Диссертация (1149783), страница 14
Текст из файла (страница 14)
удовлетворяет условию (3.3.27). Ранее в работах Н.В. Козловской [6], [7] была доказана субаддитивность характеристической функции для некооперативной игры коалиций. Субаддитивность функцииV (t0 )Kl (K, s(t), t) доказывается аналогично, но с учетом остальных коалиций изразбиения ∆.Теорема 3.6.3. Характеристическая функция (3.6.11) является субаддитивной.Доказательство. Для доказательства субаддитивности достаточно показатьследующее:W (t)K∪L (t, s(t)) ≤ W (t)K (t, s(t)) + W (t)L (t, s(t)) ,(3.6.12)111где K, L ⊂ Kl , и K ∩ L = ∅.Из формулы (3.6.9), получаем формулы для каждой из функций:Kll KW (t)K t, sK (t) = AKK s (t) + BK ,Kll LW (t)L t, sL (t) = AKL s (t) + BL ,KlK∪Ll,(t) + BK∪LW (t)K∪L t, sK∪L (t) = AKK∪L sгде sK (t), sL (t) и sK∪L (t) − траектории соответствующих коалиций.
Очевидно,чтоKlKllAKK∪L = AK + AL(3.6.13)Рассмотрим разность:W (t)K∪L t, sK∪L (t) − W (t)K t, sK (t) − W (t)L t, sL (t)Раскрывая выражения для каждой из функций, и учитывая (3.6.13), получаем:W (t)K∪L t, sK∪L (t) − W (t)K t, sK (t) − W (t)L t, sL (t) =lAKK∪L=rrsK∪L (t) +Xi∈Nk + l Kl1AK∪L −2γγ−n − klAN −γXlAK−jēi −j∈Kl \{K∪L}Xn − klk1llrsK (t) +−ēi −AN − AK−AK−jKrγ2γγi∈Nj∈Kl \KKlXAn − kll1 X Kl lAN − AK−− L rsL (t) +ēi −Aj=rγ2γ LγlAKKXi∈Nj∈Kl \LKl LK∪Lll K= AK(t) − AKK∪L sK s (t) − AL s (t)++lAKK∪LrXi∈Nēi −n − klk + l Kl1AN −AK∪L −γ2γγXj∈Kl \{K∪L}lAK−j112lXAKn − klk Kl 1 X Kl K −ēi −Aj−AN − AK −rγ2γγi∈Nj∈Kl \KKlXAn − kll1 X Kl l− L ēi −Aj=AN − AK−rγ2γ Lγi∈Nj∈Kl \LKl LK∪Lll K= AK(t) − AKK∪L sK s (t) − AL s (t)+l Kl 21 k Kl 2KlKl Kll+ AKAK + AK AKl \K +AL+L AKl \L −rγ 22k + l Kl 2Kll−AK∪L − AKK∪L AKl \K∪L2Остается доказать, что полученное выражение ≤ 0.
Доказательство приведено в работах Козловской Н.В. [6], [7].Таким образом, характеристическая функция V Kl (t0 ) (K, s(t), t), вычисляемая по формуле (3.6.11), является субаддитивной.3.7Процедура распределения выигрыша внутри коалиции KlСчитаем, что участники коалиции Kl делят полученный выигрыш пропорционально вектору Шепли.Коалиция Kl участвует в игре коалиций Γ∆ (s0 , t0 ), поэтому ее участни(∆)Nки будут использовать набор оптимальных управлений ei(s(t)), получен-ных по формуле (3.3.17) на промежутке [t0 , ∞) и реализовывать коперативнуютраекторию s(∆)N (t), полученную по формуле (3.3.18). Чтобы найти выигрышпредприятия i ∈ Kl , необходимо вычислить долю этого предприятия в игреΓKl (s0 , t0 ), равную компоненте вектора Шепли в этой игре.
Эту долю обозна(t )Kчим через ν̄i 0 l t, s(∆)N (t) .113В начальный момент времени t0 доля от общего выигрыша предприятияi ∈ Kl в игре ΓKl (s0 , t0 ) будет равна:(t )Kν̄i 0 lX (k − 1)!(kl − k)! h(t0 , s0 ) =V Kl (t0 ) (K, s0 , t0 ) −kl !K⊆KliKl (t0 )−V(K \ i, s0 , t0 )(3.7.1)где k = |K| – число участников коалиции K ⊆ Kl . Чтобы данный векторШепли поддерживался на протяжении всего времени игры, в каждый моментвремени t ∈ [t0 , ∞), учитывая формулу (3.6.11), должно выполняться равенство:t, s(t) =X (k − 1)!(kl − k)! h(t0 )K(∆)N=W̄t, s(t) −kl !K⊆Kli(t0 )K\i(∆)N− W̄t, s(t)(t )Kν̄i 0 l(∆)N(3.7.2)Определив формулу для компонент вектора Шепли в игре ΓKl (s0 , t0 ), вычисляем долю каждого предприятия i ∈ Kl :ωi(t0 )Kl(∆)Nν̄t,s(t)t, s(∆)N (t) = P i (t )K=0l(∆)Nν̄jt, s(t)(3.7.3)j∈Kl(t )Kν̄i 0 l t, s(∆)N (t)= (t )KW̄ 0 l t, s(∆)N (t)Тогда реальный выигрыш предприятия в соответствии с долей, пропорциональной вектору Шепли будет равен:t, s(t) =(t0 )(∆)N(∆)N= ωi t, s(t) νKl t, s(t) =(t )Kν̄i 0 l t, s(∆)N (t) (t0 ) (∆)N νt, s(t)= (t )KW̄ 0 l t, s(∆)N (t) Kl(t )Kνi 0 l(∆)N(3.7.4)Для реализации данного дележа в каждый момент времени необходимо перераспределять общие затраты.
Определяем процедуру распределения дележа,114noTKlкак функцию β (t) = βi (t), такую что в каждый момент t ∈ [t0 , ∞):Klt=t0(t0 )Klνi Z∞t, s(∆)N (t) = βiKl (τ ) exp [−r(τ − t0 )] dτ(3.7.5)tФункция βiKl (τ ) – это издержки, понесенные предприятием i в момент τ .Теорема 3.7.1. Функции βiKl (t) имеют следующий вид:(t)Kl(∆)Nν̄t,s(t)(t)iKl(∆)N νKl t, s(t) −βi (t) = r (t)Kl t, s(∆)N (t)W̄!(t)Kl(∆)Nν̄t,s(t)(t)i /dt −−νKl t, s(∆)N (t) dW̄ (t)Kl t, s(∆)N (t) (t)(t)Kν̄i l t, s(∆)N (t) dνKl t, s(∆)N (t)− (t)Kl t, s(∆)N (t)dtW̄(3.7.6)Доказательство.
Компоненты βiKl (t) находятся из условия: dν (t)Kl t, s(∆)N (t)(t)KβiKl (t) = rνi l t, s(∆)N (t) − idt(t)KПодставляя для νi l t, s(∆)N (t) формулы (3.7.4), получаем требуемыйвид для компонент βiKl (t)Покажем динамическую устойчивость построенного решения. Для этогонеобходимо показать, что в каждый момент t ∈ [t0 , ∞) выполняется:XβiKl (t) = βKl (t)i∈KlОчевидно, что:X(t)Kν̄i l(∆)Nt, s(t)Kl(∆)N(t) = W̄t, s(t)(3.7.7)i∈KlX dν̄i(t)Kl t, s(∆)N (t)dW̄ (t)Kl t, s(∆)N (t)=dtdti∈KlКак видно из (3.7.6) компонента βiKl (t) состоит из трех частей. ПросумnoKlмировав компоненты βi (t), легко установить, что первые части в суммеi∈Kl115(t)дают rνKl t, s(∆)N (t) , вторые, учитывая (3.7.7) взаимно сокращаются, а третьи(t)части в сумме дают −dνKl t, s(∆)N (t) /dt.
Таким образом:XβiKl (t)=(t)rνKl(∆)Nt, s(t) −i∈Kl(t)dνKl t, s(∆)N (t)= βKl (t)dtТем самым, показана динамическая устойчивость (временная состоятельность) двухуровневой кооперации.116ЗаключениеОсновной результат работы заключается в построении динамически и стратегически устойчивых решений для моделей сложной кооперации.
Основныепринципы оптимальности в кооперативных играх не обладают динамическойустойчивостью и требуют специальной регуляризации. В качестве регуляризации использована процедура распределения выигрыша. В работе исследовано1. Модель коалиционной игры технологического альянса, для которой построено динамически устойчивое коалиционной решение. В качестве принципа оптимальности использован устойчивый PMS-вектор.2. Модель двухуровневой кооперации для игры технологического альянса.Для данной модели построено устойчивое кооперативное решение с использованием связанных процедур распределения выигрыша на верхнеми на нижнем уровне (между коалициями и внутри каждой коалиции).
Вкачестве принципа оптимальности на верхнем уровне использован динамический вектор Шепли. В качестве принципа оптимальности на нижнемуровне использованы вектор Шепли, ES-вектор и пропорциональное распределение выгод. Для каждого случая доказана динамическая устойчивость кооперативного решения.3. Модель двухуровневой кооперации для игры сокращения вредных выбросов в атмосферу. Для данной модели также построено устойчивое кооперативное решение с использованием процедур распределения выигрыша наверхнем и на нижнем уровне. В качестве принципа оптимальности на верхнем уровне использован динамический вектор Шепли.
В качестве принципа оптимальности на нижнем уровне использован дележ, пропорциональный вектору Шепли. Доказана динамическая устойчивость построенногокооперативного решения.Литература1. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игрынескольких лиц и их приложения // М."Советское радио". 1980.2. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов, второе издание. 1963.3. Денисов А. М., Разгулин А. В.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Пособие для студентов 2 курса. МГУ им. М.В.Ломоносова. 2008.70 С.4. Зенкевич Н.А., Колабутин Н.В., Д. Янг Стохастическая модель совместного предприятия. // Управление большими системами. Вып. 26.1, М., ИПУРАН. 2009. С. 287–3185. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальныеигры.
// Екатеринбург "Наука". 1993. С. 1846. Козловская Н.В. Супераддитивность характеристической функции втеоретико-игровой модели территориального экологического производства// Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов "Процессы правления и устойчивость". СПб: Изд. СПбГУ. 2010. С.623–627.7. Козловская Н.В., Петросян Л.А., Ильина А.В. Коалиционное решение взадаче сокращения вредных выбросов // Вестник СПбГУ, cер. 10. 2010.Вып.2.
С. 46–59.8. Колабутин Н.В. Количественное моделирование динамически устойчивогосовместного предприятия // Процессы управления и устойчивость: Труды39-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под117118ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.ун-та. 2008. С. 47–519. Колабутин Н.В. Двухуровневая кооперация в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов // Математическая теория игр и её приложения, том 6.
2014. вып. 4 С. 3–3610. Колабутин Н.В. Двухуровневая кооперация в дифференциальной игре технологического альянса // Вестник СПбГУ, cер. 10. 2015. Вып.1. С. 42–63.11. Колабутин Н.В., Петросян Л.А. . Условие Д.В.К. Янга для динамическогосовместного предприятия // Процессы управления и устойчивость: Труды40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Подред. Н.
В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.ун-та. 2009. С. 624–62912. Красовский Н. Н., Котельникова А. Н. О дифференциальной игре на перехват. // Тр. ИММ УрО РАН, 16, № 5. 2010. С. 113–12613. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры.// М.: Наука. 1974. 458 С.14. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования // Изд-во Ленингр. ун-та. 1977. 222 С.15. Петросян Л.А. Устойчивые решения дифференциальных игр со многимиучастниками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
