Диссертация (1149463), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . + a6 · (s/D)5 )(2.3.14)Коэффициенты a1 ,. . . ,a6 зависят от аппаратной реализации элемента иопределяются экспериментальным образом.651.00.8F(s)0.60.40.20.03.83.63.43.2s3.02.82.61e 1Рис. 2.1. График функции Энге для квадруполя HGQНапример, для сверхпроводящих квадруполей HGQ3 ускорителя LHCизмеренные экспериментально коэффициенты [87] выглядят следующимобразом:a1 = −0, 939436, a2 = 3, 824163, a3 = 3, 882214,a4 = 1, 776737, a5 = 0, 296383, a6 = 0, 013670.График функции Энге с этими коэффициентами приведен на рис. 2.1.Так как функция Энге непрерывно дифференцируема по s до любогопорядка, коэффициенты разложения электрического и магнитного полей скравыми полями в ряд (2.3.12) могут быть найдены, используя соотношения (2.3.13), при этом поля удовлетворяют уравнениям Максвелла (1.1.4).Решение уравнений движения. Уравнения движения (2.3.10) имеют видdz = f (z, s).ds(2.3.15)Получить матричное отображение можно при помощи методов численногоинтегрирования, решив уравнение движения при помощи метода Рунге3HGQ — High-Gradient Quadrupole — квадруполь с большим градиентом до 215 Т/м, апертура 70 мм66Кутта и заменив все арифметические операции на операции с элементамидифференциальной алгебры n Dv .
Этот простой метод получения решенийреализован в некоторых программах [74, 112, 33], но он имеет ряд недостатков, в частности точность вычисленных производных падает в зависимостиот порядка вычислений, а также вычисление производных затруднительнопо измеренным экспериментально данным [20].Другой метод построения решений основан на вычислении оператораэволюции exp(∆sLf ).
Для введения понятия оператора эволюции сначалаопределим производную Ли по функции f .Пусть g(s) есть произвольная функция в фазовом пространстве, а z(s) —решение (2.3.15). Тогдаdd∂g∂g = ∇g z += ∇gf + g = Lf g,dsds∂s∂sгде Lf = f ∇ + ∂s — производная Ли по функции f . Зная начальные координаты динамической системы z0 можно получить координаты через ∆s,используя производную Ли:z∆s = exp(∆sLf )z0 ,а exp(∆sLf ) называется оператором эволюции.
Производная Ли используется для построения матричных отображений:∞X1 iLf .M =ni!i=1(2.3.16)Уравнение движения спина (2.3.11) аналогичным образом задает производную ЛиLf = f ∇z + (W · S)∇s ,67и можно построить матричное отображение для спина:S = A(z)S0 ,где A(z) ∈ SO(3), то есть A(z) — ортонормальная матрица, зависящая отфазовых координат.Для построения матричного отображения (2.3.16) необходимо вычислить значения f на n Dv и производных ∂sk . Можно показать [20], что оператор exp(∆sLf ) сходится на n Dv , и для построения отображения порядка n требуется одно вычисление f и n − 1 операций дифференцирований.Этот метод построения отображений реализован в таких программах какMARYLIE [40] и COSY Infinity [18].Длительная эволюция пучка. Вследствие теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема [23] матричное отображение M динамическойсистемы должно обладать свойством симплектичности [49]:M · J · M T = J,где M = ∂M/∂z — якобиан M, а матрица J имеет следующий вид:J =0 0 0 −10 0 000 0 001 0 000 1 000 0 106800 −1 0 0 −1 .0 0 0 0 0 0Симплектические отображения могут быть описаны в компактном видепри помощи производящих функций [49] в смешанных координатах:F1 (qi , qf ), F2 (qi , pf ), F3 (pi , qf ), F4 (pi , pf ),где qi , pi — начальные координаты и импульс, qf , pf — конечные координаты и импульс соответственно.
Производящие функции удовлетворяютследующим условиям:(pi , pf ) = J · ∇F1 ,(pi , qf ) = J · ∇F2 ,(qi , pf ) = J · ∇F3 ,(qi , qf ) = J · ∇F4 .Зная матричное отображение M можно получить любую производящую функцию. Для примера приведем алгоритм нахождения производящей функции F2 . Положим M = (M1 , M2 ), где M1 — часть отображения,описывающее преобразование координат, и M2 — часть отображения, описывающее преобразование импульсов. Разобьем таким же образом тождественное отображение I = (I1 , I2 ).
Нам требуется найти F такое, что(qf , pi ) = F(qi , pf ). Для этого введем отображение N = (I1 , M2 ). Тогда(qi , pf ) = N (qi , pi ).Можно показать [20], что для существования производящей функции необходимо существование обратного N отображения N −1 .
В этом случае(qi , pi ) = N −1 (qi , pf ).69При помощи композиции (M1 , I2 ) и N −1 получаем искомое F:(qf , pi ) = ((M1 , I2 ) ◦ N −1 )(qi , pf ) = F(qi , pf ).Производящая функция F2 есть не что иное как градиент F: F2 = ∇F.Аналогичным образом можно найти производящие функции другого типа;кроме того, при помощи этого алгоритма можно вычислить симлпектическое преобразование M, зная производящую функцию. Вычисление производящих функций легко производить алгебраически, используя методы,описанные в разделе (2.1).Для симплектификации отображения M порядка n предложен [15] следующий алгоритм:a) вычислить какую-либо производящую функцию порядка n, используяприведенный выше метод;b) по восстановленной производящей функции получить отображение Ms ,при этом порядок нелинейности этого отображения может быть выше,чем порядок исходного отображения M.Этот метод используется для получения симплектичного отображения впрограмме COSY Infinity.
Метод симплектификации используется в томчисле для получения симплектичного отображения по измеренным экспериментально данным [108].Следует отметить, что на практике симплектичность отображений нарушается из-за ошибок округления с машинной точностью и из-за ошибок численного интегрирования, возникающих при рассмотрении элементов с краевыми полями. Нарушение симплектичности из-за своей малости в некоторых случаях не влияет на результаты моделирования, но дляизучения траектории частицы на протяжении длительного периода вре70δK ,δK ,1.5 1e 41.00.50.00.51.01.56420l,2461e 3(a) Нарушение симплектичности1.5 1e 41.00.50.00.51.01.56420l,2461e 3(b) Симплектичный случайРис.
2.2. Траектория движения частицы за 100000 оборотов с начальным отклонениемδK = 10−3 в продольной фазовой плоскости l—δKмени требуется соблюдение условий симплектичности, в противном случае невозможно обеспечить сохранение фазового объема в течение периода вычисления траектории. На рис. 2.2 представлена траектория частицыв ускорителе, найденная при помощи отображения, нарушающего условиясимплектичности (a) и при помощи скорректированного отображения (b).Через 100000 оборотов при нарушении симплектичности фазовый объемзначительно уменьшился, как видно из рис.
2.2а, что является неадекватным представлением реального движения частицы. В действительности частица совершает продольные осцилляции в плоскости l—δK по замкнутойтраектории, которая может быть найдена при помощи симплектическогометода. Таким образом при изучении длительной эволюции пучка необходимо необходимо использовать симплектические методы решения уравнений движения.Основные результаты главы.
В данной главе формализован методматричных отображений для изучения длительной эволюции спин-орбитального движения в задачах физики пучков, сформулированных в Главе 1.Для этого вводится понятие производной Ли и оператора эволюции динамической системы, а использование методов дифференциальной алгебры71позволяет существенно ускорить автоматическое вычисление частных производных, требуемое при построении матричного отображения системы.Уравнения движения заряженных частиц в управляющих полях приведены в форме, используемой для построения матричных отображений. Показано, что симплектичность матричного отображения является важнымтребованием к матричному отображению при изучении длительной эволюции пучка.
Приведен способ симплектификации отображения, основанныйна использовании производящих функций. Приведенные численные методы лежат в основе программы COSY Infinity для моделирования спинорбитального движения.72ГЛАВА 3Программный комплекс для моделированияспин-орбитальной динамикиВ данной главе приводится описание разработанного в рамках диссертационного исследования комплекса программ для моделирования динамики пучков. Разработанный комплекс позволяет автоматизировать расчеты,возникающие при изучении ускорителей заряженных частиц.
В качествевычислительного ядра для численного моделирования спин-орбитальногодвижения использована программа COSY Infinity, а описанный комплекспрограмм является надстройкой, которая позволяет пользователю эффективно использовать возможности вычислительного ядра, выполнять задачи в параллельном режиме, обрабатывать и хранить в базе данных результаты исследований. Основные результаты главы опубликованы в [115, 121,114].3.1Программа моделирования COSY InfinityМетоды дифференциальной алгебры, представленные в Главе 2, поз-воляют производить расчеты циклических ускорителей с большой вычислительной эффективностью. Разработано несколько программных пакетов,использующих методы дифференциальной алгебры для расчетов динамикипучка, например MXYZTPLK [74], ZLIB [112], MARYLIE [40], COSY Infini73ty [18].
Задачи, возникающие при проектировании накопительного кольца для эксперимента по поиску ЭДМ, требуют изучение динамики поляризованных пучков на протяжении длительного времени. ПрограммаCOSY Infinity, разработанная в Университете штата Мичиган (MSU — Michigan State University), предназначена для математического моделирования движения пучков в ускорителях частиц. Для изучения динамики пучков COSY Infinity позволяет строить матричные отображения произвольных порядков нелинейности, используя математические модели, представленные в Главе 2.
В частности, программа позволяет производить операции над элементами алгебры n Dv , используя специализированный языкпрограммирования FOX. Язык программирования FOX является динамически типизированным языком с поддержкой таких типов переменных, какдействительные и комплексные числа, интервалы, векторы, элементы дифференциальной алгебры, модели Тейлора [71].Система COSY Infinity предоставляет следующие возможности:• автоматическое дифференцирование функций;• решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений;• операции над числами Леви-Чивиты [98];• модуль языка FOX для вычислений с произвольной точностью;• пакет COSY-GO для глобальной оптимизации, основанный на моделях Тейлора и интервальных методах [71];• пакет COSY-VI для верифицированного интегрирования, использующий приближенные алгебраические потоки и модели Тейлора [102];• модуль cosy.fox для моделирования динамики пучков.Модуль cosy.fox является частью пакета COSY Infinity и предназначен длямоделирования движения заряженных частиц в электромагнитных полях.74Этот модуль используется для нахождения траекторий частиц в электромагнитных элементах, моделирования динамики спина частиц, моделирования нелинейных эффектов в ускорителях, вычисления параметров ускорителя, таких как частоты, хроматичности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
