Диссертация (1149834), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Выражение форми-руется сжатыми лазерными квадратурами, обеспечивая подавление дробового шума в системе.(−)Наоборот, выражение формируется растянутыми квадратурами и представляет избыточ-ный шум, который, по меньшей мере, ухудшает перепутанность. Мера ухудшения, разумеется,существенно зависит от степени асимметричности схемы и может быть оценена с помощьювыражений (4.52) и (4.53) для конкретной физической конфигурации.Давайте упростим формулы (4.52) и (4.53), полагая, что под знаком интеграла можнозаменить экспоненты на дельта-функции:(1 − /2)−(1 − /2) → (),77/2−/2 → ().(4.55)Возможность подобной замены обеспечивается приемлемым выбором параметра .
После замены мы сможем произвести интегрирование, в результате которого для = 0 получим(+)=0 1−=−4 (1 − /2)2∫︁′ 2+ ( = 0, ′ ),0(4.56)(−)=0 =4(1 − )2∫︁′ 2− ( = 0, ′ ).0Для асимметричной измерительной процедуры перепутанность сохраняется при условии√|− (, )| ≪ + (, ).(4.57)Если же это неравенство не выполняется, то перепутанность ухудшается и полностью исчезает.Давайте рассмотрим пример, который часто обсуждается как наиболее интересный, аименно: рассмотрим геометрию с сохранением только одного из перепутанных импульсов. Второй импульс предполагается распространяющимся в линии задержки без взаимодействия. В этомслучае 2 (, ′ ) = ( − ′ ), тогда1± ( = 0, ) = √ ± 1 ( = 0, ).(4.58)Подставляя это выражение в (4.57) при = 0 и интегрируя результат по времени в интервале[0, ], получим неравенство∫︁ ∫︁ √︀1 ′ (, ′ ).гдеℰ̃ = 00√︀ )︁√︀√ (︁ 1 + ℰ̃ ≫ |1 − ℰ̃|,(4.59)Покажем, что величина ℰ̃ ограничена неравенствами 0 ≤ ℰ̃ ≤ / .
Действительно, согласно (4.37) в классическом приближении, выбирая ради простоты рассуждения прямоугольныйвещественный входной импульс, мы можем получить, чтоℰ̃ = [ ]−2(︂∫︁)︂2 () .(4.60)0Сравним эту величину с эффективностью памяти, которая в наших предположениях имеет вид[︀]︀−1ℰ = 2 ∫︁078 2 ().(4.61)Согласно неравенству Коши-Буняковского1(︂∫︁)︂2 ()∫︁≤ 2 ().(4.62)00Это дает нам возможность установить неравенство между величиной ℰ̃ и эффективностью ℰ ввиде ℰ̃ ≤ / ℰ. Поскольку для эффективности 0 ≤ ℰ ≤ 1, то0 ≤ ℰ̃ ≤ / .(4.63)√︀√ ≫ 1 − / ℰ.(4.64)Теперь можем переписать (4.59) в видеВидно, что выполнение этого неравенства можно обеспечить, например, когда / = 1 иэффективность тоже близка к единице.
Отсюда возможно заключить, что перепутанность двухсигнальных импульсов может быть сохранена даже в условиях асимметричной геометрии опыта.4.7Необходимые и достаточные характеристики работы многомодовой памятиПроанализировав мысленные эксперименты, рассмотренные в предыдущих разделах,мы убедились, что приближение светоделительной пластины не работает для исследуемого нами протокола многомодовой квантовой памяти и эффективность не является его исчерпывающей характеристикой.
Как уже говорилось ранее, это вызвано тем, что в отличие от протоколов рамановской памяти и памяти, основанной на явлении электромагнитной индуцированнойпрозрачности, вместо двух независимых квантовых подсистем (сигнального поля и атомной когерентности) во взаимодействии участвуют три подсистемы: сигнальное поле и две атомныекогерентности.
При этом еще раз подчеркнем, что в силу резонанса между атомными переходами и действующими в системе полями, когерентность между верхним | 3⟩ и нижним | 1⟩атомными уровнями нельзя исключить из рассмотрения. Следствием этого является то, что дляполного цикла памяти выражение (4.1), связывающее сигнальное поле на входе в ячейку ˆ () ивыходе из нее ˆ (), справедливое в рамках модели светоделительной пластины, должно бытьзаменено на интегральное преобразование (3.1), в котором теперь мы должны учесть вакуумныйчлен ˆ (до этого нас интересовали только средние от произведения нормально упорядоченных79операторов), т.е.∫︁′ ˆ ( − ′ )(, ′ ) + ˆ ().ˆ () =(4.65)0Учитывая коммутационные соотношения для сигнального поля на входе и выходе из ячейки[︁]︁ [︁]︁ˆ (1 ), ˆ† (2 ) = ˆ (1 ), ˆ† (2 ) = (1 − 2 ),(4.66)для ˆ () мы имеем(︂[ˆ (1 ), ˆ (2 )] =∫︁(1 − 2 ) −)︂ (1 , )(2 , ) .(4.67)0Для простоты будем считать, что время записи совпадает со временем считывания , т.е.
= = .Однако, из вида выражения 4.65 еще не следует, что приближение светоделительнойпластины нельзя использовать, поэтому, чтобы разобраться в сложившейся ситуации, проведемего модовый анализ, для чего разложим в ряд по собственным функциям ядра (, ′ ) сигнальноеполе на входе и выходе из ячейки, а также вклад от вакуумного каналаˆ ( − ) =∞∑︁ˆ; (),ˆ () ==1∞∑︁ˆ; (),=1(4.68)ˆ () =∞∑︁ˆ; (),=1где явное выражение для коэффициентов в последнем равенстве будет найдено ниже изусловия сохранения канонической формы коммутационных соотношений бозонных операторовˆ; , ˆ; , ˆ; :[︁]︁]︁ [︁]︁ [︁ˆ; , ˆ†;′ = ˆ; , ˆ†;′ = ˆ; , ˆ†;′ = ′ .(4.69)Заметим, что ⟨ˆ†; , ˆ; ⟩ = ⟨ˆ; ⟩ и ⟨ˆ†; , ˆ; ⟩ = ⟨ˆ; ⟩ и имеют смысл среднего числа фотоновна входе и выходе из ячейки памяти, соответствующих −ой моде.
Применяя свойство ортонормированности (3.4) набора собственных функции, мы можем написать обратные по отношению80к (4.68) преобразования в виде∫︁∫︁ ˆ ( − ) (),ˆ; =ˆ; =0 ˆ () (),0(4.70)∫︁ˆ; = ˆ () ().0Подставляя разложения (4.68) и (3.6) в выражение (4.65), мы получим равенство∞∑︁ˆ;∞ √︀∞∑︁∑︁ () = ˆ; () +ˆ; ().=1=1(4.71)=1Умножая это равенство на () и затем интегрируя его на временном интервале [0, ], в силу(3.4) для каждой -ой моды находимˆ; =√︀ ˆ; −√︀1 − ˆ; ,(4.72)√︀где мы приняли во внимание, что коэффициенты выражаются через собственные числа √︀в виде = 1 − , что следует из (4.72) и коммутационных соотношений (4.69).
Мы видим,что выражение (4.72) совпадает с выражением (4.1) для светоделительной модели памяти тольков случае, если сохраняется одна единственная мода. Однако для общей ситуации это не так,и важным оказывается то, что вклад в -ую моду при считывании дает только -ая мода призаписи, т.е. каждая из собственных мод памяти развивается абсолютно независимо от других.ˆ ⟩ и выходе из нееОтсюда, в частности, следует, что общее число фотонов на входе в ячейку ⟨ˆ ⟩ можно выразить в виде суммы вкладов от каждой моды, т.е.⟨ˆ ⟩ =⟨∞∑︁⟨ˆ; ⟩,ˆ ⟩ =⟨=1∞∑︁⟨ˆ; ⟩,(4.73)=1где из (4.72) следует равенство ⟨ˆ; ⟩ = ⟨ˆ; ⟩.
Таким образом, эффективность памяти ℰможет быть выражена в видеℰ=∞∑︁ ⟨ˆ; ⟩=1ˆ ⟩⟨.(4.74)Принимая во внимание (4.70) и совершив преобразование Фурье по ограниченному интервалудля нулевой частотной компоненты, получимˆ ⟩| ( = 0)|2 ,⟨ˆ; ⟩ = ⟨81(4.75)что дает возможность записать эффективность как параметр независимый от источника излучения и непосредственно характеризующий сам протокол памятиℰ=∞∑︁ | ( = 0)|2 .(4.76)=1Из (4.76) видно, что вклад в эффективность дадут только те моды, нулевая частотная компонента которых окажется существенной. Для рассмотренного нами случая, когда безразмерная длинаячейки = 10 и время взаимодействия = 5.5, мы имеем|1 ( = 0)|2 ≈ |2 ( = 0)|2 ≈ 0.49, что видно из рис. 3.2, а на все остальные моды приходитсятолько около 2% от всех фотонов. При этом общая эффективность при запоминании суперпозиции первых двух собственных мод (1 = 1 и 2 = 0.85), взятых с равными весами, составляетℰ = 0.91 (т.е.
91%).Таким образом, чтобы добиться наилучшей эффективности, выделенным модам (модамс существенной ненулевой частотной компонентой) должны соответствовать собственные числаблизкие к единице: если сигнал, подаваемый на вход ячейки при записи, можно представитьв виде суперпозиции таких мод (т.е. он в значительной мере перекрывается ими), то ячейкасработает эффективно. Отсюда, в частности, следуют те результаты, которые были полученыпри обсуждении сохранения сжатых и перепутанных состояний. Иными словами, в случае многомодовой квантовой памяти, когда каждая отдельная мода развивается независимо от других,исчерпывающей характеристикой работы такого протокола станет актуальный модовый состав,т.е.
моды спектральный состав которых совпадает со спектром сигнала и которым отвечаютсобственные числа близкие к единице.4.8Заключение по главе 4В этой главе мы показали, что благодаря широкой пропускной способности исследуе-мый протокол квантовой памяти способен хорошо сохранять сжатые и перепутанные состоянияимпульсов многомодового излучения, и на основе модового анализа качественно объяснили кажущийся парадоксальным результат, когда при невысокой эффективности, определенной какотношение числа сигнальных фотонов при считывании и при записи, можно получить отличноесохранение квантово-статистических свойств света.Отсюда, в частности, мы заключили, что эффективность, не всегда является исчерпывающей характеристикой протокола памяти. Кроме того, мы показали, что вместо приближениясветоделительной пластины [85], которому отвечает выражение (4.1), связывающее сигнальное82поле при записи и считывании, для рассматриваемого нами случая многомодовой квантовой памяти нужно использовать его обобщение в виде (4.72), которое показывает, что каждая собственная мода ячейки будет развиваться независимо от других.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
