Диссертация (1149494), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Первыйстолбец содержит номер в "The Catalogue of Principal Galaxies" (PGC), во втором номер в обзоре 2MASS (подвыборка 2MRS на Рис. 61 в Приложении), далееидет расстояние Rlum в Мпк и DL – модуль расстояния в звездных величинах,галактические координаты l и b, столбец A включает поправку за поглощение вполосе B, завершают таблицу звездные величины в полосе B из каталога LEDAи Ks из каталога 2MASS (с учетом поглощения).583.2МетодыВсе модельные расчеты выполнены с помощью оригинального программногообеспечения Fractal Dimensions Estimation Program. FDEP представляет собоймощную платформу для работы с каталогами галактик на космологическихмасштабах.
Программа может делать подвыборки из каталогов по геометрии исветимости, одновременно с этим создавая аналогичные множества с дробнойфрактальной размерностью и аналогичными селекционными эффектами. Еслина однородном множестве это мало сказывается, то в случае фрактала весьма ограниченная последовательность псевдослучайных чисел может привестик искажению моделируемой фрактальной размерности. Чтобы этого избежатьнеобходимо усреднять данные по большому количеству генераций одной и тойже подвыборки с фрактальным распределением. Как показали подсчеты бедных множеств с N < 103 для достижения точности ∆D < 0.05 требуется около20 генераций с разными последовательностями псевдослучайных чисел.
Следует также отметить, что изначально сгенерированный математический фракталсодержит примерно на порядок больше точек, чем подвыборка с модельнымиэффектами селекции.Программа позволяет осуществлять переход от красных смещений к метрическим расстояниям в разных космологических моделях, варьируя параметрыΩ0v , Ω0m , Ω0k и H0 , а также в модели "усталого света". Для того, чтобы оценитьфрактальную размерность каталога галактик, программа экстраполирует наблюдаемое распределение на момент времени t0 , соответствующее z = 0.
Программа может работать и во втором режиме, когда масштабный фактор a(t)меняется c z. В этом случае используются другие формулы для расчета метрических расстояний [41], что было использовано в работах [10, 2]. Все расчеты вдиссертации выполнены в стандартной космологической модели ΛCDM.3.2.1Условная плотностьСуть метода, подробно описанного в [25, 17], состоит в подсчете количестваточек в шарах разного радиуса.
Условность заключается в том, что центр шара является точкой множества. Для корректной работы метода на большихмасштабах необходимо учитывать эффекты границы множества [58]. Концен-59трация внутри шара с радиусом r дается формулойNc (r)1 X Ni (r)n(r) =,Ns (r) i=1 V (r)(28)где Ns (r) – число шаров внутри выборки, Ni (r) – число точек в шаре, V (r) –объем шара.Γ∗ (r) = hn(r0 < r)ip(29)где h...ip – усреднение по всем точкам выборки.Условную плотность можно считать как в шарах, так и в шаровых слоях.
Насредних масштабах данное распределение показывает степенную зависимостьD − 3. Примеры графиков распределения условной плотности для однородныхмножеств с разным число точек показаны на Рис. 35 слева. Вертикальными чертами обозначено среднее расстояние между точками. Общее количество точекв данных выборках отличается на порядок, начиная с N ∼ 102 .Внутри алгоритма условной плотности разумно также разметить алгоритмпоиска расстояния до ближайшего соседа, который дает среднее расстояниемежду точками во всем объеме. На деле алгоритм сводится к подсчету количества сфер Ns 1(r), содержащих одну точку помимо центральной.
Хакрактерный пик такого распределения является среднестатистическим расстоянием доближайшей точки. В качестве конкретного значения можно взять, например,медиану, которая получается из условия равенства интегралов (суммы точек)слева и справа. В случае, если количество точек порядка сотни, то лучше братьодин из правых максимумов дискретного распределения. Благодаря этому распределению можно также получить самые близкие пары точек, однако для этойзадачи лучше подходит метод парных расстояний.3.2.2Парные расстоянияВ книге [33] впервые было рассмотрено распределение парных расстояний длямножеств с целочисленной размерностью.f (l) = DlD−1 (L/2)−D Iµ (D+1 1, ),22(30)60где D – целочисленная размерность множества, l – расстояние между парой точек, L – наибольшее расстояние внутри множества, Iµ (p, q) – неполная функцияБесселя с µ = 1 − l2 /L2 .
При l << L имеет место асимптота,f (l) ∼ lD−1 ,(31)которая также сохраняется для множеств с дробной размерностью [28, 29, 54].Фрактальная размерность определяется МНК из наклона графика, поэтомудля более точной аппроксимации требуется как можно больше точек. Чтобыне проводить аппроксимацию по двум-трём точкам на малых масштабах (гдеметод работает), лучше перейти в логарифмическую шкалу масштабов длин отрезков. Тогда в логарифмических координатах получится равномерная шкала.Для функции распределения имеет место равенствоf (l)dl = f (log l)d log l,(32)из которого, принимая во вниманиеd log l =1 dld ln l=,ln 10 ln 10 l(33)следует, чтоf (log l) = ln 10 · lf (l) ∝ l · lD−1 = lD .(34)В данной модификации метод не только простой, но и сразу дает оценкуфрактальной размерности, определяемую из наклона графика в логарифмических координатах.
Алгоритм также позволяет выявить самые близкие парыточек, а после небольшой модификации – тройки, четверки и так далее. Такимобразом, данный метод позволяет не только оценивать фрактальную размерность, но и осуществлять поиск сгущения точек или скоплений галактик (таблица 12). Примеры графиков распределения попарных расстояний для тех жеоднородных множеств показаны на Рис. 35 справа.3.2.3Расчет расстояния и светимостиМетрическое расстояние, выраженное через красное смещение, в стандартнойкосмологической модели дается формулой [17]61R(z)M pcc=H0Zz(Ω0v + Ω0m (1 + z 0 )3 − Ω0k (1 + z 0 )2 )−1/2 dz 0 ,(35)0где H0 = 70 км с−1 Мпк−1 – постоянная Хаббла, c = 3 · 1010 см с−1 – скоростьсвета, Ω0v = 0.7, Ω0m = 0.3, Ω0k = 0 – космологические параметры, z – красноесмещение. Далее происходит переход от сферических координат к декартовымпо стандартным формулам, поскольку пространство эвклидово.Светимость в рамках ΛCDM модели определяется по формулеL(z) = 4πSobs R(z)2sm (1 + z)2 ,(36)где Sobs эрг с−1 см−2 – поток гамма-всплеска, равный отношению принятогоизлучения в диапазоне 15 ÷ 150 кэВ ко времени T 90, и z – красное смещение.3.2.4Модельные каталогиДля сравнения с реальной выборкой были смоделированы каталоги галактик сфрактальным и однородным распределением (МКФР и МКОР), аналогичныекаталогу источников гамма-всплесков Swift и каталогу галактик с расстояниями, измеренными независимо от красного смещения, Cosmicflows-2.Так как вблизи пояса Галактики имеет место сильное поглощение оптического излучения (приводящего к дополнительной селекции ИГВ при наблюдениях их красного смещения), необходимо рассмотреть влияние этого эффектана оценку фрактальной размерности.
Соответственно, рассмотрено два случая,примеры которых на Рис. 50. В первом берется вся небесная сфера, во второмвырезается полоса от −10 до +10 градусов по галактической широте. В этомпримере рассматриваемые выборки ограничены сферой радиуса 8 Гпк. Данныйэффект называется ограниченной геометрией выборки, что приводит к геометрической селекции.Для определения фрактальной размерности сразу во всем объеме для всехточек нужно учесть наблюдаемые эффекты селекции по светимости, например, эффект Малмквиста. Для этого в качестве модельной видимой функциисветимости взяты наблюдаемые профили в сферических слоях с шагом 1 Гпк,представленные на Рис.
49. Старым подходом является алгоритм ограничениявыборки по объему (VL-samples), результаты которого приведены на Рис 50.623.2.5Сравнение методов и оценка наклонаПоскольку МКФР и МКОР полностью аналогичны друг другу, можно рассмотреть соотношение этих распределений для условной плотности и отдельно дляпопарных расстояний (реальный каталог при этом взаимодействует с МКОР).При такой конфигурации наклон рабочего участка, определяемый условиемнаименьших квадратов отклонений, в каждом из методов в логарифмическихкоординатах равен D − 3. Это позволяет использовать единый стандарт осейграфиков, что удобно при сравнении результатов. Перед делением одной зависимости на другую сначала необходимо их нормировать, как показано на Рис.36.
Нормировка происходит по 5-10 точкам на максимальных масштабахРис. 35: Графики попарных расстояний и условной плотности для разных однородных множеств.Рис. 36: Нормированные графики попарных расстояний и условной плотностидля разных однородных множеств.Для бедных множеств (N < 103 ) в распределениях условной плотности ипарных расстояний характерны значительные случайные отклонения от степенной зависимости. Для уменьшения влияния этого эффекта производится63усреднение кривых по достаточному числу реализаций данного множества. Осуществляется это путем задания разных нуль-пунктов датчика псевдослучайныхчисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
