Диссертация (1149463), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Такое уравнение задает динамическую системув шестимерном фазовом пространстве. По известным начальным значениям в точке s = s0 , значения ri могут быть представлены в видеri = mi,s0 →s (r1 , . . . , r6 ), i = 1, 6(2.2.3)Шесть функций mi,s0 →s являются элементами матричного отображенияMs0 →s движения этой системы из s0 в s. Уравнения движения динамической системы 2.2.2 могут быть переписаны в видеri0 = fi (s, r1 , . .

. , r6 ), i = 1, 6.(2.2.4)Элементы матричного отображения Ms0 →s быть представлены в видеследующего разложения:mi,s0 →s =6X rj (ri , rj ) +j=16X(ri , rj rk ) +rk6X! rl (. . .)  , (2.2.5)l=kk=jгде за (ri , rj ), (ri , rj rk ), . . . обозначены неизвестные коэффициенты разложения.Функции fi (s, r1 , . . . , r8 ) могут быть записаны в виде разложения в степенной рядfi (s, r1 , .

. . , r8 ) =6Xj=1rj(ri0 , rj ) +6Xrk(ri0 , rj rk ) +k=j6X!!!rl (. . .),(2.2.6)l=kгде коэффициенты (ri0 , rj ), (ri0 , rj rk ) известны.Подставляя разложение Тейлора ri (2.2.3) в разложение для ri0 (2.2.4)и сравнивая коэффициенты можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных функций (ri , rj ), (ri , rj rk ),(ri , rj rk rl ), . . . Такая система уравнений может быть решена для требуемо57го момента времени s.

Зная коэффициенты разложения в формуле (2.2.5),также можно записать матричное отображение Ms0 →s в широко используемой нотации TRANSPORT [21]:ri (s) =6Xj=1Rij rj (0) +6XTijk rj (0)rk (0) +6XUijkl rj (0)rk (0)rl (0) + . . . ,i,j,k=1j,k=1где Rij = (ri , rj ), Tijk = (ri , rj rk ), Uijkl = (ri , rj rk rl ) в приведенных вышеобозначениях. Матрицы R, T , U соответствуют линейной, квадратичнойи кубической частям матричного отображения M0→s . Следует отметить,что получение элементов M для высоких порядков нелинейности являетсясложной вычислительной задачей.Движение частицы в управляющих полях описывается дифференциальным уравнением (2.2.2), на правую часть которого можно наложитьнекоторые ограничения (в зависимости от управляющего элемента), и коэффициенты матричного отображения могут быть вычислены аналитически.

Аналитические представления матричных отображений для основныхэлементов ускорителей известны для третьего порядка нелинейности [39,38]; получение аналитических представлений более высоких порядков сопряжено с большими вычислительными трудностями при разложении fiв ряды и сопоставлении коэффициентов для составления систем уравнений. Используя методы дифференциальной алгебры и методы численногоинтегрирования можно получить представление матричных отображенийвысоких порядков нелинейности, что будет рассмотрено в следующем разделе.582.3Применение методов дифференциальной алгебры дляпостроения отображенийРассмотрим способ применения методов дифференциальной алгебрыдля практического построения отображений произвольных элементов ускорителя. Отметим, что, кроме редких случаев простых систем, невозможнополучить матричное отображение ускорителя в аналитическом виде. Темне менее, используя численное интегрирование, возможно вычислить траекторию движения заряженной частицы из начального состояния в конечное.Уравнения движения.

Как и в Главе 1, вместо декартовой системыкоординат будем далее использовать криволинейную систему координат,связанную с равновесной траекторией. В качестве независимой переменнойбудем использовать длину s, измеряемую вдоль равновесной траектории.За h(s) обозначим мгновенную кривизну равновесной траектории, радиускривизны будем обозначать ρ(s). Положение частицы в циклическом ускорителе также может быть определено с помощью угла в горизонтальнойплоскостиZsα=h ds.s0Следуя [16, 13], для описания движения будем использовать следующиекоординаты:r1 = x,r2 = a = px /p0 ,r3 = y,r4 = b = py /p0 ,(2.3.1)r5 = l = v0 (t − t0 ), r6 = δK = (K − K0 )/K0 ,где p0 , K0 , v0 , t0 — импульс, кинетическая энергия, скорость и время движения равновесной частицы соответственно, x, y, px , py — координаты ча59стицы в движущейся системе координат.Уравнения движения в декартовой системе координат имеют вид:ddPP = F,r=p,dtdt1 + P2 /m2 c2где P — импульс частицы в декартовых координатах.

Перепишем уравнение для импульса в интегральной форме:Zt(s)ZsP(s) = P(s0 ) +F(t) dt = P(s0 ) + F(s)t0 ds,s0t(s0где t0 = dt/ds.Далее перейдем к координатам, связанным с равновесной траекторией:Zsp = Θ(s) · P(s0 ) +F(s)t0 ds ,(2.3.2)s0где Θ(s) — матрица поворота, имеющая видRs!Rs! h ds0 sinh ds cosss00Θ(s) = 010!!ssRR − sinh ds 0 cosh dss0.s0Дифференицируя (2.3.2) по s, получим уравнение движения в подвижнойсистеме координат:p0 = Ft0 + (0, h, 0) × p.(2.3.3)Рассмотрим движение частицы за ∆s. За этот промежуток частица перемещается на расстояние (1 + hx)∆s, т.е.

отношение угла наклона тра60ектории этой частицы к равновесной траектории есть ∆x/((1 + hx)∆s). Сдругой стороны, отношение угла наклона траектории частицы к равновесной есть px /pz , поэтомуx0 = (1 + hx)px 0py, y = (1 + hx) .pzpzВ первом порядке приближения также∆t =1p 2∆s (1 + hx)2 + ∆x2 + ∆y 2 .vИз двух предыдущих уравнений следует1t = (1 + hx)v0sp2x + p2y1p=(1+hx).1+p2zv pz(2.3.4)В случае движения частицы в электромагнитных полях на нее действует сила Ньютона-Лоренца:F = q (E + v × B) .Из (2.3.1) следует, что мгновенная кинетическая энергия частицыK = K0 (1 + δK) − qV (x, y, s),где V — электрический потенциал (1.1.2).Введем релятивистский коэффициент ζ следующим образом:ζ=K.mc2Так как K = mc2 ((1−v 2 /c2 )−1/2 −1), можно записать (1−v 2 /c2 )−1/2 = 1+ζ,61откудаv=cpζ(2 + ζ).1+ζ(2.3.5)pИз уравнения (2.3.5) и выражения для импульса p = mv/ 1 − v 2 /c2 =mv(1 + ζ) получимpp= ζ(2 + ζ).mc(2.3.6)Уравнения (2.3.5), (2.3.6) позволяют получить скорость и импульс частицы, зная величину ζ.

Разделив (2.3.6) на (2.3.5) получимp= m(1 + ζ).v(2.3.7)Из уравнений (2.3.4) и (2.3.7) получаем уравнение движения для l:l0 = v0 t0 = (1 + hx)p/v p01 + ζ p0= (1 + hx).p0 /v0 pz1 + ζ0 p z(2.3.8)Найдем отношение pz /p0 , учитывая определения (2.3.1) и уравнение (2.3.6):pz=p0sp2p20s− a2 − b2 =ζ(2 + ζ)− a2 − b 2 .ζ0 (2 + ζ0 )(2.3.9)Теперь уравнение (2.3.3), учитывая (2.3.4) и (2.3.8), принимает вид:ddspx p y pz, ,p 0 p0 p 0t0vppzpx= qE + q× B(1 + hx) + h, 0, −=p0vp0pzp0p0E 0 pBp0pzpx=l +×(1 + hx)+h, 0, −=χEp0 χ Bpzp0p01 + ζ p0 Ep0 p0Bpzpx=+ a ,b ,1+h, 0, −,1 + ζ0 pz χEpz pzχBp0p0где χE = p0 v0 /q, χB = p0 /q — электрическая и магнитная жесткостисоответственно.62Таким образом, уравнения движения частицы в подвижной системе координат можно записать в следующем виде:p0,pzp0= b(1 + hx) ,pz1 + ζ p0= (1 + hx),1 + ζ0 pzp0 Bzpz1 + ζ p0 Ex By−+b(1 + hx) + h ,=1 + ζ0 pz χE χBp z χBp0Bxp0 Bz1 + ζ p0 Ey=−+a(1 + hx),1 + ζ0 pz χE χBp z χBx0 = a(1 + hx)y0l0a0b0(2.3.10)гдеK0 − qV (x, y, s),m0 c2spzζ(2 + ζ)=− a2 − b2 .p0ζ0 (2 + ζ0 )ζ=Движение спина определяется уравнением Т–БМТ (1.1), (1.1.6):dS= ω × S,dteG1Eω=−(1 + Gγ)B +(P · B) + G +P×,γm0 c1+γ1+γcгде G = (g − 2)/2 — аномальный магнитный фактор, P = p/m0 c — нормализованный импульс, иВ подвижной системе координат это уравнение принимает следующийвид [14]:dS= t0 ω × S + h × S,dt(2.3.11)где h = (hx , hy , hz ) — вектор, состоящий из кривизн подвижной системыкоординат в плоскостях Y Z, XZ и XY соответственно.Уравнения (2.3.10) и (2.3.11) определяют спин-орбитальное движение63частицы во внешних электромагнитных полях.

Отметим, что эти уравнения не учитывают такие эффекты, как синхротронное излучение1 и влияние спина на орбитальное движение2 .Описание управляющих полей. Электромагнитные поля удовлетворяют уравнениям Максвелла 1.1.4, кроме того, ∇ × E = 0 и ∇ × B = 0.В этом случае электрический и магнитный потенциалы могут быть представлены в виде ряда:V (x, y, s) =∞ X∞Xi=0xi y jai,j (s).i!j!j=0(2.3.12)Волновое уравнение (1.1.3) имеет вид уравнения Лапласа ∆V = 0 и вподвижной системе координат:1∂V∂ 2V1∂∂1 ∂V∆V =(1 + hx)++= 0.1 + hx ∂x∂x∂y 21 + hx ∂s 1 + hx ∂sПодставляя разложение поля (2.3.12) в уравнение Лапласа получим следующее реккурентное соотношение для коэффициентов разложения поляai,j [13]:ai,j+2 = −a00i,j − iha00i−1,j + ih0 a0i−1,j − ai+2,j − (3i + 1)hai+1,j −− 3ihai−1,j+2 − i(3i − 1)h2 ai,j − 3i(i − 1)h2 ai−2,j+2 −− i(i − 1)2 h3 ai+1,j − i(i − 1)(i − 2)h3 ai−3,j+2 , (2.3.13)где ai,j = 0 для i, j < 0.

Это соотношение позволяет вычислить все коэффициенты разложения поля ai,j , зная лишь коэффициенты при j = 0, 1. Вслучае электрического потенциала ai,1 = 0 и коэффициенты разложения1синхротронное излучение — излучение, испускаемое заряженными частицами при движении в сильном магнитном поле2эффект Штерна–Герлаха64поля можно найти, зная разложение Ex поля в горизонтальной плоскости.В случае магнитного поля ai,0 = 0 и для нахождения коэффициентов разложения достаточно знать разложение поля By . Если поле не зависит от s,соотношения значительно упрощаются:ai,j+2 = −ai+2,j − iai−1,j − (i − 1)ai+1,j .На практике при построении матричных отображений порядка n достаточно вычислить разложение полей до порядка n [12].Краевые поля.

При исследовании ускорительных колец важное значение имеют краевые поля элементов ускорителя. Краевые поля являютсяисточниками нелинейных аберраций, влияют на динамическую апертуру идругие параметры ускорителя [17, 108]. Для учета краевых полей применяют различные математические модели [124, 25, 22]. Рассмотрим модель,применяемую в программе COSY Infinity, аппроксимирующую поле на оптической оси элемента с использованием функции Энге [18].В этой модели магнитное поле B(x, y, s) (или электрическое полеE(x, y, s)) элемента ускорителя с апертурой D и длиной L представляетсяв видеB(x, y, s) = F (s) · B(x, y, l0 ), s ∈/ [l0 , l0 + L],. B(x, y, l ), s ∈ [l , l + L],00 0где l0 — положение s элемента в кольце, а функция F (s) называется функцией Энге и имеет следующий вид:F (s) =1.1 + exp(a1 + a2 · (s/D) + .

Характеристики

Список файлов диссертации