Диссертация (1149494), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Главной трудностью выделения реальных флуктуаций плотности являются возможные скрытые эффекты селекции, присутствующие в каждом конкретном обзоре галактик, которые могут имитировать крупномасштабные неоднородности распределения галактик.Метод (Рис. 3) позволяет оценить масштабы неоднородностей по глубокимобзорам галактик, используя большие бины по красному смещению (∆z =0.05 ÷ 0.3), превышающие точность фотометрической оценки красного смещения (δz ∼ 0.012(1 + z)). Такие бины содержат большое число галактик19(N (∆z) ∼ 10 000), благодаря чему шум Пуассона (∼ 1/N 1/2 ) будет мал (σP ∼0.01), что позволяет обнаружить флуктуации, связанные с крупномасштабными неоднородностями в распределении галактик. Существенным развитием метода является точный учёт геометрии выборки и изменение формы пространственной корреляционной функции.Рис.
3: Распределение N(z) каталога COSMOS для ∆z = 0.2 c аппроксимациейМНК по формуле (4).В случае больших красных смещений (z ∼ 2) для расчета метрическогорасстояния (r(z)) и возраста (t(z)) галактик необходимо использовать точныеформулы стандартной фридмановской модели ([17], гл. 7)Z zcdyr(z) =,H0 0 h(y)где c – скорость света, H0 = 72 км/с/Мпк, Ω0m = 0.3 и Ω0v = 0.7,Z ∞1dyt(z) =,H0 z (1 + y)h(y)(1)(2)20гдеh(y) =qΩ0v + Ω0m (1 + y)3 − (1 − Ω0tot )(1 + y)2 .(3)Согласно [44, 53] распределение галактик в глубоких обзорах удачно аппроксимируется эмпирическим выражениемβNmod (z, ∆z) = Az α e(−z/z0 ) ∆z,(4)где Nmod (z, ∆z) – число галактик в интервале (z, z + ∆z). Параметры α, β иz0 варьируются с помощью метода наименьших квадратов,а A – постоянная,Zнормирующая интеграл на полное число галактик ( Nmod dz=Ntot ).
Формула(4) также подтверждается на модельных выборках галактик в [3].Характерной чертой глубоких обзоров галактик является малый угловойразмер. Как показано в [25, 57, 48], ожидаемая теоретическая дисперсия относительных флуктуаций плотности σ 2 равна сумме дисперсий коррелированных2структур σcorrи шума Пуассона σp22σ 2 (z, ∆z) = σcorr+ σp2 .(5)В случае, когда число точек в рассматриваемом объеме достаточно велико,флуктуации однородного распределения становятся несущественными (σp2 ∼1/N 1/2 ).
Поэтому в полной дисперсии преобладает так называемая космическая2дисперсия σcorr, которая в [25, 8] выражается через пространственную корреля-ционную функцию ξ(r) по формуле2σcorr(V1)=(1 + z)V 2ZZdV2 ξ(|r1 − r2 |),dV1V(6)Vгде V = V (z, ∆z) – объем интегрируемой области, соответствующий промежутку (z, z + ∆z), фактор 1/(1 + z) учитывает линейный рост амплитуды флуктуаций со временем, а в случае степенного закона распределения плотностикорреляционная функция имеет видξ(r) = r γ0r,2и тогда выражение (6) для дисперсии σcorrупрощается [52]J2 r0 γ2σcorr (z, ∆z) =1+z r(7)(8)2172, r0 и γ - параметры корреляционной функции,2γ (3 − γ)(4 − γ)(6 − γ)(1 + z) есть фактор, принимающий во внимание рост амплитуды неоднородно-где J2 =стей.
Для γ = 1.8 константа J2 = 1.865.Для несферической выборки галактик в формуле (8) часто используют эффективный радиус r = ref f сферического объема, эквивалентного объему бинаV (z, z +∆z). Однако, как показали расчеты автора в случае конического обзораCOSMOS, приближенная формула завышает оценку космической дисперсии в1.5 ÷ 2 раза.Амплитуда отклонения наблюдаемого распределения галактик Nobs (z, ∆z)от однородного Nmod (z, ∆z) определяется отношениемδobs (z, ∆z) =Nobs − hNmod i∆Nobs=,NmodhNmod i(9)дающим оценку наблюдаемой дисперсии флуктуаций σobs = | δobs | внутри ∆z.В стандартной ΛCDM модели корреляционная функция обращается в нольна 174 Мпк и не зависит от величины байеса [59]. Это означает, что бины порядка 200 Мпк и выше можно считать независимыми, и знак флуктуации от бина кбину должен чередоваться. Если знак флуктуации сохраняется на протяжениинескольких бинов, то это является свидетельством наличия крупномасштабнойструктуры.
Длина такой структуры r определяется двумя последовательнымипересечениями нуля графиком величины δobs для равномерных бинов. Амплитуда этой структуры δstr будет определяться формулой (9), только уже не побину ∆z, а по длине флуктуации от zstart до zf inal . Кроме этого, можно посчитать амплитуду данной структуры как выборочное среднее по флуктуациямодного знака1Xδobsnи выборочное среднеквадратичное отклонение по формулеsP(δobs − δ obs )∆δ obs =.n(n − 1)δ obs =(10)(11)221.2.1Альтернативные аппроксимацииНа примере каталога COSMOS в статье [31] была рассмотрена альтернативнаяаппроксимация(z a + z ab )∆z,(12)Nmod (z, ∆z) = A bz +Cгде три варьируемых параметра: a, b и C.
В сравнении с формулой (4) она показывает почти в два раза большую сумму квадратов отклонений, что увеличивает амплитуду флуктуаций числа галактик в полтора раза. Дополнительнобыло рассмотрено еще две формулы (4) с одним варьируемым параметром z0Nmod (z, ∆z) = Aze(−z/z0 ) ∆z,2Nmod (z, ∆z) = Aze(−z/z0 ) ∆z.(13)(14)Рис. 4: Различные формы аппроксимации распределения N (z) каталогаCOSMOS при ∆z = 0.3.На рисунке 4 представлены результаты четырех аппроксимаций распределения COSMOS с полным числом объектов N = 304 897 для бина ∆z = 0.3по формулам (4) и (12) с тремя и четырьмя свободными параметрами.
Кривая(12) с тремя параметрами отмечена и в левом, и в правом графиках жирнойпунктирной линией и имеет параметры: A = 304 897, a = 0.059, b = 4.91,C = 10.36 и сумма квадратов отклонений Σ = 2.19 (f1 ). Кривая (12) с четырьмя варьируемыми параметрами отмечена пунктиром на левом рисунке и имеетзначения: A = 436 000, a = 0.05, b = 5.2, C = 15 и Σ = 2.126 (f4 ).
Аппроксимация по формуле (4) с тремя параметрами отмечена и на левом, и на правомграфиках жирной сплошной линией и имеет значения свободных параметров:A = 304 897, α = 1, β = 1.06, z0 = 0.6 и Σ = 0.899 (f2 ); аппроксимация с23четырьмя параметрами, отмеченная двойным пунктиром, имеет значения параметров: A = 160 000, α = 0.72, β = 1.24, z0 = 0.89 и Σ = 0.837 (f3 ).Поскольку аппроксимация по формуле (4) с тремя свободными параметрами дает минимальное значение суммы квадратов отклонений, эта формулаиспользуется далее во всех пунктах по умолчанию (результаты альтернативныхаппроксимаций см. Приложение).1.2.2Предсказания ΛCDM-модели, параметр смещенияСледует отметить, что наблюдаемой величиной являются флуктуации числагалактик (светящееся барионное вещество), а непосредственно моделируемой врамках ΛCDM величиной являются флуктуации небарионной темной материи.Стандартная ΛCDM-модель утверждает, что корреляционная функция плотности видимого вещества ξgal (светящееся барионное вещество) связана с корреляционной функцией плотности небарионной темной материи ξdm через дополнительную гипотезу о галактическом байесеξgal (r, z, π) = b2 (z, π)ξdm (r, z),(15)где b2 (z, π) называется параметром смещения (байес), который в общем случаеможет зависеть от набора переменных π = (L, m? , T, ...).
В работе [48] такимпараметром предлагается взять звёздную массу галактик. Поскольку эффектМалмквиста приводит к тому, что на более далеких расстояниях функция светимости обрезается снизу, может появиться систематическое увеличение байесас красным смещением. Например, в обзоре COSMOS на z ∼ 1 характерная масса галактик составляет lg m∗ /M ∼ 10.25 и σgal ≈ 0.095 при σdm ≈ 0.060, т.е. байес составляет b = 1.60 (табл.2 в [48]). При этом наблюдаемая амплитудафлуктуаций составляет δobs = 0.20, т.е.
требуемое значение байеса b = 3.33 более чем в два раза превышает значение, полученное в [48] для данной звёздноймассы галактик. Значение байеса можно вычислить по формуле из статьи [48]b(m? , z) = b0 (z + 1)b1 + b2(16)где b0 , b1 и b2 - параметры из таблицы 4 статьи [48]. Результаты расчета байесадля разных звёздных масс в зависимости от красного смещения представлены24в таблице 7 в разделе Приложения. Результаты расчета σdm для разных бинови красных смещений даны в таблице 3.Как показывают расчёты по формуле (6), приведённые в таблицах 2 и 15,амплитуду относительных флуктуаций в 20% в поле COSMOS/UVISTA можнообъяснить, если параметры пространственной корреляционной функции составляют (γ; r0 ) = (1; 5 ÷ 10).
Отметим, что именно такие параметры степенногозакона корреляционной функции найдены в современных широкоугольных обзорах красных смещений галактик 2dF и SDSS [61].Линейные размеры неоднородностей в радиальном распределении галактикоцениваются как размеры между пересечениями нуля для флуктуаций одногознака рис. (3). В отличие от предсказания ΛCDM модели, где соседние бины сразмерами ∆z > 0.1 являются независимыми (ξdm = 0 на масштабе 174 Мпк),наблюдаемые в поле COSMOS/UVISTA отклонения от однородного радиального распределения сохраняют знак на протяжении нескольких бинов, что соответствует масштабам порядка тысячи Мпк (таблица 7).Сравнить предсказания ΛCDM-модели и реальных наблюдений можно поформуле из статьи [48]:22σgal(m? , z) = b2 (m? , z)σdm(z),(17)где m? — звёздная масса галактик.
Для её учёта взято выборочное среднее пологарифмам звёздных масс отдельных галактик в бине по красному смещениюсоответствующего каталогаn1Xlog(M/M )log(m? ) = log(M/M ) =n 1(18)Результаты сравнения флуктуаций для каталогов COSMOS, UVISTA и ALHF4 приведены в таблице 7 для бина ∆z = 0.2 (если в структуру попадает толькоодна точка, то у неё стоит прочерк в колонке ∆δ obs ). Предсказанные флуктуации плотности числа галактик σdm оказываются существенно (в полтора и более раз) меньше σobs для каталогов UVISTA и ALH-F4 на красных смещенияхz ∼ 0.9 и z ∼ 2.1, именно на этих красных смещениях наблюдаются недостаткии избытки галактик, что будет показано ниже.Предсказания ΛCDM модели для величины космической дисперсии в обзоре COSMOS приводятся в работе [47], величина флуктуаций темной материи25дается формулой:σa(19)z β + σbгде a, b и β - это параметры, связанные с угловыми размерами каталога COSMOS,σdm (z, ∆z = 0.2) =соответствующие им стандарты равны σa = 0.069, σb = 0.234, σβ = 0.834 [47].Для других бинов существует формула переходаrσdm (z, ∆z) = σdm (z, ∆z = 0.2)1.2.30.2.∆z(20)Коэффициент корреляцииДля численного сравнения представленных графиков наблюдаемых флуктуаций числа галактик δobs был посчитан линейный коэффициент корреляции (иликоэффициент корреляции Пирсона) по формуле:ρXYP(X − X)(Y − Y )covXY= qP,=PσX σ Y22(X − X)(Y − Y )n(21)n1X1Xгде X =Xi , Y =Yi – среднее значение выборок.
Ошибка вычисn 1n 1лялась по формуле Фишера из математической статистики1 − ρ2,∆ρ = √n−1где n – число сравниваемых точек.1.2.4(22)Приведенная дисперсияСредние значения σobs и σdm для каждого ∆z рассчитываются по формуламσ obs,mean =Σ(σobs,i ),n(23)Σ(σdm,i ),(24)nгде n – число бинов, а σobs,i и σdm,i – значения амплитуды в каждом бине. Далее,σ dm,mean =вычисляя среднее квадратическое отклонениеσ 2obsΣ(σobs,i − σ obs,mean )2=,n(25)26σ 2dmΣ(σdm,i − σ dm,mean )2=,n(26)можно получить отношениеσ obs.(27)σ dmРезультаты приведенной дисперсии s показывают во сколько раз наблюдаемыеs=флуктуации плотности превосходят флуктуации темной материи.272Оценка размеров и амплитуды флуктуацийчисла галактик2.1Результаты расчета флуктуаций числа галактикТаблица 1 демонстрирует результаты расчета приведенной дисперсии, откудавидно, что амплитуда наблюдаемых флуктуации в разы превосходит флуктуации плотности темной материи, а в случае обзора COSMOS превосходит почти на порядок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
