Диссертация (1149310), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ясно, что правые части для скорости изменения i, σ, w будут зависеть, наряду с r, ṙ, c, P, еще и от вектора k. Казалось бы, правые части для скорости изменения Ω будут зависеть еще и отi, поскольку от его направления зависят значения Ω. Однако поворот напостоянный угол не меняет скорости изменения Ω. Поэтому, как мы покажем, можно избежать зависимости от i, j.
Иными словами, уравнения типаЭйлера для рассматриваемых элементов зависят от выбора основной плоскости, но не от выбора в ней начала отсчета углов. Поэтому мы говорим ополуинвариантности [39].1. Запишем третью компоненту вектора площадей в виде√ck = κ p cos i.В результате дифференцирования получимċk =κ cos i√•√ ṗ − κ p sin i ı,2 pгде мы обозначили производную от i жирной точкой. Пользуясь первой итретьей формулами (1.2), получим•ı=ctg i1(crP)−(rPk).√κ 2pκ p sin i(1.20)2.
Нам понадобятся следующие представления векторов положенияr(ξ1, ξ2, ξ3) и скорости ṙ(ξ˙1 , ξ̇2, ξ̇3) через элементы матриц вращения [48, 53]:ξ1 = ra11 ,ξ2 = ra21 ,ξ3 = ra31 ,(1.21)41κ p˙ξ1 = √a11 e sin θ + a12=prκ p˙ξ2 = √a21 e sin θ + a22=prpκ ˙ξ3 = √a31 e sin θ + a32=prκ√ (a12 + eb12 ) ,pκ√ (a22 + eb22 ) ,pκ√ (a32 + eb32 ) .p(1.22)Здесь и ниже мы ввели обозначенияa11 = cos w cos Ω − cos i sin w sin Ω, a12 = − sin w cos Ω − cos i cos w sin Ω, a13 = sin i sin Ω,a21 = cos w sin Ω + cos i sin w cos Ω, a22 = − sin w sin Ω + cos i cos w cos Ω, a23 = − sin i cos Ω,(1.23)a31 = sin i sin w,a32 = sin i cos w,a33 = cos i,b11 = cos σ cos Ω − cos i sin σ sin Ω,b12 = − sin σ cos Ω − cos i cos σ sin Ω,b13 = sin i sin Ω,b21 = cos σ sin Ω + cos i sin σ cos Ω,b22 = − sin σ sin Ω + cos i cos σ cos Ω,b23 = − sin i cos Ω,b31 = sin i sin σ,b32 = sin i cos σ,b33 = cos i.(1.24)Заметим, что величины (1.24) отличаются от (1.23) лишь заменой w на σ,причемa11 = b11 cos θ + b12 sin θ,a12 = b12 cos θ − b11 sin θ,a21 = b21 cos θ + b22 sin θ,a22 = b22 cos θ − b21 sin θ,a31 = b31 cos θ + b32 sin θ,a32 = b32 cos θ − b31 sin θ.(1.25)Переходя в (1.25) к эксцентрической аномалии, получимa11a21a31pa2= − (e − cos E)b11 − 1 − e sin Eb21 ,rpa2= − (e − cos E)b21 − 1 − e sin Eb22 ,rpa2= − (e − cos E)b31 − 1 − e sin Eb32 ,r(1.26)42a12a22a32a p2=−1 − e sin Eb11 + (e − cos E)b21 ,ra p2=−1 − e sin Eb21 + (e − cos E)b22 ,ra p21 − e sin Eb31 + (e − cos E)b32 .=−r(1.27)Дифференцируем третье соотношение (1.21) с учетом (1.22, 1.6):κκ•√ sin i(cos w + e cos σ) = √ e sin θ sin i sin w + r cos i sin w ı +r sin i cos wẇ.ppПользуясь (1.20), получим√κ pctg i1r sin i cos w ẇ =sin i cos w−r cos i sin w(crP) − √(rPk) .rκ 2pκ p sin iПосле преобразований√κ p ctg2 i tg wcos i tg wẇ = 2 −(crP) + √(rPk).2rκ pκ p sin2 i(1.28)Аргумент широты w легко выразить как через истинную, так и эксцентрическую аномалию, поскольку:√(cos E − e) cos σ − 1 − e2 sin E sin σcos w = cos(σ + θ) =,1−ecosE√1 − e2 sin E cos σ + (cos E − e) sin σsin w = sin(σ + θ) =.1 − e cos E3.
Уравнения (1.7) и (1.28) влекут1 2e + (1 + e2) cos θσ̇ = 2− ctg2 i tg w (crP)−2κ pe sin θp ctg θcos i tg w− 2 2 ṙP + √(rPk).κ eκ p sin2 i(1.29)(1.30)4. Из первых двух уравнений (1.21) легко найти следующие комбинации косинуса и синуса долготы восходящего узла:ξ1 cos Ω + ξ2 sin Ω = r cos w,−ξ1 sin Ω + ξ2 cos Ω = r cos i sin w.(1.31)43Дифференцируя первое соотношение (1.31)ξ˙1 cos Ω + ξ˙2 sin Ω + (−ξ1 sin Ω + ξ2 cos Ω)Ω̇ = ṙ cos w − r sin w ẇи пользуясь вторым соотношением (1.31), получимr sin w(ẇ + cos i Ω̇) = ṙ cos w − (ξ̇1 cos Ω + ξ˙2 sin Ω).(1.32)С учетом формул (1.22)κκξ˙1 cos Ω + ξ˙2 sin Ω = √ (a12 + eb12) cos Ω + √ (a22 + eb22) sin Ω =ppκ= √ (− sin w cos Ω − cos i cos w sin Ω) cos Ω+peκ+ √ (− sin σ cos Ω − cos i cos σ sin Ω) cos Ω+pκ+ √ (− sin w sin Ω + cos i cos w cos Ω) sin Ω+peκ+ √ (− sin σ sin Ω + cos i cos σ cos Ω) sin Ω =pκeκκeκ= − √ sin w cos2 Ω − √ sin σ cos2 Ω − √ sin w sin2 Ω − √ sin σ sin2 Ω =ppppκ= − √ (sin w + e sin σ) ,pи (1.32) принимает вид:κr sin w(ẇ + cos i Ω̇) = ṙ cos w + √ (sin w + e sin σ) .pС учетом (1.6) приходим к соотношениямκe sin θκe sin σẇ + cos i Ω̇ = √cos(σ + θ) + √ 1 +=r p sin wr psin wκκe= √ + √(cos σ sin θ cos θ − sin σ sin2 θ + sin σ) =r p r p sin wκκe= √ + √(cos σ sin θ cos θ + sin σ cos2 θ) =r p r p sin(σ + θ)κκe(cos σ sin θ cos θ + sin σ cos2 θ)κ= √ += √ (1 + e cos θ) .√r pr p(sin σ cos θ + cos σ sin θ)r p44Окончательно, поскольку 1 + e cos θ = p/r, получим:√κ pẇ + cos i Ω̇ = 2 .r(1.33)Интересно, что правая часть оказалась независящей от возмущающей силы, что можно показать без вычислений, пользуясь кинематическими игеометрическими соображениями [46, §16.6].
Но это не менее сложно, чемприведенный нами вывод (1.33).Подставив (1.28) в (1.33), получим:tg wcos iΩ̇ = √√ (crP) − (rPk) .κ p sin2 i κ p(1.34)Соберем вместе полученные формулы:1ctg i(crP)−(rPk),√κ2pκ p sin i√κ p ctg2 i tg wcos i tg wẇ = 2 −(crP)+(rPk),√rκ 2pκ p sin2 i1 2e + (1 + e2 ) cos θσ̇ = 2− ctg2 i tg w (crP)−2κ pe sin θp ctg θcos i tg w− 2 2 ṙP + √(rPk),κ eκ p sin2 i"√#211 − e (e + cos E)σ̇ = 2− ctg2 i tg w (crP)−2κ pe sin E•ı=p(cos E − e)cos i tg w√ṙP + √(rPk),κ p sin2 iκ 2e2 1 − e2 sin Etg wcos iΩ̇ = √√ (crP) − (rPk) .κ p sin2 i κ p−(1.35)Как видим, скорости изменения всех неинвариантных элементов линейно зависят от трех содержащих возмущающую силу величин: ṙP, (crP)и (rPk).45Уравнения для полуинвариантных элементов w и Ω, связанных с основной плоскостью, можно получить и другим способом [49], используяпредставление через элементы лишь r, но не ṙ. Покажем это.Изменение аргумента широты.
Обратимся к представлению координат (1.21) через элементы и продифференцируем по времени третью формулу:•ξ˙3 = ṙ sin i sin w + r cos i sin w ı +r sin i cos w ẇ.(1.36)В невозмущенном движении (1.36) можно представить в виде√κpξ˙3 = ṙ sin i sin w +sin i cos w,(1.37)r•√поскольку в этом случае ı= 0, r2ẇ = κ p. Формула (1.37) содержит толькокоординаты, скорости и элементы, но не ускорения или производные отэлементов. По определению оскуляции, она справедлива и в возмущенномдвижении. Вычитая (1.37) из (1.36), получим√κ p•r cos i sin w ı +r sin i cos w ẇ −sin i cos w = 0,rоткуда с учетом (1.20) находим√κ p ctg2 i tg wcos i tg wẇ = 2 −(crP)+(rPk).√rκ 2pκ p sin2 i(1.38)Изменение долготы узла.
В невозмущенном случае (1.32) можно представить в виде√κ psin w = ṙ cos w − (ξ˙1 cos Ω + ξ˙2 sin Ω).r(1.39)Формула (1.39) справедлива и в возмущенном движении. Вычитая (1.39)из (1.32), получим после преобразований√κ pẇ + cos i Ω̇ = 2 .r(1.40)461.4.Три системы отсчетаПриведенные выше уравнения типа Эйлера справедливы в любой си-стеме отсчета. Для практического применения следует выбрать какой-либорепер. В астрономии широко используются три координатные системы собщим началом S, но разными направлениями осей: основная O с ортамиi, j, k и две сопутствующие Os с ортами is , js , ks.
Орты системы O1 направлены по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусувектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Орты системы O2 направленыпо вектору скорости, главной нормали к оскулирующей орбите и бинормали(ее направление совпадает с вектором площадей). В качестве вспомогательной понадобится также система O′ с ортами, направленными в перицентроскулирующей орбиты, по нормали к i′ в плоскости оскулирующей орбитыв сторону движения и бинормали [39].Пусть Q —произвольный вектор, отнесенный к системе O.
Тот жевектор, отнесенный к системе Os , обозначим через Qs . Связь между нимидается матричными равенствамиQ = B s Qs ,Q1 = B 3 Q2 .(1.41)Здесь [43, 48]a11 a12 a13B1 = B1(i, Ω, w) = a21 a22 a23,a31 a32 a33(1.42)47Рис. 1.1: Угол поворота f вектора скорости v до совмещения с трансверсалью. Орты k1 ,k2 направлены на нас, ортогонально к орбитальной плоскости.sin fB3 = B3(f ) = cos f0− cos fsin f000.(1.43)1Здесь и ниже элементы aik , bik определяются формулами (1.23, 1.24).
Уголf (рисунок 1.1), на который надо повернуть вектор скорости до совмещенияс трансверсалью, определяется равенствамиr1 + e cos θ1 − e2cos f = √=,1 − e2 cos2 E1 + 2e cos θ + e2e sin θe sin Esin f = √=√.1 + 2e cos θ + e21 − e2 cos2 E(1.44)Как и следовало ожидать, угол f по модулю меньше π/2, положите-48лен при ṙ > 0 и отрицателен в противном случае.
В апсидах он обращаетсяв нуль и тождественно равен нулю на круговой орбите.Перемножая матрицы B1 и B3, получим матрицу B2(i, Ω, w, f ), третийстолбец которой совпадает с третьим столбцом B1 . Ниже приводим первыедва столбца:cos Ω sin(f − w) − cos i sin Ω cos(f − w) − cos Ω cos(f − w) − cos i sin Ω sin(f − w)sin Ω sin(f − w) + cos i cos Ω cos(f − w)sin i cos(f − w)− sin Ω cos(f − w) + cos i cos Ω sin(f − w).sin i sin(f − w)Видим, что B2 — это та же B1, где надо заменить w на 90◦ − f + w (рисунок 1.2).Раскрывая косинусы и синусы разности f −w, представим B2 в форме(a12 + b12e)/ṽ −(a11 + b11e)/ṽ a13B2 = (1.45)(a+be)/ṽ−(a+be)/ṽa22212123 , 22(a32 + b32e)/ṽ −(a31 + b31e)/ṽ a33√где ṽ = 1 + 2e cos θ + e2 .1.4.1.Основная система отсчетаОбратимся к первоначальной декартовой системе с началом в центрепритяжения S и неподвижными ортами i, j, k. СчитаемP = P1 i + P2 j + P3 k.(1.46)Основная задача — представить в этой системе скалярные и смешанныепроизведения ṙP, (crP), (rPk).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
