Диссертация (1149834), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Чтобы сделать выводы о качестве хранения, мы сравним найденные результаты с результатами другого мысленного эксперимента, в котором оценивалась квантовая эффективность протокола. Это позволит нам непосредственно выяснить, можно ли применить приближение светоделительной пластины, описанное вразделе 4.1, к исследуемой модели памяти и считать эффективность исчерпывающей характеристикой ее работы.Сперва остановимся на оценке эффективности квантовой памяти.
Мы предполагаем,что вначале импульсы сигнального и управляющего полей с некоторыми заданными временными профилями и длительностью одновременно посылаются на вход ячейки с атомами. Распространяясь внутри ячейки, эти поля создают пространственное распределение когерентностимежду двумя нижними энергетическими уровнями, которое зависит как от характера взаимодействия между средой и светом, так и от длительности этого взаимодействия. При считывании импульс управляющего поля длительностью отправляют на ячейку с противоположной стороны(случай обратного считывания), в результате чего происходит испускание сигнальных фотонов,которые затем поступают на фотодетектор.
В общем случае эффективность определяется из отношения числа фотонов сигнального поля на выходе ячейки к числу фотонов сигнального поляна ее входе и математически может быть выражена как∫︀ ⟨ˆ† ()ˆ ()⟩ℰ = ∫︀0 .†⟨ˆ()ˆ()⟩065(4.16)Считая, что управляющее поле имеет прямоугольный временной профиль и принимая во внимание (3.1), а также описанный в разделе 2.5 переход от операторов поля к аналитическимфункциям, перепишем выражение для эффективности в виде(︂∫︁ℰ=∫︁∫︁(︂∫︁0×′′′′′′′′)︂ ( − ) ( − ) (, )(, ) ×0′(4.17)0† () ())︂−1.0Профиль сигнального импульса сжатого света длительностью , поданного на входячейки при записи, представляет собой некоторую случайную функцию от времени, меняющуюся в интервале [0, ], которая может быть разложена в ряд по полному ортонормированному′набору функций { ()}∞=1 , являющихся собственными функциями ядра полного цикла (, ).Однако, как было показано в разделе 3.1 предыдущей главы, при заданных значениях длительности этапов записи и считывания = = 5.5 и эффективной оптической толщины = 10ячейка памяти оказывается фильтром для первых двух собственных функций, поэтому мы можем не учитывать вклады от остальных членов ряда и ограничиться рассмотрением суперпозиции только первых двух.
Кроме того, забегая вперед, отметим, что сравнение спектра сжатияимпульса света (рис. 4.1) со спектрами собственных функций (на нижней строке рис. 3.2 приведены первые три) говорит о том, что именно первые две собственные функции определяютсохранение сжатия на нулевой частоте (т.е. импульса как целого), которое оказывается максимальным и представляет наибольший интерес.В связи с этим в качестве входного поля при оценке эффективности мы выберем поле,обращенный (мы должны принять во внимание свертку в выражении (3.1)) временной профиль которого совпадает с суперпозицией первых двух собственных функций, найденных для = = 5.5 и = 10 и взятых с равными весами.
Из второй строки рис. 3.2, на которойприведены их квадраты, видно, что такую суперпозицию при расчете эффективности можноаппроксимировать функцией окна, т.е. импульсом прямоугольной формы: перекрестные членыокажутся равными нулю в силу ортогональности собственных функций (3.4), поэтому вклад дадут только их квадраты.
С одной стороны, это позволит нам полностью исключить временнуюзависимость для поля при записи и тем самым упростить расчет, с другой, мы сможем наглядно продемонстрировать разницу между исследуемым протоколом и протоколом одномодовойпамяти, для которой справедливо приближение светоделительной пластины.66Исключив в корреляционных функциях временную зависимость поля при записи⟨ˆ† ( − ′ )ˆ ( − ′′ )⟩ = ⟨ˆ† ()ˆ ()⟩ = ⟨ˆ† ˆ ⟩,выразим формулу для эффективности в существенно более простом виде1ℰ=∫︁(︂∫︁0)︂2 (, ) .′′(4.18)0Во втором мысленном эксперименте, мы предполагаем, что на вход ячейки подаетсяимпульс сжатого света, полученный от субпуассоновского лазера с захватом фазы.
Мы сравнимстепень сжатия , импульса при записи в ячейку со степенью сжатия , при считываниииз нее, которые вводим как, = − () ,, = − () .(4.19)Принимая во внимание определение параметров сжатия (4.5), получим, = 1 + 4⟨: ˆ, ˆ,− :⟩,, = 1 + 4⟨: ˆ, ˆ,− :⟩.(4.20)Согласно (3.1) и с учетом нормального порядка операторов, исключающего вклад от вакуумногоканала при расчете средних, корреляционные функции для сигнального импульса при записии считывании во временном представлении оказываются связаны друг с другом следующимсоотношением⟨: ˆ () ˆ (′ ) :⟩ =∫︁ ∫︁ =12 ⟨: ˆ ( − 1 ) ˆ ( − 2 ) :⟩(, 1 )(′ , 2 ).(4.21)00Применив к этому выражению преобразование Фурье по ограниченному временному промежутку (4.14), находим⟨: ˆ, ˆ,′ :⟩ =∫︁ ∫︁ =12 ⟨: ˆ ( − 1 ) ˆ ( − 2 ) :⟩ (, 1 )( ′ , 2 ).0(4.22)0Таким образом, мы можем сравнить степень сжатия при записи и при считывании из ячейки.67Рисунок 4.1: Спектры сжатия импульса на входе в ячейку 1 − , (пунктирная кривая) и поляна выходе из нее 1 − , (сплошная кривая).Рисунок 4.2: Эффективность (пунктирная кривая) и степень сжатия импульса как целого(сплошная кривая) от безразмерного времени считывания .На рис.
4.1 приведены спектры сжатия , и , (точнее, величины 1 − , и1 − , ). Уменьшение спектральной ширины сигнала в результате процесса хранения и потерисжатия связаны с пропускной способностью квантового информационного канала, включающегов себя ячейку памяти, которой оказывается недостаточно для того, чтобы полностью воссоздатьисходный сигнал. Однако видно, что для ≈ 2 эти потери оказываются сравнительно небольшими (порядка 10%), и при этом условие ≫ 1 по-прежнему выполнено.
Отсюда следует, что,подбирая длительность сигнала и его спектральную ширину соответствующим образом, можнодобиться достаточно хорошего сохранения сжатия для большого спектрального диапазона.Далее нас будет интересовать сжатие импульса как целого, что соответствует нулевойчастотной компоненте спектра сжатия , , т.е. значению ,0 . Как следует из рис. 4.1, оноопределяет максимально возможную степень сжатия. На рис.
4.2 показаны результаты численного расчета для эффективности ℰ и сжатия импульса ,0 (точнее, величины 1 − ,0 ) какфункций от времени обратного считывания . Мы выбрали в качестве параметров сигнальногополя = 100/5.5, = 1, чтобы заведомо обеспечить хорошее сжатие входного импульса, приэтом, как уже было сказано ранее, безразмерные длина среды и длительность импульса состави-68ли = 10 и = 5.5, соответственно. Заметим, что время считывания на графике превышаетвремя записи .
Это связано с тем, что длительность импульса на выходе из ячейки в случаемногомодовой памяти может существенно отличаться от длительности импульса, поданного наее вход.Прежде всего, стоит сказать, что характер зависимости для эффективности и для сжатия не всегда совпадает. Эффективность возрастает монотонно и при = 5.5 достигает своегонасыщения, после чего практически перестает меняться. В то же время степень сжатия импульса для > 5.5 начинает существенно уменьшаться.
Физически уменьшение степени сжатия инасыщение эффективности можно объяснить влиянием вакуумных шумов, чей вклад возрастаетпо мере увеличения времени считывания и для > 5.5 превосходит вклад от сигнального поля.Кроме того, рисунок показывает, что на некотором интервале сжатие оказывается больше эффективности и при = 2.75 достигает своего максимума. Это идет в разрез с выражением (4.7),полученным для "светоделительной" модели памяти, и наглядно демонстрирует ее отличие отрассматриваемого нами протокола.
На первый взгляд это кажется парадоксальным: несмотря нато, что при = 2.75 эффективность оказывается порядка 50%, т.е. едва достигается квантовыйпредел, мы получаем отличное сжатие для сигнала при считывании. Для качественного объяснения полученных результатов вновь обратимся к рассмотрению собственных функций полногоцикла памяти ().Как было показано в главе 3, отличительной особенностью протокола быстрой квантовой памяти при заданных параметрах безразмерной длины среды и длительности импульсаявляется не только то, что первые две собственные моды оказываются выделенными благодарянаибольшим собственным числам, но также их локализация на разных интервалах временнойоси: первая мода главным образом "сосредоточена" внутри интервала ∈ [0, 2.75], вторая –внутри интервала ∈ [2.75, 5.5]).
В частности, эта особенность находит свое отражение в том,что границы интервалов совпадают с расположением двух пиков на кривой сжатия на рис. 4.2.Выясним теперь, являются ли все собственные функции ячейки сжатыми или нет. Дляэтого обратимся к спектрам первых трех собственных мод (см. рис.3.2). При их сравнении соспектром сжатия импульса, поданного на вход (см. рис.
4.1), видно, что все они расположены вобласти с наибольшей степенью сжатия, т.е. оказываются хорошо сжаты. Однако, как уже былозамечено выше, только первые две собственные моды дадут свой вклад в сжатие импульса какцелого, т.к. только они имеют существенные нулевые спектральные компоненты.Возвращаясь к кривым на рис. 4.2, мы можем объяснить, почему на некотором интервалесжатие превосходит эффективность. Благодаря локализации во времени, каждая мода дает свой,независимый вклад при считывании квантового сигнала, и в силу того, что первой собственной69моде отвечает большее собственное число (т.е. большая эффективность при считывании), импульс на интервале ∈ [0, 2.75] лучше сохраняет сжатие, чем на интервале ∈ [2.75, 5.5], т.е.в момент времени = 2.75 часть записанного сигнального поля, связанного главным образомс первой собственной модой полного цикла, уже "покинула" ячейку, в то время как другая егочасть, отвечающая второй собственной моде, "остается" внутри нее.
Таким образом, несмотря на то, что к моменту времени = 2.75 примерно половина от всех фотонов, поданных навход ячейки по-прежнему оказывается внутри нее и эффективность составляет только 50%, мыможем получить хорошее сжатие на выходе. Оставшиеся фотоны оказываются связанными совторой собственной модой и будут считаны позже. Именно в этом и заключается отличие рассматриваемого нами протокола от любого протокола одномодовой памяти, для которой криваясжатия не может превысить эффективность.Можно заключить, что сохранение сжатия будет непосредственно связано с модовым составом ячейки памяти. При этом степень сжатия импульса как целого будет определяться двумяследующими аспектами: наличием существенных нулевых спектральных компонент у собственных мод с большими собственными числами, а также их локализацией на временной оси.
Приперекрытии актуальных собственных мод ячейки друг с другом нарастание кривой сжатия домаксимума и выход кривой эффективности к пределу насыщения происходит одновременно. Впротивном случае эти кривые будут вести себя по-разному.4.4Критерий Дуана для двух импульсов светаВ этом и двух следующих разделах, посвященных сохранению перепутанных импульсовсвета, мы будем рассматривать мысленный эксперимент, схема которого приведена на рис.4.3. Вкачестве источника входного излучения выступают два субпуассоновских лазера, приведенныев импульсный режиме генерации способом, описанным в разделе 4.2.
Для того, чтобы подавитьв них фазовую диффузию, применяется синхронизирующий фактор в виде слабого электромагнитного воздействия, который обеспечивает нулевую среднюю фазу для поля одного лазера ифазу, равную /2, для другого. Вследствие этого возникают два независимых импульса светадлительности , сжатых в ортогональных квадратурах. Эти импульсы мы должны смешать насимметричной светоделительной пластине, в результате чего возникнут два новых импульса, уженаходящихся в перепутанном состоянии, которые мы будем исследовать на предмет устойчивости перепутывания к процессу записи в ячейку многомодовой квантовой памяти и последующеговоспроизведения.70Рисунок 4.3: Схема мысленного эксперимента по сохранению перепутанного состояния двухлазерных импульсов.Имеются разные подходы, позволяющие оценить наличие перепутывания в системе.Например, для чистых состояний удобен подход, развитый в работах [120, 121], основанный наанализе параметров разложения Шмидта. Другой метод связан с построением ковариационнойматрицы и поиском симплектических собственных значений [122, 123].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
