Диссертация (1149310), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Это несложно: координаты векторов r, ṙдаются формулами (1.21, 1.22). Приведем еще координаты c:√c = κ p(sin i sin Ω i − sin i cos Ω j + cos i k).(1.47)49Рис. 1.2: Углы поворота между осями с ортами i, i1 ; i, i2 ; i1 , i2 . Здесь мы направили ортi по линии узлов, чтобы все три оси лежали в орбитальной плоскости.В результате˙˙˙ṙP = ξ1P1 + ξ2P2 + ξ3 P3 =κ= √ [(a12 + eb12)P1 + (a22 + eb22)P2 + (a32 + eb32)P3 ] ,p c1 c2 c3 (crP) =  ξ1 ξ2 ξ3  = (c1 ξ2 P3 + c2 ξ3 P1 + c3 ξ1 P2 −P1 P2 P3(1.48a)√− c1 ξ3 P2 − c2 ξ1 P3 − c3 ξ2 P1 ) = κr p (P1 a12 + P2 a22 + P3 a32 ) ,(1.48b) ξ1 ξ2 ξ3 (rPk) =  P1 P2 P3  = (ξ1 P2 − ξ2 P1 ) = r (−P1 a21 + P2 a11 ) .0 0 1(1.48c)50Введем вспомогательные величиныΦ1 = b11P1 + b21P2 + b31P3 ,Φ2 = b12P1 + b22P2 + b32P3 ,Φ3 = a21 P1 − a11P2(1.49)и с помощью формул (1.25) и (1.27) представим соотношения (1.48) в видеκṙP = √ [−Φ1 sin θ + Φ2(e + cos θ)] =p√ipκ ah2−Φ1 sin E + Φ2 1 − e cos E ,=r√(crP) = κr p (−Φ1 sin θ + Φ2 cos θ) =ip√ h2= κa p −Φ1 1 − e sin E + Φ2 (cos E − e) ,(rPk) = −rΦ3 .(1.50)Заметим, что Φ1, Φ2 не зависят от быстрой переменной θ или E.Итак, мы выразили ṙP, (crP), (rPk) как через истинную, так и эксцентрическую аномалии.

Это позволяет представить правые части уравнений типа Эйлера (1.19) как линейные функции P1 , P2, P3 с коэффициентами, зависящими от одной из аномалий. Приведем искомые уравнения.1. Вектор площадей i j k ċ = ξξξ 1 2 3  = r(a31j − a21 k)P1 + r(a11k − a31 i)P2 +P1 P2 P3+ r(a21i − a11 j)P3 .(1.51a)51Это соотношение можно считать представленным как через истинную аномалию, так и через эксцентрическую, так как мы нашли соответствующиевыражения величин a11, a21, a31 для обоих случаев: (1.23), (1.26).2.

Модуль вектора площадейċ = r(− sin θ Φ1 + cos θ Φ2) ,ih pċ = a − 1 − e2 sin E Φ1 + (cos E − e)Φ2 .(1.51b)(1.51b′ )3. Фокальный параметр√2r pṗ =(− sin θ Φ1 + cos θ Φ2 ),κ√i2a p h p2ṗ =− 1 − e sin E Φ1 + (cos E − e)Φ2 .κ(1.51c)(1.51c′)4. Постоянная энергииκḣ = √ [− sin θ Φ1 + (e + cos θ)Φ2] ,p√ hipκ a2ḣ =− sin E Φ1 + 1 − e cos E Φ2 .r(1.51d)(1.51d′ )5. Большая полуось2a2ȧ = √ [− sin θ Φ1 + (e + cos θ)Φ2] ,κ pip2a h2ȧ =− sin E Φ1 + 1 − e cos E Φ2 .ωr(1.51e)(1.51e′)6. Среднее движение3ω̇ = − √[− sin θ Φ1 + (e + cos θ)Φ2] ,a 1 − e2ip3h2ω̇ = −− sin E Φ1 + 1 − e cos E Φ2 .r(1.51f)(1.51f′)527.

Эксцентриситетr ė = √ −(e + cos θ) sin θ Φ1 + (1 + 2e cos θ + cos2 θ)Φ2 ,κ p√ia ph p22− 1 − e cos E sin E Φ1 + (1 − 2e cos E + cos E)Φ2 .ė =κr(1.51g)(1.51g′)8. Истинная аномалия√κ pr (1.51h)θ̇ = 2 + √ (2 + e cos θ − cos2 θ)Φ1 − cos θ sin θ Φ2 ,rκe p√iκ p a3/2 hp22θ̇ = 2 +1 − e (2 − e cos E − cos E)Φ1 − (cos E − e) sin EΦ2 .rκer(1.51h′ )9. Эксцентрическая аномалияκr22Ė = √ + √(2−cosθ−e)Φ−(e+cosθ)sinθΦ,12r a κe a(1 − e2 )κa3/2 Ė = √ +2 − 2e cos E − (1 − e2 ) cos2 E Φ1 −r a κe rop2− 1 − e cos E sin E Φ2 .(1.51i)(1.51i′)10. Средняя аномалияṀ =ω +r√(2 − e cos θ − cos2 θ)Φ1 − (cos θ + 2e) sin θ Φ2 ,κ ae1 nṀ =ω +2 − e(3 + e2 ) cos E − (1 − 3e2 ) cos2 E Φ1−ωreop22− 1 − e e + (1 − 2e ) cos E sin E Φ2 .11. Эпоха перицентра√r 1 − e2τ̇ =√ [(−2 + e cos θ + cos2 θ)Φ1 + (2e + cos θ) sin θ Φ2]−κω pe3a(t − τ )−√ [− sin θ Φ1 + (e + cos θ)Φ2],κ p(1.51j)(1.51j′)(1.51k)531{[−2 + e(3 + e2) cos E + (1 − 3e2) cos2 E]Φ1+2ω erp+ 1 − e2 e + (1 − 2e2 ) cos E sin E Φ2}−p3(t − τ )[− sin E Φ1 + 1 − e2 cos E Φ2].−(1.51k′ )ωrДалее выразим через проекции возмущающего ускорения в основной сиτ̇ =стеме координат скорости изменения элементов, зависящих от выбора основной плоскости.12.

Наклон•ı= −r[cos i sin θ Φ1 − cos i cos θ Φ2 − Φ3 ] .√κ p sin i13. Аргумент широты√κ p r cos i tg w[cos i sin θ Φ1 − cos i cos θ Φ2 − Φ3] .ẇ = 2 + √rκ p sin2 i14. Аргумент перицентра(e cos i tg wrσ̇ = √[cos i sin θ Φ1 − cos i cos θ Φ2 − Φ3 ] −κe psin2 i)− (2 + e cos θ − cos2 θ)Φ1 + cos θ sin θ Φ2 .(1.51l)(1.51m)(1.51n)15. Долгота восходящего узлаΩ̇ = −r tg w[cos i sin θ Φ1 − cos i cos θ Φ2 − Φ3] .√κ p sin2 i(1.51o)Величина Φ3 появляется только в комбинации (cos i sin θ Φ1 −cos i cos θΦ2 − Φ3) и только у неинвариантных элементов. Прямые вычисления даютcos i sin θ Φ1 − cos i cos θ Φ2 − Φ3 = − sin i cos w Φ4 ,Φ4 = sin i sin Ω P1 − sin i cos Ω P2 + cos i P3 .(1.52)54Поэтому множитель tg w, встречающийся в некоторых из формул (1.51),не приводит к сингулярности.

Однако лучше переписать последние 4 формулы (1.51) в видеr cos w(1.51l′)√ Φ4 ,κ p√κ p r ctg i sin wẇ = 2 −Φ4 ,(1.51m′)√rκ pr σ̇ = − √ (2 + e cos θ − cos2 θ)Φ1 − cos θ sin θ Φ2 + e ctg i sin w Φ4 ,κe p•ı=(1.51n′ )1 npσ̇ =1 − e2 −2 + e cos E + cos2 E Φ1+ωreo r ctg i sin w+ (cos E − e) sin E Φ2 −Φ4 ,√κ pr sin wΩ̇ = √Φ4 .κ p sin i(1.51n′′ )(1.51o′)Заметим, что величины Φ1, Φ2, Φ4, в отличие от Φ3, не зависят отбыстрых переменных. Кроме того, они представляют собой компоненты Pво вспомогательной системе O′ :  P1 Φ1   P  = B ′ (i, Ω, σ) Φ  , 2 2  P3Φ4 Φ1 P1   Φ  = B ′∗(i, Ω, σ) P  , 2 2  P3Φ4где B ′∗ — транспонированная матрица B ′b11 b12B′ = b21 b22b31 b32[43, 48]:b13b23.b33(1.54)(1.55)551.4.2.Сопровождающая система отсчета (первый орт — порадиусу-вектору)Чаще всего используется система с ортами i1 (по радиусу-вектору),j1 (по трансверсали к оскулирующей траектории), k1 (по вектору площадей c).

Теперь [39] 1 r = r0 , 0P = Si1 + T j1 + W k1 , e sin θ0 κ  , c = κ √p 0 ,ṙ = √ p/r p 01(1.56) sin i sin w .k=sinicoswcos i(1.57)Компоненты вектора k в (1.57) — это третья строка матрицы B1. В результате√pκ p κ a2ṙP = √ e sin θ S + T =e sin E S + 1 − e T ,(1.58a)prr√ 0 0 κ p = κr√p T,(crP) = (1.58b)r00S T Wr00 (rPk) = STW  = r cos i T − r sin i cos w W, (1.58c)sin i sin w sin i cos w cos iчто существенно проще формул (1.48).

Выразим производные элементовчерез проекции возмущающего ускорения на оси первой сопровождающейсистемы отсчета.561. Вектор площадейi1 j1 k1 ċ =  r 0 0  = rT k1 − rW j1.S T W(1.59a)2. Модуль вектора площадейċ =r T.3. Фокальный параметр√2r pṗ =T.κ(1.59b)(1.59c)4. Постоянная энергииpκ p a2 ω 2ḣ = √ e sin θ S + T =e sin E S + 1 − e T .prr(1.59d)5. Большая полуосьp2a2 p 2a 2ȧ = √ e sin θ S + T =e sin E S + 1 − e T .κ prωr(1.59e)6.

Среднее движениеp3p 32√ω̇ = −e sin θ S + T = − e sin E S + 1 − e T . (1.59f)rra 1 − e27. Эксцентриситет√ hp r ipė =e sin θ S +−T ,κer√ ap p r (1 − e2 ) sin Eė =S+−T.ωrκe r a8. Истинная аномалия√√p cos θκ p(r + p) sin θθ̇ = 2 +S−T,√rκeκe p(1.59g)(1.59g′)(1.59h)57√√√κ p (cos E − e) 1 − e2a(p + r) sin ES−T.θ̇ = 2 +rωreκer(1.59h′ )9. Эксцентрическая аномалия√κa(cos θ − e)(r + a) sin θ√Ė = √ +S−T,r aκeκe a√p(a + r) sin E(1 + e2 ) cos E − 2eκĖ = √ +S−T.ωerκerr a(1.59i)(1.59i′)10. Средняя аномалияr(r + p) sin θ√ (cos θ + e cos2 θ − 2e) S −√T,(1.59j)κe aκe a√p(p + r) sin E−e(3 − e2 ) + (1 + 3e2 ) cos E − 2e3 cos2 EṀ =ω +S−T.ωerκer(1.59j′)Ṁ =ω +11. Эпоха перицентраar(2e − cos θ − e cos2 θ) 3ae sin θ−τ̇ =√ (t − τ ) S+κ 2eκ p!√a(r + p) sin θ 3 1 − e2+−(t − τ ) T,(1.59k)κ 2eωre(3 − e2 ) − (1 + 3e2) cos E + 2e3 cos2 E 3e sin Eτ̇ =−(t − τ ) S+eω 2 rωr!√√221 − e (p + r) sin E 3 1 − e+−(t − τ ) T.(1.59k′ )2aeω rωr12.

Наклон•ı=r cos w√ W.κ p(1.59l)13. Аргумент широты√κ p r ctg i sin wẇ = 2 −W.√rκ p(1.59m)5814. Аргумент перицентра√p cos θ(r + p) sin θr ctg i sin wσ̇ = −S+T−W,√√κeκ peκ p√(cos E − e) 1 − e2(p + r) sin Er ctg i sin wσ̇ = −S+T−W.√ωerωaerκ p(1.59n)(1.59n′ )15. Долгота восходящего узлаr sin wW.Ω̇ = √κ p sin i(1.59o)Здесь встречаются косинус и синус аргумента широты, которые можно выразить как через истинную, так и через эксцентрическую аномалию (1.29).Заметим, также, что1 p r ra−= (e + 2 cos θ + e cos2 θ) = − (e − 2 cos E + e cos2 E).e r apr1.4.3.Сопровождающая система отсчета (первый орт — по вектору скорости)Обратимся к системе с ортами i2 (по вектору скорости), j2 (по главнойнормали к оскулирующей траектории), k2 = k1 (по вектору площадей c).Теперь [39] sin f r = r− cos f  ,0F = Ti2 + Nj2 + W k2 ,  10 √ ,c=κṙ = v p00 ,  01(1.60)sin i cos(f − w)k= sin i sin(f − w)  .cos i(1.61)Здесь v — модуль скорости:κ pκv=√1 + e2 + 2e cos θ = √par1 + e cos E.1 − e cos E59Компоненты вектора k в (1.61) — это третья строка матрицы B2.В системе O2 скалярное и два смешанных произведения принимаютвидṙP = v T,(1.62a)√κp√(crP) = 0 r sin f −r cos f = κ p r(cos f T + sin f N),TNWr sin f−r cos f0 =(rPk) = TNWsin i cos(f − w) sin i sin(f − w) cos i00=r(cos i cos f T + cos i sin f N − sin i cos w W ).(1.62b)(1.62c)Выразим производные элементов через проекции возмущающегоускорения на оси второй сопровождающей системы отсчета.1.

Характеристики

Список файлов диссертации