Диссертация (1149463), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для этого продифференцируем третье уравнение системы (1.4.5) и получимd2 Sz+ (νs2 + νe2 )Sz −2dτ− 2(hνe − ανs ) cos Ψ(τ ) − (h2 + α2 ) cos2 Ψ(τ ) · Sz −− h(νrf ± n) sin Ψ(τ ) · Sy + α(νrf ± n) sin Ψ(τ ) · Sx = 0, (1.4.7)Оценим численно коэффициенты в этом уравнении для n = 0.
Получимhνe − ανs ≈ 1, 25 · 10−19 · 0, 47 · 10−15 − 1, 4 · 10−4 · 1, 98 ≈ −ανs ≈ −2, 8 · 10−4 ,h2 + α2 ≈ 1, 6 · 10−38 + 1, 96 · 10−8 ≈ α2 ≈ 2 · 10−8 ,hνrf ≈ 2, 5 · 10−19 ,ανrf ≈ 2, 8 · 10−4 ,νs2 + νe2 ≈ 3, 92 + 1, 6 · 10−38 ≈ νs ≈ 3, 92.Уравнение (1.4.7) можно переписать в виде дифференциального уравненияd2 Sz+ νs2 Sz = f (τ, Sx , Sy , Sz ),2dτ36(1.4.8)с периодической правой частьюf (τ, Sx , Sy , Sz ) = − 2ανs cos Ψ(τ ) + α2 cos2 Ψ(τ ) · Sz ++ h(νrf ± n) sin Ψ(τ ) · Sy − α(νrf ± n) sin Ψ(τ ) · Sx .Решим уравнение (1.4.8) методом Боголюбова-Митропольского [120]. Вкачестве первого приближения будем искать решение в видеSz (τ ) = a(τ ) · cos ϑ, ϑ = νs τ + θ,1da(τ )=−dτ2πνsZ2πf (τ, Ŝx , Ŝy , Ŝz ) sin ϑ dτ,0dϑ(τ )1= νs −dτ2πaνsZ2πf (τ, Ŝx , Ŝy , Ŝz ) cos ϑ dτ,0где в качестве начального приближения Ŝx , Ŝy , Ŝz выбраны выраженияŜx (τ ) = −F · (1 − cos(νs τ )),Ŝy (τ ) = 1 − F 2 · (1 − cos(νs τ )),Ŝz (τ ) = F · sin(νs τ ).Очевидно, что для раскачки колебаний компоненты Sz необходимо выполнение условияda(τ )6= 0dτ37или12πνsZ2π2ανs cos Φ(τ ) + α2 cos2 Ψ(τ ) · Sz −0−h(νrf ± n) sin Ψ(τ ) · Sy + α(νrf ± n) sin Ψ(τ ) · Sx ] sin ϑ dτ 6= 0.Выполнение этого неравенства возможно в следующих случаях:1)R2π2ανs cos [(νrf ± n) τ + ψ] sin(νs τ ) sin(νs τ + θ)dτ 6= 0;02)R2πα2 νs cos2 [(νrf ± n) τ + ψ] sin(νs τ ) sin(νs τ + θ)dτ 6= 0;03)R2πh(νrf ± n) sin [(νrf ± n) τ + ψ] sin(νs τ + θ)dτ 6= 0;04)R2πα(νrf ± n) sin [(νrf ± n) τ + ψ] sin(νs τ + θ)dτ 6= 0;05)R2πα(νrf ± n) sin [(νrf ± n) τ + ψ] cos(νs τ ) sin(νs τ + θ)dτ 6= 0.0Пользуясь известными тригонометрическими соотношениями для произведения синусов получим резонансные условия соответственно каждомуслучаю:1) νrf ± n = 2νs ;4) νrf ± n = νs ;2) 2(νrf ± n) = 2νs ;5) νrf ± n = 2νs .3) νrf ± n = νs ;Видно, что существует два резонансных условия: νrf ± n = 2νs (случаи1 и 5) и νrf ± n = νs (случаи 2–4).При условии νrf ±n = 2νs спиновая компонента Sz возрастает пропорционально da(τ )/dτ ∼ ανs и da(τ )/dτ ∼ ανrf .
В случае νrf ±n = νs должен на38блюдаться рост Sz пропорционально da(τ )/dτ ∼ α2 , da(τ )/dτ ∼ h(νrf ± n),Szda(τ )/dτ ∼ (νrf ± n).6 1e 94202461 ·1052 ·1053 ·1054 ·1055 ·1056 ·105Рис. 1.1. Рост горизонтальной компоненты спина в резонансном (изображенокрасным) и нерезонансном (изображено зеленым) случаяхДля проверки полученных условий резонанса уравнение (1.4.5) можнопроинтегрировать численно. На рис. 1.1 представлены результаты численного интегрирования методом Рунге-Кутты 4 порядка уравнения (1.4.5)для протонов с энергией 100 МэВ в случае резонанса νrf ± n = νs и вслучае отсутствия резонанса νrf ± n 6= νs .
Как видно из рисунка, в обоихслучаях горизонтальная проекция спина совершает быстрые осцилляции спериодом Tf , при этом амплитуда горизонтальных спиновых осцилляцийначинает возрастать, но в нерезонансном случае после достижения amaxамплитуда осцилляций начинает уменьшаться и через период Te достигает нуля. Таким образом амплитуда быстрых осцилляций совершает медленные колебания с периодом Te , будем называть Te периодом огибающей.В случае резонанса амплитуда осцилляций продолжает рост и достигает 1 за большое количество оборотов.
При помощи поляриметра возможноизмерить горизонтальную поляризацию при Sz > 10−3 ; так как скоростьрезонансного роста амплитуды колебаний очень мала, необходимо удерживать пучок в ускорителе длительное время. При этом условия резонанса39νrf ± n = νs должны соблюдаться с крайне высокой степенью точности, впротивном случае амплитуда осцилляций Sz не возрастет до предела чувствительности поляриметра.
Далее рассмотрим рост амплитуды осцилляций при условии неточного попадания в резонансные условия.Движение спина при нарушении условий резонанса. Перепишемсистему уравнений (1.4.5) в следующем виде:dSx= −νs [1 + εy cos (νRF τ + ψ)] Sz ,dτdSy= −fe νs [1 + εx cos (νRF τ + ψ)] Sz ,dτdSz= fe νs [1 + εx cos (νRF τ + ψ)] Sy + νs [1 + εy cos (νRF τ + ψ)] Sx ,dτ(1.4.9)где εy = α/nus , εx = −h/νe , fe = νe /νs и νRF = νrf ± n.
При рассмотрениипротонов с энергией 100 МэВ для ЭДМ dp = 10−29 e · см получим численныезначения εy = 0, 7 · 10−4 , εx = −2, 6 · 10−4 , fe = 0, 24 · 10−15 .В случае εx = 0, εy = 0 система упрощается до системы (1.4.6), которуюможно записать в видеd2 Sz+ νs2 (1 + fe2 )Sz = 0.2dτИз этого уравнения следует, что спин осциллирует в горизонтальной плосpкости с частотой νf = νs 1 + fe2 . Будем называть величину νf фундаментальной частотой, поскольку это частота быстрых осцилляций компоненты Sz . В случае εx , εy 6= 0 из системы (1.4.9) следует, что спиновая частотаνf меняется на величину ∆νf ∼ O(ε2x , ε2y ).При помощи численного исследования системы уравнений (1.4.9) можнополучить следующие зависимости периода огибающей Te в зависимости отначальных εx , εy , fe , δ:• период огибающей Te уменьшается при увеличении fe ;• период огибающей обратно пропорционален величине |εy − εx |, а ам40плитуда огибающей amax прямо пропорциональна |εy − εx |;• при εy = εx не происходит резонансного роста осцилляций Sz , этотследует из симметрии уравнений (1.4.9) относительно εy и εx ;• при увеличении δ период огибающей Te уменьшается.Для изучения поведения системы в нерезонансных условиях введем врассмотрение величину δ, которая характеризует относительную расстройку резонанса: νRF = νs (1 ± δ).
Рассмотрим упрощенную систему (1.4.8) приα = 0:d2 Sz+ νs2 Sz = hνRF · sin (νRF τ + ψ)2dτс начальными условиямиdSz = νe , Sz (τ )|τ =0 = 0.dτ τ =0Решив это уравнение получаемSz (τ ) =(2νe νs δ + νe νs δ 2 + h + hδ) sin νs τ − h sin νs (1 + δ)τ.νs2 δ(2 + δ)При неточном резонансе δ 1, поэтомуSz (n) =(2νe νs + hνs ) sin 2πνs n− hπn cos 2πνs n,2νs2где n = τ /2π — номер оборота частицы в ускорителе.
Это выражение состоит из двух слагаемых: нерезонансной и резонансной части. Такую упрощенную формулу можно использовать для описания амплитуды осцилляций при малых n. Нерезонансная часть соответствует быстрым колебаниямSz , а амплитуда резонансных колебаний увеличивается при увеличении n.При ЭДМ dp = 10−29 e · см амплитуда колебаний возрастает с очень малой41скоростью: dSz /dn = hπ ≈ 8 · 10−19 .Скорость роста амплитуды колебаний определяет требования к поляризованному пучку в эксперименте и возможную расстройку частот δ.
Начальный рост амплитуды, определяемый формулой (1.4), не зависит отрасстройки δ. Тем не менее, решая численно уравнения (1.4.5), можно получить зависимость максимальной амплитуды огибающей amax от δ. Нарис. 1.2 представлена зависимость амплитуды amax от расстройки частот δ.График показывает максимально достижимую горизонтальную проекцию Szпри разных δ.
Горизонтальными линиями отмечены нижний (Sz > 10−3 , нарисунке синим) и верхний (Sz > 10−6 , на рисунке зеленым) пределы точности поляриметра. Как видно из графика, при использовании поляриметрас точностью Sz > 10−3 необходимо стабилизировать расстройку частот науровне 10−15 .Рис. 1.2. Зависимость максимальной амплитуды amax горизонтальной проекции спинаот относительной расстройки частот δ42Резонанс при переменном магнитном поле. Рассмотрим теперьсистему уравнений (1.4.1,1.4.2) в случае вертикального магнитного ВЧполя By = By0 (1 + εRFB · cos νRF τ ).
Если электрическое поле отсутствуетEx = 0, то вектор частот (1.4.1) упрощается доe η· · γβz By0 (1 + εRFB · cos νRF τ ),mγ 2e· γGBy0 (1 + εRFB · cos νRF τ ),Ωy = −mγΩx =Ωz = 0,а система уравнений (1.4.9) принимает видdSx= −νs [1 + εRFB cos (νRF τ + ψ)] Sz ,dτdSy= −fe νs [1 + εRFB cos (νRF τ + ψ)] Sz ,dτdSz= fe νs [1 + εRFB cos (νRF τ + ψ)] Sy + νs [1 + εRFB cos (νRF τ + ψ)] Sx .dτЭтот случай соответствует системе (1.4.9), где εy = εx , при котором, в силусимметрии уравнений, не происходит резонансного роста амплитуды колебаний. Таким образом, при помощи магнитного ВЧ-поля при отсутствииэлектрического поля, измерение ЭДМ невозможно.Рассмотрим теперь случай магнитного и электрического ВЧ-полей, действующих одновременно2 . Система уравнений (1.4.9) принимает следую2такой элемент ускорителя называется фильтром Вина (Wien filter)43Sz0.8 1e 90.60.40.20.00.20.40.60.82 ·1044 ·1046 ·1048 ·104105Рис.
1.3. Горизонтальная проекция спина при магнитном ВЧ-поле (изображенозеленым) и при случае ВЧ-фильтра Вина (изображено красным)щий вид:dSxα= − νs 1 + (εRFB + ) cos (νRF τ + ψ) Sz ,dτνsdSyh= − fe νs 1 + (εRFB − ) cos (νRF τ + ψ) Sz ,dτνedSzh=fe νs 1 + (εRFB − ) cos (νRF τ + ψ) Sy +dτνeα+ νs 1 + (εRFB + ) cos (νRF τ + ψ) Sx .νsПри этом εy −εx = (εRFB +α/νs )−(εRFB +h/νe ) = α/nus +h/νe , т.
е. случайэквивалентен рассмотренному выше случаю электрического ВЧ-поля.Этот случай имеет практическое значение: в ускорителе COSY проводятся эксперименты [67, 66, 55, 56] с использованием ВЧ-фильтра Винав качестве предварительного эксперимента по измерению ЭДМ. При использовании электрического ВЧ-поля происходит изменение орбиты пучка, проходящего через ВЧ-дефлектор, а в фильтре Вина при одновременном использовании электрического ВЧ-поля и перпендикулярного ему магнитного ВЧ-поля возможно компенсировать изменение орбиты. На рис.1.3представлены результаты численного решения осцилляций горизонтальной44проекции спина Sz при использовании ВЧ-фильтра Вина (красным) и прииспользовании магнитного ВЧ-поля (синим).
Как видно из рисунка, приотсутствии электрического поля, резонансного роста амплитуды колебанийSz не происходит.Основные результаты главы. В данной главе приведены уравненияспин-орбитального движения частицы в электромагнитных полях. Описанметод измерения ЭДМ протона с использованием электростатического накопительного кольца и показано, что для успешного измерения ЭДМ требуется длительное сохранение поляризации пучка в кольце при проведенииэксперимента. Построена математическая модель спин-орбитального движения в накопительном кольце для поиска ЭДМ.
Развита теория резонансного метода обнаружения ЭДМ, основанного на использовании ВЧ-поляв магнитном кольце. Показана необходимость стабилизации ВЧ-поля науровне 10−15 при использовании поляриметра с чувствительностью 10−3 .45ГЛАВА 2Численное моделирование спин-орбитальногодвиженияВторая глава посвящена математическому моделированию движениязаряженных частиц в управляющих полях. Одним из методов численногомоделирования является метод матричных отображений, который используется при изучении длительной эволюции пучка. В этой главе вводится понятие дифференциальной алгебры, показано, как происходит дифференцирование при помощи алгебраических операций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
