Диссертация (1149783), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Характеристическая функция VN̆ , xN (t), T − t игрыΓ∆ (x0 , T − t0 ) для максимальной коалиции N̆ имеет вид:(t0 )∆=V" nXi=1N̆ , xN (t), T − t = W (t0 )N (t, xN (t)) =#1/2A∆+ C ∆ (t) exp [−r(t − t0 )] ,i (t) [xi (t)](2.3.3)49∆∆где функции A∆1 (t), ..., An (t) и C (t) являются решением дифференциальныхуравнений:Ȧ∆i (t) =n[i,j]Xδbi∆r+Ai (t) −A∆(t) − Pi ,22 j(2.3.4)i=1,i6=jnXαi2 ∆ 2Ċ (t) = rC (t) −Ai (t) ,16cii=1∆∆∆A∆i (T ) = qi , C (T ) = 0, i ∈ NДоказательство. Отметим, что, согласно построению, динамика технологического альянса коалиций совпадает с динамикой технологического альянса игроковфирм.

Так же совпадают и формулы для их выигрышей. Следовательно, характеристическая функция для технологического альянса коалиций должна совпадать с максимальным выигрышем технологического альянса фирм-игроков,нахождение которого описано в разделе 1.2.2. Учитывая принцип оптималь(t0 )∆ности Беллмана, характеристическая функция VN̆ , xN (t), T − t должнаудовлетворять следующему уравнению:∆(t )−Vt 0= max(XuN+X∆(t0 )VK lN̆ , xN (t), T − t =hi (t, xi (t), ui (t)) exp [−r(t − t0 )] +i∈N)N̆ , xN (t), T − t fK∆l [xN (t), uN (t)] ,Kl ⊂∆V∆(t0 )N̆ , xN (T ), T=Xexp [−r(T − t0 )] qi [xi (T )]1/2i∈Nгде∆(t )VKl 0N̆ , xN (t), T − t =no∆(t0 )= grad VN̆ , xN (t), T − t=i∈Klno∆(t0 )= VxiN̆ , xN (t), T − t,i∈KlfK∆l [xN (t), uKl (t)] = fi∆ [xN (t), ui (t)] i∈Kl = {ẋi (t)}i∈Kl(2.3.5)50Учитывая приведенные выше выражения, произведение(t0 )∆VK lN̆ , xN (t), T − t fK∆l [xN (t), uKl (t)] можно переписать в виде суммы:N̆ , xN (t), T − t fK∆l [xN (t), uKl (t)] =X(t0 )∆=Vx iN̆ , xN (t), T − t fi∆ [xN (t), ui (t)](t )∆VKl0(2.3.6)i∈KlПодставляя (2.3.6) в уравнение (2.3.5), и учитывая, чтоSK l = ∆ и K l1TKl2 =l∅, ∀l1 , l2 ∈ M , получаем:∆(t )−Vt 0= max(XuN+XN̆ , xN (t), T − t =(2.3.7)hi (t, xi (t), ui (t)) exp [−r(t − t0 )] +i∈N)0)Vx∆(tN̆ , xN (t), T − t fi∆ [xN (t), ui (t)] ,ii∈NV∆(t0 )N̆ , xN (T ), T=Xexp [−r(T − t0 )] qi [xi (T )]1/2 .i∈NОбозначим выражение, стоящее под знаком максимума за S ∆ (uN ).∆S (uN ) =nXhi (t, xi (t), ui (t)) exp [−r(t − t0 )] +i=1+nXVx(ti 0 )∆N̆ , xN (t), T − t fi∆ [xN (t), ui (t)]i=1Возьмем частную производную S ∆ (uN ) по ui , i ∈ N .∂S ∆ (uN )= −ci exp [−r(t − t0 )] +∂ui α [x (t)]1/2i i(t0 )∆+VxiN̆ , xN (t), T − t2 [ui (t)]1/2Получаем систему уравнений первого порядка:∂S ∆ (uN )∂ui= 0, i ∈ NРешая данную систему, получаем:i2αi2 h (t0 )∆ ui (t) =VN̆ , xN (t), T − t exp [r(t − t0 )] xi (t),4(ci )2 xii∈N(2.3.8)51Неотрицательность управления ui (t) очевидна.

Подставляя формулу (2.3.8)в уравнение (2.3.7) и решая полученное уравнение, получаем:(t0 )∆=V" nXN̆ , xN (t), T − t = W (t0 )N (t, xN (t)) =#1/2A∆+ C ∆ (t) exp [−r(t − t0 )] ,i (t) [xi (t)]i=1∆∆где функции A∆1 (t), ..., An (t) и C (t) являются решением дифференциальныхуравнений (2.3.4), что и требовалось доказать.Из формул (2.3.3) и (2.3.4) находим выражения для частных производныхи получаем формулы для оптимальных управлений:u∗i (t)αi2 ∆ 2A (t) ,=16(ci )2 ii∈N(2.3.9)Кооперативная траектория коалиций, после подстановки в нее (2.3.9) принимает вид:nXαi2 ∆[j,i]1/2Ai (s) (xi (s)) +bj [xj (s)xi (s)]1/2 − δxi (s),ẋi (s) =4ci(2.3.10)j=1,i6=jxi (t0 ) = x0i ,2.3.2i ∈ N,s ∈ [t0 , T ]Вычисление значений характеристической функции для произвольной коалиции K̆ ⊆ N̆Пусть K̆ = Kl1SK l2S...SKlk – объединение некоторого подмножества ко-алиций из разбиения ∆, Klξ ⊂ ∆, ξ = 1, ..., k.

Характеристическая функция(t0 )∆VK̆, xK̆ (t), T − t для коалиции K̆ ищется так же, как и для максимальной коалиции N̆ . Требуется решить следующую задачу максимизации:V∆(t0 )K̆, xK̆ (t), T − t = max HK̆ xK̆ (t), T − t, uK̆ (t) =uK̆= max uK̆XKl ⊂K̆HKl (xKl (t), T − t, uKl (t)) =(2.3.11)52= max uK̆TX Z XKl ⊂K̆ thi (s, xi (s), ui (s)) exp [−r(s − t0 )] ds+i∈Kl+X Xexp [−r(T − t0 )] qi [xi (T )]1/2 Kl ⊂K̆ i∈Klгде hi (s, xi (s), ui (s)) = Pi [xi (s)]1/2 − ci ui (s), а технологическое развитие протекает согласно системе:ẋi (s) = fiK̆ xK̆ (t), ui (t) = αi [ui (s)xi (s)]1/2 +X [j,i]bj [xj (s)xi (s)]1/2 − δxi (s),+(2.3.12)j∈K̆,j6=ixi (t0 ) = x0i ,s ∈ [t0 , T ]K̆,Динамика коалиции K̆ совпадает с динамикой той же коалиции для случая,когда она образована не коалициями из разбиения ∆, а отдельными фирмами.Формулы для определения их выигрышей, учитывая дизъюнктность множествKl ⊂ K̆, также совпадают.

Поэтому, характеристическую функцию(t0 )∆K̆, xK̆ (t), T − t искать будем по той же методике, что и для максимальV(t0 )∆K̆, xK̆ (t), T − tной коалиции N̆ . Уравнение Беллмана для функции Vпринимает следующий вид:∆(t )−Vt 0= maxuK̆XK̆, xK̆ (t), T − t =(2.3.13)hi (t, xi (t), ui (t)) exp [−r(t − t0 )] +i∈K̆X ∆(t ) 0K̆+VKlK̆, xK̆ (t), T − t fKl xK̆ (t), uK̆ (t) ,Kl ⊂K̆V∆(t0 )K̆, xK̆ (T ), T=Xexp [−r(T − t0 )] qi [xi (T )]1/2i∈K̆Действуя аналогично случаю максимальной коалиции N̆ , получаем следу-53ющее выражение для характеристической функции:(t0 )∆VK̆, xK̆ (t), T − t = W (t0 )K̆ t, xK̆ (t) =X1/2AK̆+ C K̆ (t) exp [−r(t − t0 )] ,=i (t) [xi (t)](2.3.14)i∈K̆noK̆где функции Ai (t)и C K̆ (t) являются решением дифференциальных уравi∈K̆нений:ȦK̆i (t)=X b[i,j]δjK̆r+Ai (t) −AK̆(t) − Pi ,22 j(2.3.15)j∈K̆,j6=iX α2iĊ (t) = rC (t) −AK̆(t),16ci iK̆K̆i∈K̆AK̆i (T ) = qi ,C K̆ (T ) = 0,i ∈ K̆,Формулы для оптимальных управлений принимают вид:αi2 h K̆ i2∗ui (t) =A (t) , i ∈ K̆16(ci )2 i(2.3.16)Динамика развития коалиции K̆ принимает вид:ẋ∗i (s) =X [j,i] 1/2αi2 K̆Ai (s) (x∗i (s))1/2 +bj x∗j (s)x∗i (s)− δx∗i (s),4ci(2.3.17)j∈K̆,j6=ix∗i (t0 ) = x0i ,2.3.3i ∈ K̆,s ∈ [t0 , T ]Супераддитивность полученной характеристической функцииОбщая формула для характеристической функции V (t0 )∆ (K, xK (t), T − t) имеетвид:0 W (t0 )Kl (t, xK (t)) ,l(t0 )∆V(K, xK (t), T − t) =(t0 )K̆Wt,x(t),K̆ W (t0 )N (t, x (t)) ,NK=∅K = Kl ⊂ ∆(2.3.18)K = K̆ ⊂ N̆K = N̆Следует установить супераддитивность функции V ∆ K, x0K , T − t .54Теорема 2.3.2.

Характеристическая функция V (t0 )∆ (K, xK (t), T − t) игрыΓ∆ (x0 , T − t0 ), определяемая по формуле (2.3.18), супераддитивна.Доказательство. Супераддитивность функции V (t0 )∆ (K, xK (t), T − t) очевидным образом следует из супераддитивности функции W (t0 )K (t, xK (t)) РассмотTрим коалиции K̆ и L̆, причем K̆ ⊂ ∆, L̆ ⊂ ∆ и K̆ L̆ = ∅. Значения характеристических функций для данных коалиций принимают следующий вид:VV (t0 )∆(t0 )∆V(t0 )∆K̆, xK̆ (t), T − t = W (t0 )K̆ t, xK̆ (t)L̆, xL̆ (t), T − t = W (t0 )L̆ t, xL̆ (t)K̆ ∪ L̆, xK̆∪L̆ (t), T − t = W (t0 )K̆∪L̆ t, xK̆∪L̆ (t)Учитывая супераддитивность функции W (t0 )K̆∪L̆ t, xK̆∪L̆ (t) ≥W (t0 )K̆ t, xK̆ (t) + W (t0 )L̆ t, xL̆ (t) , получаем:VK̆ ∪ L̆, xK̆∪L̆ (t), T − t ≥(t0 )∆(t0 )∆≥VK̆, xK̆ (t), T − t + VL̆, xL̆ (t), T − t(t0 )∆Таким образом, доказана супераддитивность функции V ∆ K, x0K , T − t2.4Процедура распределения выигрыша в технологическом альянсе коалицийБудем, считать, что участники технологического альянса коалиций делят полученный выигрыш в соответствии с динамическим вектором Шепли.

Однако вданном случае формула компонент вектора Шепли будет несколько отличатьсяот ранее приведенной, поскольку участниками игры являются не отдельные игроки, а коалиции. Во-первых, должна быть рассчитана не доля каждой отдельной фирмы, а доля только тех коалиций Kl , которые принадлежат разбиению55∆. Во-вторых, расчет вкладов идет не по всем подмножествам множества N ,а только по тем K̆, которые образованы участниками игры {Kl }, принадлежащими разбиению ∆.

В-третьих, для коалиции K̆ важно не общее количествовходящих в нее фирм, а количество входящих в нее участников. Формула компоненты вектора Шепли принимает следующий вид:iX (k − 1)!(m − k)! hνKl (V ) =V (K̆) − V (K̆ \ Kl ) ,m!(2.4.1)K̆⊆N̆где K̆ = Kl1 ∪ Kl2 ∪ ... ∪ Klk – объединение некоторого подмножества коалицийиз разбиения ∆, Klξ ⊂ ∆, ξ = 1, ..., k, k – число коалиций-участников игры,входящих в коалицию K̆.Чтобы максимизировать выигрыш технологического альянса, игроки напромежутке [t0 , T ] будут использовать набор кооперативных управлений{u∗N (t)}Tt=t0 в соответствии с формулой (2.3.9) и реализовывать соответствующие оптимальные траектории {x∗N (t)}Tt=t0 в силу системы (2.3.10).

Для дележасовместного дохода игроки будут использовать вектор Шепли, компоненты которого вычисляются по формуле (2.4.1)В начальный момент времени t0 доля кооперативного выигрыша коалицииKl будет равна:(t )νK0lt0 , x0NX (k − 1)!(m − k)! h∆(t0 )0VK̆, xK̆ , T − t0 −=m!K̆⊆N̆i∆(t0 )0−VK̆ \ Kl , xK̆\K , T − t0(2.4.2)lУчитывая, что V(t0 )∆K̆, x0K̆ , T− t = W (t0 )K̆ t, xK̆ (t) , можно переписать(2.4.2) в следующем виде:(t )νK0lt0 , x0NX (k − 1)!(m − k)! h=W (t0 )K̆ t0 , x0K̆ −m!K̆⊆N̆i(t0 )K̆\Kl0−Wt0 , xK̆\Kl(2.4.3)56Вектор Шепли должен поддерживаться в течение всего времени игры. Этоозначает, что в каждый момент времени τ ∈ [t0 , T ] должно выполняться равенство:(t )νK0l (τ, x∗N (τ ))X (k − 1)!(m − k)! h=W (t0 )K̆ τ, x∗K̆ (τ ) −m!K̆⊆N̆i(t0 )K̆\Kl∗−Wτ, xK̆\K (τ )(2.4.4)lОтметим, что вектор Шепли, определенный в (2.4.4), удовлетворяет всемсвойствам дележа, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации