Диссертация (1149834), страница 9
Текст из файла (страница 9)
когда несу-щая частота сигнального поля совпадает с частотой перехода 13 между уровнями | 1⟩ и | 3⟩,а частота управляющего поля – с частотой перехода 23 между уровнями | 2⟩ и | 3⟩, при этоммы предполагаем, что уровни | 1⟩ и | 2⟩ энергетически разделены, т.е. частоты 23 и 13 существенно отличаются друг от друга. В связи с этим мы исключаем нерезонансные переходы израссмотрения.Мы будем считать, что поле (, ) – это классическая, плоская монохроматическаяволна, а поле ˆ (, ) – это квантовая квазимонохроматическая волна, которые на этапе записираспространяются вдоль выбранного направления , а на этапе считывания волна управляющегополя посылается на ячейку в противоположном направлении (обратное считывание).Выражения для сигнального и управляющего полей имеют следующий вид√︂~ − + ˆ(, ) + ℎ.. ,2 √︂ 0~ − + (, ) = − + ..
,20 ˆ (, ) = −(2.1)(2.2)где и – волновые числа сигнального и управляющего полей. Медленно меняющийся оператор уничтожения сигнального поля ˆ(, ) и амплитуда управляющего поля записаны в фо-35тонных единицах, т.е. ⟨ˆ† (, )ˆ(, )⟩ и ||2 имеют размерности числа фотонов, проходящих заодну секунду через сечение площадью .Справедливо следующее разложение оператора ˆ(, ) по пространственным модам cволновым числом и частотой ( )∫︁ˆ(, ) =2√︃( )ˆ( )( − )−(( )− ) ,(2.3)при этом для ˆ( ) выполняются обычные бозонные коммутационные соотношения]︀[︀ˆ( ), ˆ† (′ ) = 2 ( − ′ ),[ˆ( ), ˆ(′ )] = 0.Согласно [113], используя эти соотношения и разложение (2.3), получим выражения для коммутаторов ˆ(, ) и ˆ† (, )[︀]︀ˆ(, ), ˆ† (, ′ )[︀]︀ˆ(, ), ˆ† ( ′ , )= ( − ′ ),(︂)︂ = 1−( − ′ ). (2.4)(2.5)Таким образом, уравнение Гейзенберга, описывающее эволюцию медленно меняющегося оператора уничтожения сигнального поля ˆ(, ), записывается как(︂+)︂ˆ(, ) =]︁ [︁ ˆ ,ˆ(, ) ,~(2.6)где ˆ – гамильтониан, описывающий взаимодействия сигнального и управляющего полей с атомным ансамблем.2.3Гамильтониан взаимодействия для подансамбляМы будем рассматривать атомный ансамбль с низкой концентрацией частиц в единицеобъема, при этом частицы ансамбля будут двигаться с тепловыми скоростями в продольном направлении.
Это позволит нам исключить взаимодействие атомов друг с другом и разбить весьансамбль на независимые подансамбли, каждый из которых движется как целое равномернои прямолинейно с некоторой определенной продольной скоростью . Выведем гамильтониан36подансамбля ˆ (; ), описывающий взаимодействие атомов с квантовым сигнальным и классическим управляющим полями.Поскольку размеры отдельного атома много меньше длин волн и сигнального иуправляющего полей, лежащих в оптическом диапазоне, в мультипольном разложении по степеням отношений / и / мы можем ограничиться рассмотрением только первых членов ряда,пропорциональных первой степени этих отношений, т.е. использовать дипольное приближениедля описания взаимодействия между средой и излучением.ˆ (; ) = −∑︁ˆ ˆ ( (; ), ) ,(2.7)ˆ ( (; ), ) = ˆ ( (; ), ) + ( (; ), ) .(2.8)Здесь (; ) – положение -ого атома, движущегося со скоростью , в момент времени , ˆ –дипольный момент −ого атома.Приведенный гамильтониан учитывает взаимодействие сигнального и управляющегополей с каждым атомом подансабля или, другими словами, записан в микроскопических переменных, однако оказывается, что удобнее рассматривать взаимодействие со всем ансамблем сразу, вводя соответствующим образом коллективные операторы когерентности (, ; ) междууровнями | ⟩ и | ⟩ и заселенности (, ; ) уровня | ⟩, зависящие уже не от координатотдельных атомов, а от точки наблюдения ˆ (, ; ) =∑︁|⟩⟨| ( − (; )) ,(2.9)|⟩⟨| ( − (; )) .(2.10)ˆ (, ; ) =∑︁Для этих коллективных операторов выполняется коммутационное соотношение, являющеесяследствием их определения:[︁]︁ (︁)︁ (︀)︀ˆ (, ; ) − ˆ (, ; ) − ′ .ˆ (, ; ), ˆ ( ′ , ; ) = Выразим с их помощью оператор коллективного дипольного момента(︁)︁ (︁)︁ˆ ; ) = ˆ (, ; ) + ℎ..
+ ˆ (, ; ) + ℎ.. ,(,ˆ (, ; ) = 23 ˆ23 −23 ,37ˆ (, ; ) = 13 ˆ13 −13 ,(2.11)где 23 – дипольный момент, отвечающий переходу | 3⟩ → | 2⟩,а 13 – дипольный момент, отвечающий переходу атома с уровня | 3⟩ → | 1⟩, и перепишем гамильтониан взаимодействия для подансамбля в видеˆ (; ) = −∫︁+∞ˆ ; )(,ˆ ). (,(2.12)−∞Введём константу взаимодействия сигнального поля с атомами для перехода | 3⟩ → | 1⟩ ичастоту Раби Ω для перехода | 3⟩ → | 2⟩(︂=20 ~ 23Ω=,~)︂ 2113 ,√︂ = ~.20 (2.13)Выбором фазы волновой функции, описывающей состояние атомной системы, мы можем добиться того, что дипольный момент 13 и дипольный момент 31 , будут вещественными и, соответственно, равны друг другу, так как 31 является комплексным сопряжением для 13 . Этоозначает, что константа взаимодействия будет вещественной, т.е.
= * . Действуя аналогичным образом, мы получаем, что дипольные моменты 32 и 23 вещественны и равны друг другу,и, следовательно, частота Раби Ω, пропорциональная этим дипольным моментам, также является вещественной величиной, т.е. Ω = Ω* . Получаем итоговое выражение для гамильтонианавзаимодействияˆ (; ) =∫︁+∞[︀ (︀)︀ (︀)︀]︀ ~ ˆ (, )ˆ 31 (, ; ) − ℎ.. + Ωˆ 32 (, ; ) − ℎ.. ,−∞(2.14)где ˆ (, ) – амплитуда сигнального поля, которое взаимодействует с атомами подансамбля.Здесь мы использовали приближение вращающейся волны, исключив из рассмотрения слагаемые, изменяющиеся с двойной оптической частотой.2.4Уравнения Гейзенберга для подансамбля атомовВоспользуемся выражениями (2.6) для ˆ и (2.14) для ˆ и запишем замкнутую системууравнений Гейзенберга, описывающих взаимодействие сигнального и управляющего полей сподансамблем атомов, движущимся как целое со скоростью . Для упрощения записи в этом38подразделе мы будем опускать зависимость операторов от продольной координаты и времени:(︂)︂+ˆ = −ˆ 13 ( ),(︂)︂(︁)︁ˆˆ+ ˆ13 ( ) = Ωˆ12 ( ) + ˆ 1 ( ) − 3 ( ) ,)︂(︂+ ˆ12 ( ) = −Ωˆ13 ( ) − ˆ ˆ32 ( ),(︂)︂(︁)︁ˆ3 ( ) − ˆ2 ( ) + ˆ+ ˆ32 ( ) = −Ω ˆ12 ( ),)︂(︂ˆ1 ( ) = − ˆ+ (, )ˆ31 ( ) − ˆ† ˆ13 ( ),)︂(︂ˆ2 ( ) = −Ω (ˆ+ 32 ( ) − ˆ23 ( )) , ˆ ˆ ˆ3 ( ) = − 2 ( ).1 ( ) −(2.15)(2.16)(2.17)(2.18)(2.19)(2.20)(2.21)В последнем уравнении стоят полные производные по времени.
Оно следует из сохраненияобщего количества атомов подансамбля.В полученных уравнениях мы совершили переход к медленно меняющимся в пространстве когерентностям, возникающим вследствие замен:ˆ 31 (, ; ) → ˆ 31 (, ; )− ,(2.22)ˆ 32 (, ; ) → ˆ 32 (, ; )− ,(2.23)ˆ 12 (, ; ) → ˆ 32 (, ; )−( − ) .(2.24)На этапах записи и считывания мы также пренебрегли членами, связанными со спонтаннойрелаксацией уровня | 3⟩, поскольку время жизни этого уровня оказывается намного большим посравнению со временами взаимодействия коротких импульсов световых полей с атомами. Какбыло сказано выше, такой выбор времен отвечает рассматриваемому нами протоколу быстройквантовой памяти.Систему уравнений (2.15–2.21) можно существенным образом упростить и линеаризовать, если воспользоваться следующими приближениями.Из введенных определений коллективных когерентности (2.9) и заселенности (2.10) следует, что даже в системе отсчета, которая движется вместе с подансамблем, пространственнаязависимость этих операторов представляет собой гребенку из дельта-функций Дирака со случай39ными расстояниями между соседними пиками.
Мы будем полагать, что подансамбль содержитбольшое количество атомов, и, чтобы упростить математическую постановку задачи, мы усредним систему уравнений по положениям атомов и получим гладкие пространственные распределения для коллективных когерентностей и заселенностей.Большое количество атомов подансамбля, а также небольшое число фотонов в импульсесигнального поля позволяют считать заселенность состояния | 1⟩, в котором с помощью оптической накачки были приготовлены атомы всего ансамбля в начальный момент времени, неизменной на протяжении полного цикла памяти, включающего в себя этапы записи, хранения иˆ1 ( ) − ˆ3 ( ) можно заменить насчитывания.
Это означает, что в уравнении (2.16) разность с-число, отвечающее средней концентрации атомов подансамбля ( ). Кроме того, в уравнении (2.17) в правой части мы пренебрегаем вторым членом, поскольку он оказывается мал посравнению с первым, так как 2 ⟨ˆ† ˆ⟩ ≪ |Ω|2 (мы считаем, что классическое управляющее полесодержит много фотонов, а квантовое сигнальное – мало), и ⟨ˆ13 ( )⟩ ≫ ⟨ˆ32 ( )⟩ вследствиеˆ2 ( )⟩, ⟨ˆ3 ( )⟩ ≪ ( ).того, что ⟨Таким образом, из системы уравнений (2.15–2.21) удается выделить замкнутую подсистему, состоящую из трех независимых линейных дифференциальных уравнений в частныхпроизводных, описывающих эволюцию сигнального поля и двух когерентностей:(︂)︂+ˆ = −ˆ 13 ( ),)︂(︂+ ˆ13 ( ) = Ωˆ12 ( ) + ˆ ( ),(︂)︂+ ˆ12 ( ) = −Ωˆ13 ( ).(2.25)(2.26)(2.27)Мы вводим перенормированные операторы когерентности√︀ˆ(, ; ) ≡ ˆ 12 (, ; )/ ( ),√︀ˆ(, ; ) ≡ ˆ 13 (, ; )/ ( ),(2.28)(2.29)ˆ1 ( ) − ˆ2,3 ( ) → ( ) будут выполняться бозонные коммутадля которых с учетом замены ционные соотношения:[︁]︁ [︀]︀ˆ(, ; ), ˆ† ( ′ , ; ) = ˆ(, ; ), ˆ† ( ′ , ; ) = ( − ′ ).40(2.30)После введения таких операторов получим новую константу связи ( ) в выражении для га√︀√︀мильтониана, которая оказывается больше в ( ) раз: ( ) = ( ).
Такой вид константы связи подчеркивает, что взаимодействие подансамбля со слабым полем определяетсясредней концентрацией атомов ( ) этого подансамбля, и при больших ( ) будут проявляться коллективные эффекты, вследствие которых взаимодействие со всем подансамблем будетсильным.Далее, пренебрегая эффектами, связанными с запаздыванием светового импульса прираспространении через атомную среду, мы исключаем из левой части уравнения (2.25) производную по времени. Заметим, что такое приближение возможно только в случае, когда пространственная протяженность импульса света ( – длительность импульса, – скорость света ввакууме) много больше длины атомной ячейки , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
