Диссертация (1149310), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Вектор площадейj2k2  i2=ċ = rsinf−rcosf0TNW=r cos f T k2 + r sin f N k2 − (r cos f i2 + r sin f j2) W.(1.63a)2. Модуль вектора площадейċ = r(cos f T + sin f N).3. Фокальный параметр√2r pṗ =(cos f T + sin f N).κ(1.63b)(1.63c)604. Постоянная энергииκ pκḣ = v T = √1 + e2 + 2e cos θ T = √par1 + e cos ET.1 − e cos E(1.63d)5. Большая полуось22a22a2 pȧ = 2 v T = √1 + e2 + 2e cos θ T =κκ pωr1 + e cos ET.1 − e cos E(1.63e)6. Среднее движение33ω̇ = − √ v T = −aκ ar1 + e2 + 2e cos θ3T=−1 − e2ar1 + e cos ET.1 − e cos E(1.63f)7.

Эксцентриситет√√2 p(e + cos θ)r p sin θ√ė = √T−N,κ 1 + e2 +2e cos θκa 1 + e2 + 2e cos θ√√2 a 1 − e2 cos Er p sin E√ė = √T−N.κ 1 − e2 cos2 Eκa 1 − e2 cos2 E(1.63g)(1.63g′)8. Истинная аномалия√√r 2e + 1 + e2 cos θ2 p sin θκ pθ̇ = 2 − √T− √ √N, (1.63h)rκe 1 + e2 + 2e cos θκe p 1 + e2 + 2e cos θr√√√κ p2 p sin Ea(e + cos E) 1 − e cos Eθ̇ = 2 − √T−N. (1.63h′ )22rκe1 + e cos Eκe 1 − e cos E9. Эксцентрическая аномалия√κ2 a sin θr(e + cos θ)Ė = √ − √T− √ √N,r a κe 1 + e2 + 2e cos θκe a 1 + e2 + 2e cos θr√√p cos E 1 − e cos Eκ2 a sin ET−N.Ė = √ − √κe1 + e cos Er a κe 1 − e2 cos2 E(1.63i)(1.63i′)10.

Средняя аномалия2r sin θ(1 + e2 + e cos θ)r(1 − e2 ) cos θṀ = ω − √ √T− √ √N,κe a 1 + e2 + 2e cos θκe a 1 + e2 + 2e cos θ(1.63j)61r√√2 a 1 − e3 cos E sin Ep(e − cos E) 1 − e cos E√Ṁ = ω −T+N.κe1 + e cos Eκe 1 − e2 cos2 E(1.63j′)11. Эпоха перицентра!√2r 1 + e2 + e cos θ sin θ3a 1 + e2 + 2e cos θ(t − τ ) T+−√√ √κ pκω ae 1 + e2 + 2e cos θτ̇ =r(1 − e2 ) cos θN,√ √κω ae 1 + e2 + 2e cos θ!√√ r32 a sin E 1 − e cos E3 a 1 + e cos E√τ̇ =−(t − τ ) T−κ1 − e cos Eκωe 1 − e2 cos2 Er√p (e − cos E) 1 − e cos EN.−κωe1 + e cos E+(1.63k)(1.63k′ )12. Наклон•ı=r cos w√ W.κ p(1.63l)13. Аргумент широты√κ p r ctg i sin wẇ = 2 −W.√rκ p(1.63m)14. Аргумент перицентра√2 p sin θr 2e + 1 + e2 cos θr ctg i sin wσ̇ = √T+ √ √N−W,√κ pκe 1 + e2 + 2e cos θκ pe 1 + e2 + 2e cos θ(1.63n)√√2 p sin Ea(e + cos E)σ̇ = √T+κeκe 1 − e2 cos2 Er1 − e cos Er ctg i sin wN−W.√1 + e cos Eκ p(1.63n′ )15.

Долгота восходящего узлаr sin wΩ̇ = √W.κ p sin i(1.63o)62Синус и косинус аргумента широты выражены через истинную и эксцентрическую аномалии согласно (1.29).1.5.О возможности сведения уравнений типа Эйлера к уравнениям типа ЛагранжаВ небесной механике уравнениям типа Эйлера предпочитают урав-нения типа Лагранжа: вместо трех компонент возмущающего ускорения вних фигурирует одна пертурбационная функция R. Точнее, правые частиуравнений изменения оскулирующих элементов линейно зависят от частных производных пертурбационной функции R по элементам [43, 26]. Исследуем возможность сведения выведенных выше уравнений к лагранжевой форме, предполагая вектор P постоянным в одной из описанных системотсчета.1.5.1.Основная (инерциальная) система отсчетаПостоянная в инерциальной системе отсчета сила P потенциальна идаже консервативна: P = grad R, R = ξ1 P1 + ξ2 P2 + ξ3 P3 ,∂R= P1 ,∂ξ1∂R= P2 ,∂ξ2∂R= P3 .∂ξ3Поэтому справедливы известные уравнения Лагранжа.Понятие частной производной зависит от совокупности выбранныхнезависимых элементов, поэтому теперь нельзя записывать много уравнений, следует ограничиться шестью.

В качестве независимых элементоввыберем (a, e, i, Ω, σ, M):√2 a ∂Rȧ =,κ ∂M63√1 − e2 ∂R1 − e2 ∂R√√−,ė =κe a ∂Mκe a ∂σctg i∂R∂R1•ı= p− p,κ a (1 − e2 ) ∂σ κ a (1 − e2 ) sin i ∂Ω1∂R,Ω̇ = pκ a (1 − e2 ) sin i ∂i√ctg i∂R1 − e2 ∂R√σ̇ =− p,κe a ∂eκ a (1 − e2 ) ∂i√κ2 a ∂R 1 − e2 ∂RṀ = 3/2 −− √.κ ∂aκe a ∂ea(1.64)Выведем аналогичные уравнения для системы элементов орбиты(ω, e, i, Ω, σ, M). Выбор ω вместо a предпочтительнее тем, что упрощаетсвободный член уравнения для изменения средней аномалии.

Посколькузамена a 7−→ ω не затрагивает остальные пять элементов, достаточно в2/3 ∂R3ω 5/3 ∂R3ω 5/3(1.64) положить a = κω, ∂a = − 2κ2/3 ∂ω , ω̇ = − 2κ 2/3 ȧ и получить:3ω 4/3 ∂Rω̇ = − 4/3,∂Mκ√ω 1/3 1 − e2 ∂Rω 1/3 1 − e2 ∂Rė =−,∂M∂σκ 4/3eκ 4/3e∂Rω 1/3 ctg i ∂Rω 1/3•ı=√√−,κ 4/3 1 − e2 ∂σ κ 4/3 1 − e2 sin i ∂Ω∂Rω 1/3√Ω̇ =,κ 4/3√ 1 − e2 sin i ∂iω 1/3 1 − e2 ∂Rω 1/3 ctg i ∂R√σ̇ =−,∂eκ 4/3eκ 4/3 1 − e2 ∂i3ω 4/3 ∂R ω 1/3(1 − e2 ) ∂RṀ =ω + 4/3−.∂ω∂eκκ 4/3e(1.65)Проверим справедливость уравнений (1.64) при R = ξ1 P1 + ξ2 P2 +ξ3P3 . Для любого элемента ǫ вследствие постоянства P можно записатьравенство вида:∂R∂ξ1∂ξ2∂ξ3= P1+ P2+ P3.∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ(1.66)64Используя (1.21), (1.23) и учитывая, чтоa(1 − e2),r = a(1 − e cos E) =1 + e cos θM = E − e sin E,w = σ + θ,найдем сначала отличные от нуля промежуточные частные производныеот E, r, θ по всем элементам:∂Esin E=,∂e1 − e cos E∂E1=,∂M1 − e cos E∂r1 − e2∂r∂rae sin θ=,= −a cos θ,=√,∂a 1 + e cos θ∂e∂M1 − e2∂θ(2 + e cos θ) sin θ∂θ(1 + e cos θ)2=,=,∂e1 − e2∂M(1 − e2 )3/2(1.67)Теперь найдем производные от a11 , a21, a31:∂a11∂e∂a11∂σ∂a21∂e∂a21∂σ∂a31∂e∂θ∂a11,= sin i sin(σ + θ) sin Ω,∂e∂i∂a11∂a11∂θ= a12,= −a21,= a12,∂Ω∂M∂M∂θ∂a21= a22 ,= − sin i sin(σ + θ) cos Ω,∂e∂i∂a21∂a21∂θ= a22,= a11,= a22,∂Ω∂M∂M∂θ∂a31∂a31= a32 ,= cos i sin(σ + θ),= a32 ,∂e∂i∂σ= a12(1.68)∂a31∂θ= a32,∂M∂Mа затем частные производные координат по элементам:∂ξ1∂a∂ξ1∂e∂ξ2∂e∂ξ3∂e∂ξ1∂i∂ξ21 − e2=a21 ,∂a1 + e cos θ2 + e cos θ= −a cos θa11 + a sin θa12 ,1 + e cos θ2 + e cos θ= −a cos θa21 + a sin θa22 ,1 + e cos θ2 + e cos θ= −a cos θa31 + a sin θa32 ,1 + e cos θa(1 − e2 )=sin i sin(σ + θ) sin Ω,1 + e cos θ=1 − e2a11,1 + e cos θ∂ξ31 − e2=a31,∂a1 + e cos θ65∂ξ2∂i∂ξ3∂i∂ξ1∂Ω∂ξ1∂σ∂ξ1∂M∂ξ2∂M∂ξ3∂Ma(1 − e2 )=−sin i sin(σ + θ) cos Ω,1 + e cos θa(1 − e2 )=cos i sin(σ + θ),1 + e cos θa(1 − e2 )∂ξ2a(1 − e2 )=−a21,=a11 ,1 + e cos θ∂Ω1 + e cos θa(1 − e2 )∂ξ2a(1 − e2 )∂ξ3a(1 − e2 )=a12,=a22 ,=a32,1 + e cos θ∂σ1 + e cos θ∂σ1 + e cos θae sin θa(1 + e cos θ)=√a11 + √a12 ,1 − e21 − e2ae sin θa(1 + e cos θ)=√a21 + √a22 ,1 − e21 − e2a(1 + e cos θ)ae sin θ=√a31 + √a32 .(1.69)1 − e21 − e2Подставляя (1.69) в (1.66), получим:∂R1 − e21 − e2=(P1 a11 + P2 a21 + P3 a31) =(cos θ Φ1 + sin θ Φ2 ),∂a1 + e cos θ1 + e cos θ∂R= −a cos θ (P1 a11 + P2 a21 + P3 a31 ) +∂e2 + e cos θ+ a sin θ(P1 a12 + P2 a22 + P3 a32 ) =1 + e cos θaa cos θ sin θ=(−2 − e cos θ + cos2 θ) Φ1 +Φ2 ,1 + e cos θ1 + e cos θa 1 − e2∂R=sin(σ + θ) (sin i sin ΩP1 − sin i cos ΩP2 + cos iP3 ) =∂i1 + e cos θa 1 − e2=sin(σ + θ) Φ4,1 + e cos θa 1 − e2a 1 − e2∂R=(−P1 a21 + P2 a11) = −Φ3 ,∂Ω1 + e cos θ1 + e cos θ a 1 − e2a 1 − e2∂R=(P1 a12 + P2 a22 + P3 a32) =(− sin θ Φ1 + cos θ Φ2),∂σ1 + e cos θ1 + e cos θ∂Ra=√((a12 + eb12) P1 + (a22 + eb22) P2 + (a32 + eb32) P3 ) =∂M1 − e2a=√(− sin θ Φ1 + (e + cos θ)Φ2).(1.70)1 − e2Подставив (1.70) в (1.64), получим соответствующие уравнения (1.51),что и требовалось.

Верны и выражения (1.65), поскольку они получены из66(1.64) путем элементарных преобразований.1.5.2.Первая сопровождающая системаОписание задачи относительно подвижного репера является частнымслучаем введения обобщенных координат. В стационарном случае обобщенные силы Qj потенциальны, если существует функция от обобщенных координат V (q) такая, чтоQj = −∂V (q),∂qj(j = 1, ..., n).Обобщенные силы, зависящие от обобщенных скоростей, не могут быть потенциальными и, при их наличии, казалось бы нельзя использовать уравнения Лагранжа .

Но можно определить понятие потенциальной обобщеннойсилы так, чтобы уравнения Лагранжа оказались пригодными для описания движения системы при наличии сил, зависящих от скоростей [2, гл. IV,§ 5], [36, § 6.6].Обобщенные силы называются обобщенно потенциальными, если существует обобщенный потенциал V ∗ (q̇, q) такой, чтоQj =d ∂V ∗ ∂V ∗−,dt ∂ q̇j∂qj(j = 1, ..., n).(1.71)Как принято в механике, приложенные силы не зависят от ускорений.

Какследствие обобщенные силы также не зависят от обобщенных ускорений q̈,отсюда следует линейность обобщенного потенциала относительно обобщенных скоростей:∗V =nXj=1Vj (q) q̇j + V0 (q).67Подставляя это выражение в (1.71), получим:n X∂V0∂Vj ∂Vk−q̇k −,Qj =∂qk∂qj∂qjk=1так что обобщенные силы также линейны по обобщенным скоростям.Обычные скорости и обобщенные скорости — линейные функции другдруга [2, гл. IV, § 1]r = r(q),nX∂rv=q̇j .∂qjj=1Обычные силы и обобщенные силы — также линейные функции друг друга[2, гл.

IV, § 2]Qj = P1∂ξ1∂ξ2∂ξ3+ P2+ P3.∂qj∂qj∂qjКак следствие этих двух фактов, из линейности обобщенной силы Q пообобщенным скоростям q̇1 , q̇2, q̇3 вытекает линейность обычной силы P пообычным скоростям ξ˙1, ξ˙2 , ξ̇3.Установим характер зависимости силы P от скорости для первой сопровождающей системы. Согласно (1.41):  P1 S  P  = B 1  T  ,  2  WP3(1.72)где матрица B1 (1.42) составлена из направляющих косинусов векторовi1 , j1, k1 относительно O. В силу постоянства S, T, W достаточно исследовать зависимость от скорости матрицы B1.Первый столбец (1.42) не зависит от скоростей, так как в силу (1.21)a11 =ξ1,ra21 =ξ2,ra31 =ξ3.r(1.73)68Второй согласно (1.22) равенa12 =ξ˙1 − a11 ṙ,vTa22 =ξ˙2 − a21 ṙ,vTa32 =ξ˙3 − a31 ṙ.vT(1.74)Здесь и ниже ṙ — радиальная, vT — трансверсальная компоненты скорости,v — модуль скорости:ξ1 ξ˙1 + ξ2 ξ˙2 + ξ3ξ˙3ṙ =,rqv = ξ˙12 + ξ˙22 + ξ˙32,Третий столбец равенa13ξ2 ξ˙3 − ξ3 ξ˙2=,ca23ξ3 ξ˙1 − ξ1 ξ˙3=,ca33pvT = v 2 − ṙ2 .ξ1 ξ˙2 − ξ2 ξ˙1=,c(1.75)гдеc=q(ξ2ξ˙3 − ξ3 ξ˙2 )2 + (ξ3ξ˙1 − ξ1 ξ˙3 )2 + (ξ1ξ˙2 − ξ2 ξ˙1 )2.Итак, элементы второго и третьего столбца матрицы B1 зависят отскоростей ξ˙1 , ξ̇2, ξ˙3 нелинейно, следовательно обобщенный потенциал можетсуществовать лишь при условииT = W = 0.В этом случаеP1 =ξ1S,rP2 =ξ2S,rP3 =ξ3S,rтак что существует обычный потенциалR = rS,и система уравнений движения консервативна.

Характеристики

Список файлов диссертации