðìó èìïóëüñà è ìîæåò123áûòü ïðîäîëæåíà íà êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü s:E(t) = E0 (4e−4t tanh(2t) + (1 − −4t ) cosh−1 (2t)).22(4.109)Òåïåðü, çíàíèå z -êîìïîíåíòû âåêòðà ñìåùåíèÿ â îáëàñòè âòåêàíèÿ ξza0 (t, x, z) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âåêòîðà ñìåùåíèÿ âî âñåõ îñòàëüíûõ îáëàñòÿõ èç (4.68) - (4.72)è (4.79), à çàòåì è ôîðìû ðàçðûâîâ â çàâèñèìîñòè îò âàðèàíòà ðàñïàäà:A, Sa− , C, Sb−fA = ξza (t, x) + Φa (wAa )(4.110)fSa = ξ˜za1 (t, x) + Φa1 (wSa )(4.111)fC = ξ˜za2 (t, x) + Φa2 (ṽa2 )(4.112)fSb = ξzb (t, x) + Φb (wSb )(4.113)fA = ξza (t, x) + Φa (wAa )(4.114)fRη=1 = ξ˜za1 (t, x) + Φη=1 (wR (η))(4.115)fRη=η∗ = ξ˜za2 (t, x) + Φη=η∗ (wR (η))(4.116)fC = ξ˜za2 (t, x) + Φa2 (ṽa2 )(4.117)fS = ξzb (t, x) + Φb (wSb )(4.118)A, Ra− , C, Sb−Âûðàæåíèÿ äëÿ âîçìóùåíèÿ ÌÃÄ-ïàðàìåòðîâ â îáëàñòè âòåêàíèÿ, ïîëó÷àþòñÿèç ôîðìóë ëèíåéíîãî àíàëèçà.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âîçìóùåíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ èñïîëüçóåì (4.33):Bz(1) (t, x, z) = B0∂ξz (t, x, z),∂x(4.119)è ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîëó÷àåì:Bz(1) (ω ′ , k, z) = −B0 ikξz (ω ′ , k, z) = −124B0ispξz (ω ′ , k, z),v0(4.120)1.00.5a)0-0.5-1.001234561.00.5b)0-0.5-1.001234561.00.5c)0-0.5-1.00123456Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
