Диссертация (1149463), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Приводятся каноническиеуравнения движения заряженных частиц в управляющих полях, понятиеоператора эволюции динамических систем и его применение для численного моделирования спин-орбитального движения.2.1Минимальная дифференциальная алгебраВ этом разделе будем рассматривать пары действительных чисел (q0 , q1 ),(r0 , r1 ), (s0 , s1 ) ∈ R2 . Следуя [20], введем следующим образом операции сложения(q0 , q1 ) + (r0 , r1 ) = (q0 + r0 , q1 + r1 ),умножения на скаляр t ∈ Rt · (q0 , q1 ) = (t · q0 , t · q1 )46и умножения на вектор (r0 , r1 )(q0 , q1 ) · (r0 , r1 ) = (q0 · r0 , q0 · r1 + q1 · r0 ).Множество всех пар (q0 , q1 ) с введенными выше операциями является алгеброй, которую будем обозначать 1 D1 .
Алгебра 1 D1 является линейнымпространством в R2 . За d обозначим пару чисел (0, 1); отметим, что d·d =(0, 1) · (0, 1) = (0, 0).Легко видеть, что алгебра 1 D1 является коммутативным кольцом относительно операций сложения и умножения с единичным элементом (1, 0),вследствие ассоциативности векторного произведения(q0 , q1 ) · ((r0 , r1 ) · (s0 , s1 )) = ((q0 , q1 ) · (r0 , r1 )) · (s0 , s1 )и дистрибутивности векторного произведения относительно сложения(q0 , q1 ) · ((r0 , r1 ) + (s0 , s1 )) = (q0 , q1 ) · (r0 , r1 ) + (q0 , q1 ) · (s0 , s1 ).Алгебра 1 D1 является моноидом относительно векторного умножения,а не группой, т.к.
обратный элемент для (q0 , q1 ) существует тогда и толькотогда, когда q0 6= 0. В этом случае−1(q0 , q1 )=1 −q1,q0 q02.(2.1.1)Отметим также, что при q0 > 0 существует корень из (q0 , q1 ):p(q0 , q1 ) =√47q1q0 , √2 q0.(2.1.2)На алгебре 1 D1 может быть введено отношение порядка следующимобразом:(q0 , q1 ) < (r0 , r1 ), если q0 < r0 или q0 = r0 , q1 < r1 ;(q0 , q1 ) > (r0 , r1 ), если (r0 , r1 ) < (q0 , q1 );(q0 , q1 ) = (r0 , r1 ), если q0 = r0 , q1 = r1 .Из определения отношения порядка очевидно, что алгебра 1 D1 является вполне упорядоченным множеством. Отношение порядка совместимо свведенными операциями сложения и умножения:если (q0 , q1 ) < (r0 , r1 ), то (q0 , q1 ) + (s0 , s1 ) < (r0 , r1 ) + (s0 , s1 );если (q0 , q1 ) < (r0 , r1 ), (s0 , s1 ) > (0, 0), то (q0 , q1 ) · (s0 , s1 ) < (r0 , r1 ) · (s0 , s1 );если (q0 , q1 ) < (r0 , r1 ), (s0 , s1 ) < (0, 0), то (q0 , q1 ) · (s0 , s1 ) > (r0 , r1 ) · (s0 , s1 ).Отметим, что d положительно, но меньше любого положительного числа (0, 0) < d = (0, 1) < (r, 0) ∀r > 0, поэтому будем говорить, что d является бесконечно малым или дифференциалом.
Т.к. (q0 , q1 ) = (q0 , 0) + (0, q1 ) =q0 + d · q1 , то q0 будем называть действительной частью (q0 , q1 ), а q1 —дифференциальной частью. Можно показать, что для любого n > 1 несуществует такое (q0 , q1 ) ∈ 1 D1 , что (q0 , q1 )n = d.Можно определить операцию дифференцирования как отображение ∂ :1 D1→ 1 D1 следующим образом:∂(q0 , q1 ) = (0, q1 ).48Очевидны следующие свойства дифференцирования:∂((q0 , q1 ) + (r0 , r1 )) = ∂(q0 + r0 , q1 + r1 ) = (0, q1 + r1 ) = ∂(q0 , q1 ) + ∂(r1 , r2 )и∂((q0 , q1 ) · (r0 , r1 )) = ∂(q0 · r0 , q0 · r1 + q1 · r0 ) = (0, q0 · r1 + q1 · r0 ) == ∂(q0 , q1 ) · (r0 , r1 ) + (q0 , q1 ) · ∂(r0 , r1 ).Алгебра (1 D1 , ∂) называется дифференциальной алгеброй.
Главным применением дифференциальной алгебры в численном моделировании для задач динамики пучков является автоматическое вычисление производных.Вычисление производных основано на следующем наблюдении. Допустим,что нам известны значения функций f и g и их производных в нуле. Рассмотрим следующие вектора из 1 D1 : (f (0), f 0 (0)) и (g(0), g 0 (0)). Очевидно,что производная функции f · g в нуле является дифференциальной частьюпроизведения(f (0), f 0 (0)) · (g(0), g 0 (0)) = (f (0) · g(0), f 0 (0) · g(0) + f (0) · g 0 (0)).Таким образом, если два вектора содержат значения функций и значенияпроизводных, то произведение этих векторов содержит значение и производную произведения исходных функций.Проиллюстрируем это на простом примере вычисления производнойфункцииf (x) = √1x + (2/x)при x = 4. Для этого вычислим значение f (x) в точке (q0 , q1 ) = (4, 1).
Принимая во внимание выражение для вычисления обратной величины (2.1.1)49и выражение для вычисления корня (2.1.2), получим:11==f ((4, 1)) = p(4, 1) + 2/(4, 1) (2, 1/4) + 2 · (1/4, −1/42 )112 −1/8===,=(2, 1/4) + (1/2, −1/8) (5/2, 1/8)5 (5/2)221=,−.5 50Таким образом f 0 (4) = −1/50, что совпадает со значением производной,вычисленной аналитически:√1/(2 x) − 2/x2 01f (x) = − √, f (4) = − .250( x + 2/x)0На классе дифференцируемых функций C 1 (R) введем следующим образом операцию [.] : C 1 (R) → 1 D1 :[f (x)] = (f (x), f 0 (x)).Очевидно, что[f + g] = [f ] + [g],[f · g] = [f ] · [g],[x] = x + d, x ∈ R.Можно показать, что [f (x)] = f ([x]), поэтому в приведенном выше примереf ((4 + d)) = (f (4), f 0 (4)).Этот метод вычисления производных может быть обобщен для вычисления производных более сложных функций, вводя правила вычисленияфункций gi на алгебре 1 D1 .
Например можно показать, что sin(q0 , q1 ) =50(sin(q0 ), q1 cos(q0 )), exp(q0 , q1 ) = (exp(q0 ), q1 exp(q0 )), или, более обще,gi ((q0 , q1 )) = (gi (q0 ), q1 gi0 (q0 )).Любая функция f (x), представимая в виде счетного количества сложенийи перемножений функций gi на 1 D1 , удовлетворяет равенству[f (x)] = f ([x]).Таким образом можно записать следующее равенство:(f (r), f 0 (r)) = f (r + d), ∀r ∈ R ⊂ 1 D1 ,(2.1.3)т.е. значение производной функции f в точке r равно дифференциальнойчасти f (r + d).Дифференциальная алгебра n Dv . Рассмотрим теперь пространствоC n (Rv ) n-раз непрерывно дифференцируемых вещественных функций vаргументов. На пространстве C n (Rv ) можно ввести операцию эквивалентности =n следующим образом: f =n g тогда и только тогда, когда f (0) =g(0) и все частные производные вплоть до порядка n равны.
Операция =nразбивает C n (Rv ) на классы эквивалентности; все функции эквивалентныеf будем обозначать [f ]. Обозначим множество всех классов эквивалентности на C n (Rv ) за n Dv .Введем в n Dv операции сложения, умножения и умножения на скаляр:[f ] + [g] = [f + g],t · [f ] = [t · f ],[f ] · [g] = [f · g].51Таким образом n Dv образует алгебру. Каждому k = 1, v сопоставим отображение ∂k :n Dv →n Dv следующим образом:∂f∂k [f ] = pk ·,∂xkгдеpk (x1 , . . . , xv ) = xk .Можно показать, что∂k ([f ] + [g]) = ∂k [f ] + ∂k [g],∂k ([f ] · [g]) = [f ] · ∂k [g] + ∂k [f ] · [g],т. е.
∂k является оператором дифференцирования по xk , а (n Dv , ∂1 , . . . , ∂v )образуют дифференциальную алгебру, при n = 1, v = 1 получаем представленную выше дифференциальную алгебру (1 D1 , ∂).Определим бесконечно малые dk таким образом:dk = [xk ].В классе эквивалентности [f ] функции f ∈ C n (Rv ) можно выделить многочлен Тейлора Tf порядка n в окрестности 0:[f ] = [Tf ].Обозначим коэффициенты разложения Тейлора за cj1 ,...,jv :Tf (x1 , . . .
, xv ) =Xj1 +...+jv 6n52cj1 ,...,jv xj11 · . . . · xjvv ,гдеcj1 ,...,jv =∂ j1 +...+jv f1· j1.j1 ! · . . . · jv ! ∂x1 · . . . · ∂xjvvТаким образом любая [f ] может быть представима в виде"[f ] = [Tf ] =#XXcj1 ,...,jv xj11 · . . . · xjvv =j1 +...+jv 6ncj1 ,...,jv dj11 · . . . · djvv ,j1 +...+jv 6nто есть множество (1, dk : k = 1, v) является базисом n Dv . РазмерностьN (n, v) базиса есть число сочетаний из (n + v) по v:N (n, v) = dim n Dv =(n + v)!.n!v!Аналогично случаю для 1 D1 , алгебра n Dv может быть линейно упорядочена [12] таким образом, что0 < dk < r ∀r > 0, r ∈ R.Будем называть глубиной [f ] ∈ n Dv величинуλ([f ]) = порядок первой ненулевой производнойf, [f ] 6= 0,. n + 1, [f ] 6= 0,Глубина [f ] показывает порядок нелинейности разложения.
Очевидно, чтодля любых a, b ∈ n Dv верно следующее:λ(a · b) = min(λ(a) + λ(b), n + 1),λ(a + b) > min(λ(a), λ(b)).53Рассмотрим отображение (O) : M → M , где M ⊂ n Dv . Будем называтьтакое отображение сжимающим, еслиλ(O(a) − O(b)) > λ(a − b) ∀a, b ∈ M, a 6= b.Для сжимающих отображений верна следующая теорема о неподвижнойточке [12].Теорема. Для любого сжимающего оператора O : M → M существуетединственная точка a ∈ M такая, чтоa = O(a).Более того, можно показать, что если a0 — любая точка из M , то последовательностьak = O(ak−1 ), k = 1, 2, .
. .сходится за конечное (за (n + 1)) число шагов к неподвижной точке a.Это утверждение имеет практическую ценность для автоматическогодифференцирования.Покажем, например, способ вычисления всех частных производных порядка n функции 1/f в точке 0, если известно значение f (0) 6= 0 и значениячастных производных до n порядка. В терминологии дифференциальнойалгебры необходимо найти [1/f ] по известному a = [f ] ∈ n Dv . Положимa0 = f (0); тогда λ(a−a0 ) > 0. Обозначим b = [1/f ] и a·b = 1. Заметим, что(a − a0 ) · b + a0 · b = 1 или b = 1/a0 · (1 − (a − a0 ) · b). Определим отображениеO следующим образом:O(b) =1(1 − (a − a0 ) · b).a054Это отображение является сжимающим, так как если c1 6= c2 , c1 , c2 ∈ n Dv ,тоa − a0λ(O(c1 ) − O(c2 )) = λ· (c1 − c2 ) =a0 a − a0+ λ(c1 − c2 ), n + 1 > λ(c1 − c2 ).= min λa0Таким образом неподвижная точка отображения O существует и можетбыть найдена за n + 1 шагов, то есть после n + 1 алгебраических операцийбудут найдены частные производные порядка n искомой функции 1/f вточке 0.Таким же образом алгебраическим способом по известному [f ] может√быть найдено [ f ], используя сжимающее отображениеa − b2O= √ .2 a0В [20] приведен аналогичный способ нахождения производных композиции произвольных дифференцируемых функций при помощи дифференциальной алгебры, что реализовано для автоматического дифференцирования в программе COSY Infinity [18].2.2Матричные отображенияРассмотрим динамическую систему, задаваемую с помощью дифферен-циальных уравненийdz = F(z, t), z ∈ Rn ,dt(2.2.1)т.е.
такую систему, что для любого начального условия z1 во время t1существует единственное решение z(t): z(t1 ) = z1 . Для заданного времени t1 можно определить функцию Mt1 →t2 такую, что z(t2 ) = Mt1 ,t2 (z1 ).55Следуя [20], функцию Mt1 →t2 , которая описывает эволюцию динамическойсистемы из t1 в t2 , будем называть матричным отображением (transfermap). Очевидно, что матричные отображения обладают следующим свойством:Mt1 →t3 = Mt2 →t3 ◦ Mt1 →t2 .Обозначим за I тождественное отображение, не изменяющее состояние системы:I = Mt2 →t1 ◦ Mt1 →t2 .В случае стационарной динамической системы, т.е. в случае, когда система дифференциальных уравнений (2.2.1) не зависит от времени t, матричное отображение зависит только от ∆t = t2 − t1 выполняется групповоесвойство:M∆t1 +∆t2 = M∆t2 ◦ M∆t1 .В динамике пучков часто рассматриваются периодические динамические системы, в этом случае матричное отображение имеет период ∆t:Mt→t+∆t = Mt+∆t→t+2∆t .В случае периодической системы с периодом ∆t достаточно рассматриватьэволюцию системы на протяжении ∆t.Накопительное кольцо является примером периодической системы спериодом Trev , изучение движения пучка в накопительном кольце можетбыть сведено к построению матричного отображения системы за один оборот.Рассмотрим уравнениеdz= f (z, s),ds56(2.2.2)где z = (r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
