Диссертация (1149834), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В нашем случае представляется более удобным воспользоваться критерием Дуана [124], для которого в этом разделемы запишем явное выражение.Мы нумеруем субпуассоновские лазерные источники индексами = 1, 2, и импульсы отних описываем нормализованными гейзенберговыми амплитудами ˆ (), которые подчиняютсяканоническим перестановочным соотношениям[︁]︁ˆ (), ˆ † (′ ) = ( − ′ ).(4.23)Мы считаем, что оба лазера совершенно одинаковы, но по фазе средние амплитуды полей сдвинуты друг относительно друга на /2. Пусть, например, средняя амплитуда первого лазера –вещественная, а второго – мнимая:⟨ˆ1 ()⟩ = ⟨ˆ1 † ()⟩,⟨ˆ2 ()⟩ = −⟨ˆ2 † ()⟩.(4.24)Как обычно, введем квадратуры поля как реальную и мнимую части нормализованнойамплитудыˆ () + ˆ (),ˆ () = = 1, 2.(4.25)Из факта, что лазеры одинаковы, следуют равенства для средних значений квадратурˆ ()⟩ = ⟨ˆ ()⟩,⟨12ˆ ()⟩ = ⟨ˆ ()⟩ = 0,⟨1271(4.26)и для их флуктуацийˆ (′ )⟩ = ⟨ ˆ () ˆ (′ )⟩.
(4.27)ˆ 2 () ⟨ 211ˆ 1 (′ )⟩ = ⟨ ˆ2 () ˆ2 (′ )⟩,ˆ 1 () ⟨ Нас будут интересовать только сжатые квадратуры в их спектральном представлениипри импульсном режиме работы лазеров1 ˆ 1,ˆ 1,⟨ ( + ′ ) + ⟨: ˆ1, ˆ1,′ :⟩,′⟩ =41 ⟨ ˆ2, ˆ2, ( + ′ ) + ⟨: ˆ2, ˆ2,′⟩ =′ :⟩,41,′ :⟩.1, ˆ ˆ2,⟨: ˆ2,′ :⟩ = ⟨: ˆ(4.28)(4.29)Явный вид выражения для ⟨: ˆ1, ˆ1,′ :⟩ был получен ранее (см. (4.14)). Как и раньше, максимальное сжатие достигается на частоте = 0, при которойˆ 1,=0ˆ ⟩ = ⟨ ˆ ˆ ⟩ = 2 /16 ≪ 1/4.⟨ 2,=02,=01,=0Запишем соотношение между начальными (до светоделительной пластины) амплитудами ˆ1 , ˆ2 и конечными (после светоделительной пластины) ˆ1 , ˆ2 в виде)︁1 (︁ˆ1 () = √ ˆ1 () + ˆ2 () ,2)︁1 (︁ˆ2 () = √ ˆ1 () − ˆ2 () .2(4.30)Новые квадратуры вводим как реальные и мнимые части новых амплитудˆ () + ˆ ().ˆ () = (4.31)Нетрудно выразить флуктуации этих квадратур через флуктуации квадратур лазерных источников.
В спектральном представлении эти соотношения имеют видˆ 1, = √1 ( ˆ 1,ˆ 2,+ ),21 ˆ1,= √ ( ˆ1,+ ˆ2,),2ˆ 2, = √1 ( ˆ 1,ˆ 2,− ),21 ˆ2,= √ ( ˆ1,− ˆ2,).2(4.32)(4.33)Отсюда следуют равенстваˆ + ˆ |2 ⟩ = 2⟨| ˆ |2 ⟩,⟨| 1,2,1,72 2 2⟨| ˆ1,− ˆ2,| ⟩ = 2⟨| ˆ2,| ⟩.(4.34)ˆˆЭто означает, что если первый лазер излучает -сжатыйсвет, а второй – ˆ -сжатый, то ˆ |2 ⟩ < 1/4 a ˆ квадратуры разных лазеров оказываются антикоррелированы, поскольку ⟨| 1, 2| ⟩ < 1/4 .квадратуры – коррелированы, поскольку ⟨| ˆ2,Критерий Дуана можно сформулировать следующим образом [124]: для перепутанногосостояния должно выполняться неравенство 2ˆ 2, |2 ⟩ + ⟨| ˆ1,ˆ 1, + | ⟩ < 1.− ˆ2, = ⟨| (4.35)Далее будем называть величину параметром Дуана.
Верхний индекс "in" указывает на то,что здесь этот параметр характеризует состояние поля при записи в ячейку памяти. Явное выражение для него можно получить из определения (4.35) и формулы (4.29) при ≫ 1 = 2 + 2 2 /4 + 2 (1 − )(1 − ). 2 + 2 (1 − /2)2(4.36)Полагая наилучшие условия сжатия лазерных источников, которые достигаются выбором регулярной накачки активных сред ( = 1), получим, что предельная перепутанность импульсов (также, как изначальное сжатие лазерных лучей) имеет место на околонулевых частотах,∼ 2 ≪ 1.
Напомним, что это параметр синхронизации лазерных источников, икогда ≪весь наш анализ верен исключительно при условии ≪ 1. Как видим, синхронизация в этомслучае ограничивает возможную перепутанность, хотя и не очень серьезно.Рассмотрим другой предельный случай, когда 2 /4 ≪ 1 − ≪ 1. При этом= 1 − ≪ 1, т.е. при выборе исходных лазерных источников с хорошо выраженной≪(но не предельной) субпуассоновской статистикой фотонов мы сможем получить в той же мереперепутанные лазерные импульсы.4.5Считывание перепутанного состояния из широкополосной памятиВ полном цикле записи-считывания два импульса в перепутанном состоянии на входеячейки памяти с амплитудами ˆ () ( = 1, 2), определенными равенствами (4.30), превращаютсяна выходе в два новых импульса с амплитудами Φ̂ (), и, согласно (3.1), связаны друг с другомчерез интегральное преобразование∫︁Φ̂ () =′ ˆ ( − ′ ) (, ′ ) + ˆ ().073(4.37)Мы полагаем, что процесс записи сигналов происходит на временном интервале [0, ](т.е.
управляющее поле взаимодействует с атомами на этом промежутке времени). Длительностьинтервала выбирается равной длительности импульса (т.е. длительности открывания диафрагмы, с помощью которой импульс вырезается из стационарного потока). Длительность выходного импульса целиком определяется временем считывания , которое в случае многомодовой памяти может существенно отличаться от времени записи в зависимости от выбранногорежима считывания.Второе слагаемое ˆ () в выражении (4.37) описывает вклады в процесс всех вакуумных каналов (вклады всех подсистем, находящихся в начальный момент времени в вакуумномсостоянии). Как известно, эти вклады обеспечивают сохранение канонических коммутационныхсоотношений для амплитуд поля. Это означает, что мы должны потребовать одновременное выполнение равенств]︁ [︁]︁[︁Φ̂ (), Φ̂† (′ ) = ˆ (), ˆ† (′ ) = ( − ′ ),(4.38)что возможно только при условии∫︁[︁]︁† ′′ˆ (), ˆ ( ) = ( − ) −1 (, 1 )(′ , 1 ).(4.39)0Для того, чтобы оценить перепутывание считанных сигнальных импульсов, нам потребуются квадратуры поля на выходе, которые, как обычно, вводятся как реальная и мнимая частиамплитуды Φ̂ ().
Для их флуктуаций имеем:ˆ () + ˆ (), Φ̂ () = (4.40)Переходя к спектральному представлению, получим из (4.37) соотношения между начальнымии конечными спектральными квадратурами в видеˆ =, ˆ,=∫︁0∫︁ ˆ ( − ′ ) (, ′ ) + ˆ′ ,′ ,′′′ ˆ ( − ′ ) (, ′ ) + ˆ,,(4.41)′′′ˆ, = ˆ,+ ˆ,.(4.42)0Здесь и далее верхний индекс указывает на Фурье-преобразование по ограниченному временному интервалу [0, ].74Для того, чтобы оценить фактор перепутывания считанных сигнальных импульсов, будем использовать, как для входного сигнала, критерий Дуана. Согласно этому критерию, параметр Дуана 2 2ˆ 2,ˆ 1,|⟩− ˆ2,| ⟩ + ⟨| ˆ1,+ = ⟨| (4.43)должен быть меньше единицы, что будет означать, что наша ячейка памяти успешно сработалаи перепутывание сохранилось.Имея в виду равенства (4.32) и (4.33), мы можем выразить оба слагаемых в (4.43) черезисходные квадратуры лазерных импульсов в виде 2 2ˆ 2,ˆ 1,| :⟩ =− ˆ2,| :⟩ = ⟨: | ˆ1,+ ⟨: | ∫︁ ∫︁ ˆ 1 ( − ′ ) ˆ 1 ( − ′′ ) :⟩ (, ′ ) (−, ′′ ).′ ′′ ⟨: =20(4.44)0Обозначение ⟨: :⟩ указывает на то, что мы следим здесь за нормально упорядоченными средними величинами, и наличие вакуумных каналов сюда не дает вкладов.
Как видно из (4.43), длязаписи критерия Дуана необходимы неупорядоченные средние, которые связаны с нормальноупорядоченными следующим образом:1 2ˆ 1,ˆ 2,+ ⟨: | + | :⟩,2 2ˆ 1,ˆ 2,⟨| + | ⟩=(4.45)1 2 2⟨| ˆ1,− ˆ2,| ⟩ = + ⟨: | ˆ1,− ˆ2,| :⟩.2Эти равенства дают возможность записать величину в явном виде через исходные параметры задачи(1 − )=1−(1 − /2)2∫︁′∫︁′0′′′′′ − ( − ) (, ′ ) (−, ′′ ). (4.46)0При оптимальных условиях экспонента под знаком интеграла описывает быстрое затухание и еесвертка с медленной функцией (, ) оказывается просто равной этой функции.
В результатеполучаем параметр Дуана в явном виде для двух импульсов света после считывания из ячейкипамяти:(1 − )=1−(1 − /2)2∫︁075′ (, ′ ) (−, ′ ).(4.47)Это выражение вместе с (4.36) дают нам возможность сравнить факторы перепутывания сигнальных импульсов на входе и выходе ячейки памяти.
Оценим максимально возможное перепутывание, которое имеет место на нулевой частоте. Для простоты положим 2 /4 ≪ 1 − ≪ 1,тогда=0≈ 1 − ,=0≈ 1 − ,(4.48)где величина определяется следующим интегральным выражением1=∫︁∫︁∫︁1 200 (1 , ) (2 , )(4.49)0или в варианте спектральных распределений∫︁= ( = 0, ) ( = 0, ).(4.50)0Из (4.48) видно, что чем ближе величина к единице, тем лучше сохраняется перепутанность:значение параметра Дуана в восстановленном сигнале ближе к входному значению.Оценим численно значение величины для исследуемой модели широкополосной квантовой памяти. Как и прежде, выберем значение безразмерной длины ячейки = 10. Для простоты оценки и возможности сравнения с ранее полученными результатами выберем профилисигнального и управляющего полей на входе ячейки прямоугольными с длительностью = 5.5.Было найдено, что имеет максимум = 0.88 при / = 0.5 (когда = 2.75).
Интересноотметить, что эффективность при этом оказывается низкой – всего лишь на уровне 50%. Приувеличении / от точки максимума эффективность памяти, естественно, будет постепеннонарастать, но при этом величина , наоборот, падает. Таким образом, как и в случае с сжатием,эффективность памяти и сохранение перепутанности между импульсами оказываются несвязанными друг с другом и достигают своих наилучших значений на разных временах считывания.Качественно этот результат объясняется актуальными собственными модами ячейки памяти, очем мы еще скажем в разделе 4.7 этой главы.4.6Ассиметричное запоминание перепутанных импульсовДо сих пор мы полагали, что в нашей схеме, представленной на рис.4.3, ячейки памяти,стоящие в разных плечах схемы, совершенно одинаковы.
Давайте теперь учтем, что они могутбыть разными и, в частности, что одна из них может вообще отсутствовать. Формально это76означает, что для каждой ячейки памяти мы должны написать свое ядро (, ′ ). Будем обозначать ядра для ячеек в разных плечах схемы как 1 (, ′ ) и 2 (, ′ ) соответственно. Повторяя всевычисления, проделанные выше для симметричного варианта, можем получить параметр Дуанав следующем виде = 1 − (+) + (−) ,(4.51)где(+)(−)∫︁ ′∫︁ ′′′ 1 − ′′′ −(1 − /2)( − ) + (, ′ ) + (−, ′′ ), (4.52)=4 1 − /2 00∫︁ ′∫︁ ′′′2(1 − )=′′′ −/2( − ) − (, ′ ) − (−, ′′ ),(4.53)00и величины ± (, ) – это суммы и разности индивидуальных ядер памяти± (, ) = 1 (, ) ± 2 (, ).(−)Если мы здесь выберем ядра одинаковыми, то слагаемое (4.54)окажется равным нулю, посколь-ку при этом − (, ) ≡ 0. Как понятно, при этом восстанавливается симметричность схемы, ипараметр Дуана окажется, как и должно быть, в точности таким же, как в предыдущем рассмотрении.(+)Природа слагаемых (4.52) и (4.53) хорошо просматривается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
