Диссертация (1149783), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В представленныхтаблицах t – момент времени из промежутка [t0 , T ] с шагом в 2 и 3; hi (t) –выигрыш фирмы i в момент t до перераспределения; BiKl (t) – выигрыш фирмы i в момент t после перераспределения. В таблицах также приведены суммывыигрышей внутри коалиций. Из таблиц 1.1 и 1.2 видно, что в каждой из коалиций происходит перераспределение выигрышей, но их сумма в любой момент41Таблица 1.1: Выигрыши фирм из коалиции {1, 2} до и после перераспределения и их суммыth1 (t)h2 (t)h1 (t) + h2 (t)0-0,84635-0,00203-0,8483851,631289 0,2192087{1,2}B1(t){1,2}B2(t){1,2}B1{1,2}(t) + B20,046919-0,848381,8504971,574224 0,2762731,8504972,359627 0,2995542,6591822,299522 0,3596592,65918210 2,977935 0,3740723,3520062,916363 0,4356433,35200612 3,734956 0,4724864,2074423,676116 0,5313264,20744215 4,289493 0,5471554,8366484,242159 0,5944894,83664817 4,487237 0,5745085,0617454,454253 0,6074925,06174520 4,156812 0,5540774,7108894,158832 0,5520574,710889-0,8953(t)Таблица 1.2: Выигрыши фирм из коалиции {3, 4} до и после перераспределения и их суммыth3 (t)h4 (t){3,4}h3 (t) + h4 (t)B3(t){3,4}B4(t){3,4}B3{3,4}(t) + B400,000127 0,0523780,052505-0,021880,0743820,05250550,553212 0,0910560,6442680,532437 0,1118310,64426870,714981 0,1060350,8210160,6944950,126520,82101610 0,852092 0,1202650,9723570,832189 0,1401670,97235712 1,0197780,139431,1592081,001864 0,1573431,15920815 1,141969 0,1539691,2959381,1281990,167741,29593817 1,183629 0,1588791,3425081,1743380,168171,34250820 1,096926 0,1526971,2496231,097936 0,1516871,249623(t)остается неизменной.Требуется проверить динамическую устойчивость (временную состоятельность) PMS-вектора.
Для каждой фирмы i ∈ Kl ⊂ ∆ в каждый момент t ∈[t0 , T ] должно быть справедливо равенство (1.3.19):Z T(t0 )Kl∗νit, xKl (t) =BiKl (s) exp [−r(s − t0 )] ds +texp [−r(T − t0 )] qi (x∗i (T ))10242Таблица 1.3: Общие выигрыши для фирм из коалиции {1, 2}, вычисленные через компонентывектора Шепли и через интегралы от функций ПРД{1,2}{1,2}(t) ν2{1,2}(t) Ob1(t){1,2}tν1Ob2(t)016,2242,81016, 2242,810514,9332,20514, 9332, 205712,8051,85612, 8051, 8561010,4601,49910, 4601, 499126,9900,9896, 9900, 989153,8960,5493, 8960, 549172,1330,3052, 1330, 305200,0470,0250, 0470, 025(t0 )Klгде компоненты вектора Шепли νit, x∗Kl (t) вычисляются по формуле (1.3.17).lПравую часть равенства выше обозначим за ObKi (t).В таблицах 1.3 и 1.4 представлены результаты вычислений для компонентвектора Шепли в каждой коалиции и интегралов от функций ПРД. Здесь t– момент времени из промежутка [t0 , T ]; νiKl (t) – компонента вектора Шеплиlдля фирмы i, получаемая ей за промежуток [t, T ] ; ObKi (t) – выигрыш, получае-мый фирмой i за время [t, T ] после перераспределения.
Результаты показываютсправедливость равенства (1.3.19). Малое число знаков после запятой приведено из-за погрешности вычислений.43Таблица 1.4: Общие выигрыши для фирм из коалиции {3, 4}, вычисленные через компонентывектора Шепли и через интегралы от функций ПРДt{3,4}ν3{3,4}(t) ν4{3,4}(t) Ob3(t){3,4}Ob4(t)05,1951,0535,1951, 05354,1990,6944, 1990,69473,5250,5633, 5250,563102,8380,4432, 8380,443121,8730,2861, 8730, 286151,0410,1591, 0410,159170,5740,0910, 5740,091200,0250,0140, 0250,01444Глава 2Двухуровневая кооперация в игре технологическогоальянса2.1Постановка задачиВ данной главе рассматривается игра коалиций с возможностью их объединения в общие коалиции с целью максимизации совместного выигрыша.Рассмотрим кооперативную дифференциальную игру Γ∆ x0 , T − t0 , в которой, как и ранее, участвуют n игроков-фирм, производящих некоторую продукцию.
Параметром состояния фирмы i ∈ N = {1, ..., n} является ее уровеньтехнологии xi ∈ R+ , на который наложено ограничение xi > 0, а стратегией –инвестиции в технологическое развитие ui ∈ R+ . Выигрыш фирмы вычисляетсяпо формуле (1.1.2).Пусть ∆ = {K1 , K2 , ..., Km } – коалиционное разбиение игры.Множество индексов разбиения обозначим за M , т.е. M = {1, ..., m}.Как и ранее считаем, что коалиции в игре Γ∆ x0 , T − t0 выступают как отдельные игроки, при этом коалиции могут кооперироваться между собой, чтобыувеличить совместный выигрыш. Полученный совместный выигрыш вначалераспределяется между коалициями, а затем доля каждой коалиции распределяется между ее участниками.
Введем обозначения:xKl (s) = {xi (s)}i∈Kl , l ∈ M = {1, ..., m} – состояние коалиции Kl в моментs ∈ [t0 , T ], представляющее собой набор состояний ее участников. x0Kl = x0i i∈Kl –начальное состояние коалиции Kl .uKl (s) = {ui (s)}i∈Kl , l ∈ M = {1, ..., m} – управление коалиции Kl вмомент s ∈ [t0 , T ], представляющее собой набор управлений ее участников.N̆ – коалиция, образованная всеми коалициями из разбиения ∆.K̆ ⊆ N̆ – любая коалиция, образованная некоторым множеством коалиций45из разбиения ∆.VΓ∆(t0 )∆(t0 )∆=Vx0 , T − t0 .K̆, xK̆ (t), T − t – характеристическая функция игрыДинамика состояний участников коалиции Kl определяется системой дифференциальных уравнений:1/2ẋi (s) = αi [ui (s)xi (s)]X+[j,i]bj [xj (s)xi (s)]1/2 − δxi (s),(2.1.1)j∈Kl , j6=ixi (t0 ) = x0i ,i ∈ Kl ,Правую часть уравнения обозначим за fiKl [xKl (s), ui (s)].
Как и ранее, считаем, что на fiKl наложены условия, гарантирующие существование, единственность и продолжимость решений для любых кусочно-непрерывных управленийui (s), s ∈ [t0 , T ].Выигрыш каждой коалиции Kl ⊂ ∆ вычисляется как сумма выигрышейее участников: XHKl x0Kl , T − t0 , uKl =Hi x0i , T − t0 , ui =(2.1.2)i∈Kl=XZTi∈Kl thi (s, xi (s), ui (s)) exp [−r(s − t0 )] ds +0+Xexp [−r(T − t0 )] qi [xi (T )]1/2i∈Klгде hi (s, xi (s), ui (s)) = Pi [xi (s)]1/2 − ci ui (s) – выигрыш фирмы i ∈ Kl , получаемый в момент s ∈ [t0 , T ].2.2Кооперация коалицийЕсли несколько коалиций объединяются между собой в более крупную коалицию, то каждая из коалиций-участников может получить дополнительные бонусы в развитии своей технологии, которые она не могла бы получить сама.
Поэтому уравнение, описывающее технологическое развитие коалиций-участников,46изменяется. Рассмотрим коалицию K̆ = Kl1SK l2S...SKlk , где Kl1 , Kl2 , ..., Klk ⊂∆, а l1 , l2 , ..., lk ∈ M . Уравнение, описывающее технологическое развитие участников коалиции Kl ⊂ K̆, принимает следующий вид:X [j,i]1/2bj [xj (s)xi (s)]1/2 +ẋi (s) = αi [ui (s)xi (s)] +(2.2.1)j∈Kl1+X[j,i]Xbj [xj (s)xi (s)]1/2 + ... +j∈Kl2[j,i]bj [xj (s)xi (s)]1/2 +j∈Kl , j6=i+... +X[j,i]bj [xj (s)xi (s)]1/2 − δxi (s),j∈Klkxi (t0 ) = x0i , i ∈ Kl .P[j,i][j,i]bj [xj (s)xi (s)]1/2 , j∈Kl bj [xj (s)xi (s)]1/2 иPгде суммы j∈Kl12P[j,i]1/2представляют собой суммарные эффект передачи техj∈Kl bj [xj (s)xi (s)]kнологии фирме i от соответствующей коалиции.
Таким образом, синергетический эффект технологического развития игрока i получается как за счет участников той коалиции, которой он изначально принадлежал, так и за счет участников остальных коалиций, входящих в коалицию K̆. Объединив суммы, можноупростить выражение (2.2.1), записав его в следующем виде:X [j,i]ẋi (s) = αi [ui (s)xi (s)]1/2 +bj [xj (s)xi (s)]1/2 − δxi (s)(2.2.2)j∈Ǩ, j6=ixi (t0 ) = x0i ,i ∈ K̆ ⊆ N̆Выигрыш коалиции K̆, как и раньше, рассчитывается как сумма выигрышей ее участников, т.е. коалиций Kl1 , Kl2 , ..., Klk :HK̆x0K̆ , T− t0 , uK̆ =kXHKlξx0Kl , Tξ− t0 , uKlξ =ξ=1=kXTXZξ=1hi (s, xi (s), ui (s)) exp [−r(s − t0 )] ds +i∈Klξ t0+Xi∈Klξexp [−r(T − t0 )] qi [xi (T )]102 (2.2.3)47Коалицию, образованную всеми участниками игры Γ∆ (x0N , T − t0 ), т.е.
K̆ =N̆ , будем называть максимальной коалицией или технологическим альянсом коалиций.Для нахождения коалиционного решения в игре Γ∆ (x0N , T − t0 ) требуетсянайти характеристическую функцию V (t0 )∆ (K, xK (t), T − t), t ∈ [t0 , T ] и определить процедуру распределения совместной выигрыша.2.3Построение характеристической функции в игре технологического альянсаПри построении характеристической функции важно помнить, что участниками игры являются не отдельные фирмы, а коалиции, поэтому требуется рассматривать не все подмножества множества N , а только подмножества Kl ⊂ ∆и их объединения.Характеристическую функцию будем строить в 3 этапа: Вначале построимравновесие по Нэшу в игре Γ∆ (x0N , T − t0 ); затем построим характеристическуюфункцию для максимальной коалиции (технологического альянса) N̆ , затемпостроим характеристическую функцию для произвольного объединения коалиций K̆ ⊂ N̆ .
Предполагается, что характеристическая функция непрерывнодифференцируема по t и xi , i ∈ K.Нахождение равновесия по Нэшу в игре коалиций Γ∆ (x0 , T −t0 ) было описано в разделе 1.2. В данном случае оно находится аналогичным образом. Коалиции могут взаимодействовать друг с другом только через объединение, котороеведет лишь к изменению динамики игры. Необъединенные коалиции никак невзаимодействуют и не влияют на развитие друг друга. Поэтому в данном случаеравновесие по Нэшу, как и в предыдущей модели вырождается в максимизациюкоалиционного выигрыша каждым игроком коалицией.Выигрыш коалиции Kl ⊂ ∆ вычисляется по формуле (1.2.4). Равновесные48стратегии фирм-участников вычисляются по формуле (1.2.7), а технологическое развитие задается системой дифференциальных уравнений (1.2.8).2.3.1Вычисление значения характеристической функции для максимальной коалиции (технологического альянса коалиций)Для нахождения характеристической функции для технологического альянсакоалиций требуется решить следующую задачу максимизации:V∆(t0 )N̆ , xN (t), T − t = max (HN (xN (t), T − t, uN (t))) =uN(2.3.1)!= maxuN= max uNXHKl (xKl (t), T − t, uKl (t))=Kl ⊂∆TX Z XKl ⊂∆ thi (s, xi (s), ui (s)) exp [−r(s − t0 )] ds+i∈Kl!+X Xexp [−r(T − t0 )] qi [xi (T )]102 ,Kl ⊂∆ i∈Klгде hi (s, xi (s), ui (s)) = Pi [xi (s)]1/2 − ci ui (s) , а уравнение, описывающее технологическое развитие, выглядит следующим образом:1/2ẋi (s) = αi [ui (s)xi (s)]+X[j,i]bj[xj (s)xi (s)]1/2 − δxi (s),(2.3.2)j∈N,j6=ixi (t0 ) = x0i ,i∈NПравые части уравнения (2.3.2) обозначим через fi∆ [xN (s), ui (s)](t0 )∆Теорема 2.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
