Диссертация (1149783), страница 10
Текст из файла (страница 10)
вкаждый момент времени t ∈ [t0 , T ] и в состоянии x∗Kl (t) для фирмы i ∈ Kl сучетом (2.5.5) должно выполняться следующее равенство:(t0 )Kl(t, x∗N (t)) = W (t0 ){i} (t, x∗i (t)) +X1 (t0 )∗+νKl (t, xN (t)) −W (t0 ){j} t, x∗j (t) klξi(2.7.2)j∈Kl(t)KlБудем полагать, что функция ξit, x∗Kl (t) дифференцируема по t. Что-бы данный принцип оптимальности поддерживался на всем протяжении игры,noTKlKlопределим процедуру распределения дележа как функцию B (t) = Bi (t),t=t0такую что для любого момента t ∈ [t0 , T ]:Z T(t0 )Klξi(t, x∗N (t)) =BiKl (s) exp [−r(s − t0 )] ds +(2.7.3)t+ exp [−r(T − t0 )] qi (x∗i (T ))1/2Чтобы найти формулу для компоненты BiKl (s), необходимо взять полную(t)Kпроизводную по t от ξi l t, x∗Kl (t) .
Поскольку доля фирмы определяется из(t )выигрыша коалиции, который равен компоненте вектора Шепли νK0l (s, x∗N (s)),то необходимо брать частные производные по состояниям участников всех коалиций Kξ ⊂ ∆. Действуя аналогично случаю вектора Шепли, получаем фор-66мулу BiKl (s):nh(s){i}= − Wt(s, x∗i (s)) +hiX1(s)(s){j}+ νKl (s, x∗N (s)) −Wts, x∗j (s) +tklj∈Kl ∗∗NN∗+Wx(s){i}(s,x(s))fx(s),u(s)+iiNii1 X h (s) i∗+νKl(s, x∗N (s)) fjN x∗N (s), uN(s)−jxjklj∈NX N ∗ (s){j}∗N∗−Wxjs, xj (s) fj xN (s), uj (s) BiKl (s)(2.7.4)j∈KlТребуется показать динамическую устойчивость данного распределениядележа. Для этого требуется показать, что в каждый момент происходит только перераспределение совместного выигрыша между всеми фирмами {i} ∈ N ,т.е значение совместного выигрыша остается неизменным.Теорема 2.7.1. Коалиционное решение, построенное через процедуры распределения выигрыша BKl (s), Kl ⊂ ∆ и BiKl (s), i ∈ Kl , значения которых определяются формулами (2.4.9) и (2.7.4), будет динамически устойчивым.Доказательство.
Для доказательства теоремы достаточно показать равенство:X XX XKlBi (s) =hi (s, xi (s), ui (s)) =(2.7.5)Kl ⊂∆ i∈KlKl ⊂∆ i∈KlX Xh∗1/2Pi xi (s)i− ci ui (s) ,Kl ⊂∆ i∈Klгде компоненты BiKl (s) вычисляются по формуле (2.7.4).Уже было установлено, что в каждый момент времени происходит перераспределение выигрыша между коалициями-участниками игры Γ∆ x0N , T − t0 .Соответственно, равенство (2.7.5), по аналогии с (2.6.6), можно переписать ввиде:X XKl ⊂∆ i∈KlBiKl (s) =XKl ⊂∆BKl (s)67PДостаточно показать, чтоi∈KlBiKl (s) = BKl (s) для любой коалиции-участникаKl ⊂ ∆. Суммируя компоненты BiKl (s), получаем:XBiKl (s)=−h(s)νKli∈Kl+Xh(s)νKlixii∈Nit(s, x∗N (s)) +!∗(s, x∗N (s)) fiN x∗N (s), uN,i (s)(s)где правая часть представляет собой полную производную νKl (s, x∗N (s)) по t собратным знаком, которая по определению равна BKl (s).
Таким образом, данный вариант распределения выигрыша сохраняет динамическую устойчивость.Теорема доказана.2.8Пропорциональное решение в игре ΓKl (x0Kl , T − t0)Рассмотрим теперь еще один способ распределения выигрыша внутри коалиnoKlKl00ции, взяв в качестве дележа ξt0 , xN = ξi t0 , xNраспределение,i∈Klпропорциональное некооперативным выигрышам.В начальный момент времени t0 доля кооперативного выигрыша фирмыi ∈ Kl будет равна:(t0 )Klt0 , x0N = V (t0 )Kl i, x0i , T − t0 +V (t0 )Kl i, x0i , T − t0(t0 )Kl0VK,x,T−t+Pl0 −Kl(t0 )Kl j, x0 , T − tV0jj∈KlX−V (t0 )Kl j, x0j , T − t0 ξi(2.8.1)j∈KlЕсли раскрыть скобки, то выражение (2.8.1) можно переписать в следующем виде:(t0 )Klξit0 , x0N =!V (t0 )Kl i, x0i , T − t0 ∗P(t0 )Kl j, x0 , T − tV0jj∈Kl(t0 )Kl∗VKl , x0Kl , T − t0(2.8.2)68Таким образом, доли фирм-участников соотносятся как выигрыши, полученные при индивидуальной игре.Отметим, что данное распределение возможно только в том случае, еслисумма некооперативных выигрышей фирм {i} ∈ Kl не равна нулю:P(t0 )Kl0Vj,x,T−t0 6= 0.
Будем считать, что в случае если сумма некоjj∈Klоперативных выигрышей фирм из Kl равна нулю, то выигрыш коалиции Klпросто распределяется поровну между входящими в нее фирмами.(t)KБудем полагать, что функция ξi l t, x∗Kl (t) дифференцируема по t. Чтобы данный дележ поддерживался на всем протяжении игры, необходимо чтобыв каждый момент времени t ∈ [t0 , T ] и в состоянии x∗Kl (t) для фирмы i ∈ Kl сучетом (2.5.5) должно выполняться следующее равенство:!(t0 ){i}∗W(t, xi (t))(t )K(t0 )∗ νKξi 0 l (t, x∗N (t)) = P(t,xN (t))l∗(t0 ){j} t, x (t)Wjj∈Kl(2.8.3)Определяем процедуру распределения дележа, как функциюnoTKlKlB (t) = Bi (t), такую что в каждый момент t ∈ [t0 , T ]:t=t0(t )Kξi 0 l(t, x∗N (t))TZBiKl (s) exp [−r(s − t0 )] ds +=(2.8.4)t+ exp [−r(T − t0 )] qi (x∗i (T ))1/2(s)KlБеря производную по t от величины ξis, x∗Kl (s) с обратным знаком,получаем следующую формулу BiKl (s):"(s){i}Wt(s, x∗i (s))Kl+Bi (s) = − P(s){j} s, x∗ (s)Wjj∈Kl(s){i}∗Wxi(s, x∗i (s)) fiN x∗N (s), uNi (s)P+−(s){j} s, x∗ (s)Wjj∈Kl(2.8.5)69W (s){i} (s, x∗i (s))X(s){j}∗Ws,x(s)+tj 2∗(s){j}j∈Kls, xj (s)j∈Kl W N ∗i (s)(s){j}∗N∗+Wxjs, xj (s) fj xN (s), uj (s)νKl (s, x∗N (s)) −h iW (s){i} (s, x∗i (s))(s)νKl (s, x∗N (s)) +−P∗(s){j}ts, xj (s)j∈Kl WhiX (s)∗νKl(s, x∗N (s)) fjN x∗N (s), uN(s)+j− Pj∈NxjНеобходимо также показать динамическую устойчивость данного решения.Теорема 2.8.1.
Коалиционное решение, построенное через процедуры распределения выигрыша BKl (s), Kl ⊂ ∆ и BiKl (s), i ∈ Kl , значения которых определяются формулами (2.4.9) и (2.8.5), будет динамически устойчивым.Доказательство. Требуется показать, что в каждый момент происходит только перераспределение совместного выигрыша между всеми фирмами {i} ∈ N ,а его значение остается неизменным. В данном случае необходимо доказать раPвенство i∈Kl BiKl (s) = BKl (s) для любой коалиции-участника Kl ⊂ ∆, гдекомпоненты BiKl (s) вычисляются по формуле (2.8.5). Просуммируем компоненты по частям. Вначале сложим выражения, стоящие в первой большой скобке.(s)Легко видеть, что νKl (s, x∗N (s)) будет общим множителем, поэтому его можновынести. Также за скобку можно вынести знаменатель.
Для простоты обозначений сгруппируем производные:hWi0(s, x∗i (s))(s){i}(s, x∗i (s)) + ∗∗NN∗+Wx(s){i}(s,x(s))fx(s),u(s)iiNii(s){i}= Wt70В итоге сумма выражений, стоящих в первой большой скобке будет равна:(s)νKl (s, x∗N (s))Pj∈KlW (s){j} 2 ∗s, x∗j (s)Xh∗ W (s){j}0iXs, x∗j (s) W (s){j} s, x∗j (s) −j∈Klj∈KlXW (s){j} s, x∗j (s) j∈KlXhW (s){j}0is, x∗j (s) = 0,j∈Klт.е. выражения взаимно сокращаются. Легко видеть, что сумма оставшихся частей в сумме дают производную компонента вектора Шепли по t с обратнымзнаком. В итоге получили равенство:XBiKl (s)=−i∈Klh(s)νKlit(s, x∗N (s)) +X h (s) i∗,+νKl (s, x∗N (s)) fjN x∗N (s), uNj (s)j∈Nxiкоторое по определению равно BKl (s). Таким образом, динамическая устойчивость данного кооперативного решения доказана.2.9Численные примерыПриведем численные результаты на примере четырех фирм. На множествефирм N = {1, 2, 3, 4} задано разбиение ∆ = {{1, 2} , {3, 4}}, состоящее из двухкоалиций.Заданы начальные параметры:t0 = 0 – начальный момент игры;T = 20 – конечный момент игры;r = 0.1 – размер дисконта;δ = 0.2 – уровень устаревания технологий;712.9.1Пример 1.
Распределение выигрыша по вектору Шепли.Технологическое развитие каждой коалиции Kl ⊂ ∆ задается дифференциальным уравнением (1.1.5), гдеx01 = 0.5, x02 = 0.5, x03 = 0.5, x04 = 0.5 – начальные состояния фирмα1 = 0.6, α2 = 0.6, α3 = 0.6, α4 = 0.6 – константы, определяющие прибавку в технологии фирм;[2,1]= b1[1,2]= b2[1,3]= b3[1,4]= b4b1b2b3b4[3,1]= b1[3,2]= b2[2,3]= b3[2,4][4,1]= 0.05[4,2]= 0.05[4,3]= 0.05[3,4]= b4= 0.05 – константы, представляющие собой эффектыпередачи технологий между фирмами.Выигрыш каждой коалиции определяется формулой (1.1.6), гдеP1 = 1.2, P2 = 0.3, P3 = 0.6, P4 = 0.15 – константы, определяющиечистую операционную прибыль фирм;c1 = 0.5, c2 = 0.5, c3 = 0.5, c4 = 0.5 – константы, определяющие инвестиционный вклад фирм в технологическое развитие;q1 = 0.1, q2 = 0.1, q3 = 0.1, q4 = 0.1 – константы, определяющие ликвидную стоимость технологий фирм на момент конца игры T .На рисунке 2.1 представлены графики состояний коалиций при индивидуальном развитии и при совместном развитии в технологическом альянсе:72На рисунке 2.2 представлены графики выигрышей коалиций в технологическом альянсе до перераспределения и после негоВыигрыши коалиций распределяются между фирмами-участниками.
Нарисунке 2.3 изображены графики выигрышей фирм внутри коалиции {1, 2} дои после перераспределения. На рисунке 2.4 изображены графики выигрышейфирм внутри коалиции {3, 4}.73В таблице 2.1 представлены результаты вычислений выигрышей коалиций.Здесь t – момент времени из промежутка t ∈ [t0 , T ]; hKl – выигрыш, получаемыйкоалицией Kl в момент t до перераспределения; BKl – выигрыш, получаемыйкоалицией Kl в момент t после перераспределения. В данном случае имеет место перераспределение совместного выигрыша, но сумма выигрышей коалицийостается неизменной.74Таблица 2.1: Выигрыши коалиций до и после перераспределения и их суммыth{1,2} (t)h{3,4} (t)h{1,2} (t) +B{1,2} (t)B{3,4} (t)h{3} (t)B{1,2} (t) +B{3} (t)0-1.50812-0.54656-2.05468-1.62101-0.43367-2.0546852.204170.773172.977342.0272740.9500662.9773473.4443611.2620184.706383.2450111.4613694.70638105.0892011.9428127.0320144.8695842.1624297.032014126.0438772.3507028.3945785.8248512.5697278.394578157.213562.85735610.070927.0271863.04373110.07092177.72663.08660910.813217.5911393.22206910.81321207.6730573.14929410.822357.6764233.14592710.82235Выигрыш коалиции перераспределяется внутри между фирмами-участниками.Вследствие перераспределения на верхнем уровне сумма выигрышей фирмучастников до перераспределения не совпадает с суммой выигрышей после.
Носумма выигрышей в каждый момент равна доле выигрыша коалиции, т.е выполняется равенство (2.6.6). В таблице 2.2 представлены результаты вычисленийвыигрышей фирм 1 и 2 в коалиции {1, 2} после перераспределения выигрышакоалиции. При этом t – момент времени из промежутка t ∈ [t0 , T ]; BKl – выигрыш, получаемый коалицией Kl в момент t после перераспределения; BiKl –выигрыш, получаемый фирмой i ∈ Kl в момент t после перераспределения.В таблице 2.3 представлены аналогичные результаты вычислений для выигрышей фирм 3 и 4 после перераспределения выигрыша коалиции {3, 4}.Необходимо показать динамическую устойчивость решения.
В таблицах2.4 и 2.5 приведены значения компонент вектора Шепли на верхнем и нижнем75Таблица 2.2: Выигрыши фирм 1 и 2 после перераспределения и их суммыt{1,2}B1(t){1,2}B2(t){1,2}(t) + B{1,2} (t){1,2}(t)B1B20-1.51945-0.10156-1.62101-1.6210151.5460080.4812662.0272742.02727472.5443610.700653.2450113.245011102.5443610.700653.2450113.245011124.6696951.1551575.8248515.824851155.7208621.3063237.0271867.027186176.2715621.3195787.5911397.591139206.530251.1461747.6764237.676423t{3,4}B3 (t)Таблица 2.3: Выигрыши фирм 3 и 4 после перераспределения и их суммы{3,4}B4(t){3,4}B3(t) + B{3,4} (t){3,4}B4 (t)0-0,42662-0,00705-0,43367-0,4336750,6048640,3452020,9500660,95006670,9838060,4775621,4613691,461369100,9838060,4775621,4613691,461369121,8405810,7291462,5697272,569727152,2676130,7761183,0437313,043731172,4862650,7358043,2220693,222069202,615990,5299383,1459273,14592776Таблица 2.4: Значения компонент вектора Шепли для фирм 1 и 2 и для коалиции {1, 2}t{1,2}Ob1(t){1,2}Ob2(t){1,2}ν1(t){1,2}ν2(t){1,2}(t) +{1,2}(t)ν1ν2ν{1,2} (t)018.6735.25918.6735.25923.93223.932518.8074.60018.8074.60023.40723.407716.5673.95316.5673.95320.52020.5201012.4602.86512.4602.86515.32615.326129.6162.1489.6162.14811.76511.765155.5691.1825.5691.1826.7506.750173.1410.6483.1410.6483.7893.789200.0740.0520.0740.0520.1250.125Таблица 2.5: Значения компонент вектора Шепли для фирм 3 и 4 и для коалиции {3, 4}t{3,4}Ob3(t){3,4}Ob4(t){3,4}ν3(t){3,4}ν4(t){3,4}(t) +{3,4}(t)ν3ν4ν{3,4} (t)07.6443.5037.6443.50311.14711.14757.4222.8947.4222.89410.31610.31676.5542.4436.5542.4438.9978.997104.9581.7204.9581.7206.6786.678123.8411.2603.8411.2605.1015.101152.2400.6662.2400.6662.9062.906171.2780.3581.2780.3581.6361.636200.0590.0480.0590.0480.1070.107уровне для коалиций {1, 2} и {3, 4} соответственно.
В каждый момент временисумма компонент вектора Шепли для фирм-участников νiKl (t) равна компоненте вектора Шепли для их коалиции νKl (t). Кроме того показано, что компонентаlвектора Шепли для фирмы νiKl (t) равна функции ObKi (t), которая вычисляетсяпо формуле (2.6.3).77Таким образом, построено коалиционное решение с двойной кооперациейи двойным распределением совместного выигрыша в соответствии с векторомШепли.2.9.2Пример 2. Распределение выигрыша по вектору Шепли и ESвекторуРассмотрим теперь случай, когда выигрыш между коалициями распределяетсяв соответствии с вектором Шепли, а внутри коалиции по ES-вектору.Параметры игры и участников возьмем из предыдущего примера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
