Диссертация (1149463), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Исключим из уравнения (1.2.1)слагаемое, содержащее η-фактор:dS= Ω × S,dte1EΩ=−−G β×.mγ2 − 1c(1.3.1)Вертикальная скорость βy и продольная скорость βx в циклическомускорителе, вызванные бетатронными колебаниями, много меньше горизонтальной скорости βz , т.е. β ≈ (0, 0, βz ). Для простоты положим также27отсутствие вертикального и продольного электрического поля: Ey (s) = 0,Ez (s) = 0. Тогда E = (Ex , 0, 0) и вектор частот Ω имеет следующий вид:e1Ω = 0, −− G βz Ex , 0 .mc γ 2 − 1Т.е.

спин частицы вращается в горизонтальной плоскости XZ с частотой νsz :e1LEνsz =xcir2πm0 c2γ1−G ,γ2 − 1(1.3.2)В случае частицы с энергией отличной от «магической», множитель1/(γ 2 − 1) − G отличен от нуля, и поэтому спин вращается с частотой,зависящей от энергии частицы. Разложим G − 1/(γ 2 − 1) в ряд Тейлора вокрестности точки p = pm . Для этого рассмотрим f (γ(p)):f (γ(p)) = G −1.γ2 − 1Учитывая, чтоpp2 + m20,m0E=γ=mполучаемm0 2f (p) = G − 2 .pТаким образом, импульс «магической» частицы равенm0pmag = √ .GДифференцируя f (p) по p получаемm20 00m20f (p) = 2 3 , f (p) = −6 4 ,pp028следовательноf 0 (pmag ) = 2G1pmag, f 00 (pmag ) = −6G1p2mag.Получаем искомое разложение:231∆p∆p∆p−G+3G= 0−2G+O. (1.3.3)γ2 − 1pppmagmagmagpmag +∆pИз (1.3.2) и (1.3.3) следует, что в качестве первого приближения неко-герентность спиновой частоты может быть оценена с помощью простойформулыνsz = −2eE x Lcir ∆pG ,m0 c2 γpгде E x — усредненное значение продольного электрического поля в ускорителе.

Определим время декогеренции спина, следуя [42], как время, закоторое среднее квадратичное отклонение ориентаций спиновых векторов,входящих в пучок, достигнет одного радиана. При разбросе начального импульса ∆p/p = 5 · 10−5 (∆K/K0 = 10−4 , где K0 — кинетическая энергияравновесной частицы, а ∆K — разница между энергией частицы и K0 ),время декогеренции спина меньше одной миллисекунды, что составляетнесколько тысяч оборотов.В работе [69] было предложено использовать высокочастотное поле сцелью усреднения разброса по энергии относительно «магического» уровня. При наличии ВЧ поля спиновая частота модулируется синхротроннойчастотой νz , которая на два порядка выше, чем спиновая частота νsz .

Такимобразом, спин начинает осцилировать с малой амплитудой Φmax ∼ (νs /νsz )относительно центрального положения. Теперь разложим (1.3.2) в ряд Тейлора до второго порядка нелинейности. Принимая во внимание, что в разложение (1.3.3) входит член второго порядка (∆p/p)2 , центральное поло29жение спина медленно смещается (спин поворачивается в горизонтальнойплоскости). Усредняя по времени (1.3.3), этот член дает ненулевой вклад вчастоту спина:"# 2eE x Lcir∆p∆pνsz =−2G· cos(νz ϕ) + 3G· cos2 (νz ϕ) =2m0 c γp mp m 2eE x Lcir∆pG=3, (1.3.4)m0 c2 γp mгде за ( . . .)m обозначено среднее значение величины в скобках.Осциллирующая компонента спина всегда по модулю меньше Φmax , поэтому нам интересна лишь медленно растущая составляющая спиновой частоты. Она зависит от квадрата величины разброса по импульсу ∆p/p иопределяет некогерентность спиновой частоты. После усреднения по времени, член ∆p/p дает нулевой вклад в результирующую частоту спина.В пучке, кроме разброса по энергии, также существуют частицы с ненулевым отклонением от осей x и y.

Для рассмотрения зависимости νsx отначальных x и y представим отклонение спиновой частоты с помощью конечных разностей до второго порядка:δνsze=δm0 c2 γ δLorb δEx11− G Lorb Ex 1 +++ γδ,2γ −1LorbExγ(1.3.5)где Lorb — длина орбиты частицы. Представим каждый член формулы (1.3.5) в виде ряда Тейлора по степеням ∆p/p:δ 21∆p∆p−G=−2G+3G+ ...,γ2 − 1pp2∆p+ ...,p x 2δExx= −k1 + k2+ ...,ExRRδLorb∆p= α1+ α2Lorbp30(1.3.6) 21γ 2 − 1 ∆p(γ 2 − 1)2 ∆pγδ=−++ ...,γγ3p2γ 5pгде α1 и α2 — коэффициенты расширения орбиты первого и второго порядка соответственно [123], k1 и k2 — коэффициенты разложения электрического поля в окрестности равновесной траектории. Например, дляцилиндрического дефлектора коэффициенты разложения k1 = k2 = 1.Также уравнение (1.3.5) может быть записано в видеδνsz"#2x∆px ∆peLorb Ex GF2 α1 , k1 , k2 ,·+ 2F1 k1 , k2 ,·,=m0 γc2RpRp(1.3.7)гдеx1 + 3γ 2 x 2 1 + 3γ 2 x 5γ 2 − 1k2k1 +− 2α1 ,F2 (α, k1 , k2 , ) =−Rγ2Rγ2Rγ2 x 2xxF1 (k1 , k2 , ) = k1 + k2.RRRИными словами, время жизни поляризованного пучка зависит от квадрата разброса частиц по импульсу (∆p/p)2 , от коэффициента расширенияорбиты второго порядка α2 , который зависит от выбранной структурыускорителя, и от разложения поля Ex .

В работах [94, 96] предложен способ увеличения времени декогеренции спина до нескольких тысяч секундпри помощи электростатических дефлекторов специальной формы. Изменяя коэффициенты разложения поля k1 , k2 от дефлектора к дефлектору,возможно обеспечить увеличение времени жизни горизонтально поляризованного пучка, что будет рассмотрено в разделе 4.2.1.4Резонансный метод измерения ЭДМРассмотрим теперь метод измерения ЭДМ протона или дейтрона, пред-ложенный в [78]. Данный метод основан на измерении горизонтальной ком31поненты спина Sz изначально вертикально поляризованного пучка в результате взаимодействия ЭДМ с горизонтальным электрическим ВЧ-полемв магнитном кольце. Этот метод предложен в качестве предварительногоэксперимента по измерению ЭДМ и реализуется в ускорителе COSY [66,67, 55, 56].Перепишем уравнение (1.1.6) в виде системыeΩx = −mγeΩy = −mγeΩz = −mγ 1EyEzηExγGBx −− G · γ βz− βy+ γ− βz By + βx Bz,γ2 − 1cc2c 1EzExηEyγGBy −− G · γ βx− βz+ γ− βx Bz + βz Bx ,γ2 − 1cc2c 1ExEyηEzγGBz −− G · γ βy− βx+ γ− βx By + βy Bx .γ2 − 1cc2cБудем рассматривать движение пучка частиц в «идеальном» магнитномнакопительном кольце с ведущим магнитным полем без краевых полейB = (0, By , 0).

Предположим наличие горизонтального электрического поля, также без краевых полей: E = (Ex , 0, 0). Примем во внимание тот факт,что вертикальная и горизонтальная скорости много меньше продольной:βx , βy βz , поэтому β ≈ (0, 0, βz ).Тогда система уравнений принимает вид:eΩx = −mγeΩy = −mγηEx· γ− βz By ,2cEx1γGBy +− G · γ · βz,γ2 − 1c(1.4.1)Ωz = 0,при этомdSx= Ωy Sz ,dtdSy= −Ωx Sz ,dtdSz= Ωx Sy − Ωy Sx .dt32(1.4.2)В случае вертикально поляризованного пучка Sx = Sz = 0, Sy = 1 ирешение уравнения (1.4.2) имеет видΩx Ωy(1 − cos Ωxy t) ,Ω2xyΩ2xSy (t) = 1 − 2 (1 − cos Ωxy t) ,ΩxyΩxsin Ωxy t,Sz (t) =ΩxySx (t) =где Ωxy =q(1.4.3)Ω2x + Ω2y .В случае отсутствия ЭДМ η = 0 и S(y) = 1, то есть вертикальнаяполяризация сохраняется. При наличии ЭДМ на уровне dp = 10−29 e · смполучаем η = 1, 9 · 10−15 (1.2.8), а амплитуда осцилляций спина при Ex =0 определяется соотношением Ωx /Ωxy ≈ η/2G ≈ 10−15 , что невозможноизмерить при помощи существующих методов.

Для увеличения спиновыхосцилляций предложено [78] использовать горизонтальное электрическоеВЧ-поле E(t) = Erf · cos(2πfrf · t + ψ), где Erf , frf , ψ — амплитуда, частотаи фаза поля соответственно.Положим τ = 2πt/T rev, то есть величина τ /2π есть количество оборотовза время t. Тогда2πtdτ = dTreveB= d 2π · t ·2πmγ=eBydtmγи уравнения (1.4.1), (1.4.2) принимают видdSx1Ex= − γG +− G γβz ·Sz ,dτγ2 − 1cBydSyηExη=γ·− γβz Sz ,dτ2 cBy2dSzη1ExηEx=− γ·− γβz Sy + γG +− G γβz ·Sx .dτ2 cBy2γ2 − 1cBy33(1.4.4)Будем называть величину νs = γG спиновой частотой; при отсутствииэлектрического поля (и ЭДМ) спин частицы совершает 2πνs поворотов вгоризонтальной плоскости за один оборот в кольце.Электрическое ВЧ-поле, создаваемое дефлектором длиной lrf , можетбыть представлено в видеEx = E(t) · E(s),E(t) = Erf · cos(2πfrf · t + ψ),llrf rf 1, s ∈ − 2 , 2 ,E(s) =lrf lrf 0, s ∈/ − ,.2 2Так как функция E(s) периодическая с периодом lrf , то ее можно представить в виде разложения в ряд Фурье:#∞Xlsin(nπlrf /Lcir )2πnE(s) = rf 1 + 2cos·s .Lcirnπl/LLcircirrfn=1"Учитывая, что lrf Lcir , а также frev = cβ/Lcir получим"E(s) =∞X#lrf1+2cos (2πnfrev · t) .Lcirn=1Обозначив за νrf соотношение frf /frev , перепишем (1.4.4) в видеdSx= − [νs + α cos Ψ(τ )] Sz ,dτdSy= − [νe − h cos Ψ(τ )] Sz ,dτdSy= [νe − h cos Ψ(τ )] Sy + [νs + α cos Ψ(τ )] Sx ,dτ34(1.4.5)гдеE ·l1α=− G γβz · rf rf ,2γ −1cBy LcirηE ·lh = γ · rf rf ,2 cBy Lcirηνe = γβz ,2Ψ(τ ) = (νrf ± n)τ + ψ.Отметим, что частота νe зависит от величины ЭДМ частицы.Оценим численные значения α, h, νe и νs для пучка протонов с энергией100 МэВ:α ≈ 1, 4 · 10−4 ,h ≈ 1, 25 · 10−19 ,νs = 1, 98,νe ≈ 0, 47 · 10−15 .Условия резонанса.

Рассмотрим систему уравнений движения спина (1.4.5) при Sx,z 1, что верно для эксперимента с начальной поляризацией Sy = 1. В силу малости α и h система упрощается доdSx= −νs · Sz ,dτdSy= −νe · Sz ,dτdSy= νe · Sy + νs · Sx .dτ(1.4.6)Продифференцировав третье уравнение системы по τ и подставив в негозначения для dSx , dSy получаемd2 Sz22+ν+νse Sz = 0,dτ 235откудаhpi22Sx (τ ) = −F · 1 − cos1 + νe /νs · νs τ ,ihp2221 + νe /νs · νs τ ,Sy (τ ) = 1 − F · 1 − cosp22Sz (τ ) = F · sin1 + νe /νs · νs τ ,где1νeF =p· .1 + νe2 /νs2 νsПри νe ≈ 0, 47 · 10−15 , νs = 1, 98 находим значение F :F ≈ 2, 4 · 10−16 .Теперь решим (1.4.5) при реальных значениях α, h > 0.

Характеристики

Список файлов диссертации