Диссертация (1149310), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Заметим, что интегралы от нечетных функцийравны нулю, так как интегрирование проводится от −π до π. Проведяосредняющее преобразование (2.11) выражений (2.15), получимi3h aaF1 =E sin E Φ1 − ηE cos E Φ2 = 0,a rr(2.16a)81F2F3F4F5iη haaaa−ηE sin 2E Φ1 + (3E − 4eE cos E + E cos 2E) Φ2 ==2ωarrrr3η3η=Φ2 =Φ2 ,(2.16b)2ωa2κ 2/3ω 1/31=[cos σ(E cos E − e) − η sin σE sin E] Φ4 =ωaη3e3e cos σcos σΦ4 = − 2/3 1/3 Φ4 ,=−(2.16c)2ωaη2κ ω η1[sin σ(E cos E − e) + η cos σE sin E] Φ4 ==ωaη sin i3e3e sin σ=−sin σΦ4 = − 2/3 1/3Φ4 ,(2.16d)2ωaη sin i2κ ω η sin i1 h aaaη −3E + 2eE cos E + E cos 2E Φ1+=2ωaerrriaa+ (−2eE sin E + E sin 2E) Φ2 − cos iF4 =rr3η3e ctg i3η3e ctg i sin σ=−Φ1 +sin σΦ4 = − 2/3 1/3 Φ1 +Φ4 ,2ωae2ωaη2κ ω e2κ 2/3ω 1/3η(2.16e)i1 nhaaa222G=3(1 + e )E − 2e(3 + e )E cos E − (1 − 3e )E cos 2E Φ1−2ωaerrriohaa− η 2eE sin E + (1 − 2e2 )E sin 2E Φ2 =rr3(1 + e2 )3(1 + e2 )=Φ1 =Φ1 .(2.16f)2ωae2κ 2/3ω 1/3eС помощью средних значений простейших функций (Приложение A)легко убедиться, что уравнения, выраженные через истинную аномалию,дают те же значения функций F = (F1, F2, F3, F4, F5) и G.
Все средниезначения оказались элементарными, и уравнения движения (2.1) в новыхпеременных принимают простой вид:Ẋ1 = µF1 = 0,p3 1 − X22Φ2 ,Ẋ2 = µF2 =1/32κ 2/3X1823X2 cos X5Φ4 ,p1/32κ 2/3X11 − X223X2 sin X5Ẋ4 = µF4 = −Φ4 ,p1/322/32κ X11 − X2 sin X3p3X2 ctg X3 sin X53 1 − X22Φ+Φ4 ,Ẋ5 = µF5 = −p11/31/322/32/32κ X1 X22κ X11 − X223(1 + X2 )Ẏ = X1 + µG = X1 +Φ1 .1/32κ 2/3X1 X2Ẋ3 = µF3 = −(2.17)В (2.17) справа мы положили µ = 1, поскольку малость правых частей уравнений (2.17) обеспечивается малыми значениями компонент вектора возмущающего ускорения P по сравнению с основным ускорениемκ 2/r2:max{|P|r2 /κ 2} = µ ≪ 1.Столь же просто вычисляются функции замены переменных u, v сучетом приведенных в Приложении A формул:3[(e + 2 cos E)Φ1 + 2η sin E Φ2] ,2ωao3 n2[−2(2 − e ) sin E + e sin 2E]Φ1 + η[2e + 4 cos E − e cos 2E]Φ2 ,4ω 2 aη[η cos 2E Φ1 + (−2e sin E + sin 2E)Φ2],4ω 2 a1 [2(2 − e2 ) sin E − e sin 2E] cos σ+24ω aη+ η[2e + 4 cos E − e cos 2E] sin σ Φ4 ,1[2(2 − e2 ) sin E − e sin 2E] sin σ−24ω aη sin i− η[2e + 4 cos E − e cos 2E] cos σ Φ4 ,u1 = −Iu1 =u2 =u3 =u4 =83o1 n2η(−2e sin E + sin 2E)Φ1 + (2e + 4e cos E − cos 2E)Φ2 −u5 = 24ω ae− cos iu4 ,1 nIg = 2[−2e(3 − e2 ) sin E − (1 − 3e2 ) sin 2E]Φ1+4ω aeo22+ η[2e + 4e cos E + (1 − 2e ) cos 2E]Φ2 ,1 n[−2e(9 − 4e2 ) sin E − (1 − 6e2) sin 2E]Φ1+v= 24ω aeo22+ η[8e + 16e cos E + (1 − 5e ) cos 2E]Φ2 .(2.18)Исследуем свойства функций F, G, и u, v [38].1.
Функция F1 тождественно равна нулю. Это свойство вытекает из теоремы Лагранжа о неизменности (в первом приближении) больших полуосейдля консервативных систем [37]. Консервативность системы (2.7) очевидна:возмущающее ускорение P порождается пертурбационной функциейR = ξ1 P1 + ξ2 P2 + ξ3 P3 ,(2.19)где ξi — декартовы координаты точки A.Как следствие получаем постоянство X1 , т.е. неизменность осредненных среднего движения ω и большой полуоси a.2. Среднее значение R находится элементарно, см. Приложение A:3ER = − ae (b11P1 + b21P2 + b31P3 ) ,2(2.20)где b11, b21, b31 даются формулами (1.24). Ясно, что ER является интеграломосредненной системы (2.10).3. Функции F4 и F5 содержат sin i в знаменателях, а функции F5 и G содержат e в знаменателях.
Эти особенности — следствие линейной зависимостиER от e и sin i — обычны для небесной механики, и они исчезают после перехода к элементам типа Лагранжа.844. Функции u, v — тригонометрические многочлены второй степени от эксцентрической аномалии. Их среднее значение (по средней аномалии) равнонулю. Функции u4 и u5 содержат sin i в знаменателях, а функции u5 и vсодержат e в знаменателях.2.3.Сопутствующая система координат O1Обозначим по-прежнему правые части уравнений типа Эйлера в си-стеме O1 через f , g. Это не приводит к путанице, поскольку системы O иO1 не используются одновременно.
Тогда согласно (2.3):3f1 = − (e sin E S + η T ) ,rη aη1 p r f2 =sin E S +−T ,ωa re r a1f3 =[cos σ(cos E − e) − η sin σ sin E] W ,ωaη1f4 =[sin σ(cos E − e) + η cos σ sin E] W ,ωaη sin ipi1 h aη(e − cos E)S ++ 1 sin E T − cos if4 ,f5 =ωae rrpo1 na23g=[−3e + (1 + 3e ) cos E − e cos 2E] S − η+ 1 sin E T ,ωae rr(2.21)где в системе O1 принято P = (S, T, W ).Правые части осредненных уравнений [38]:3 aa 3η3ω 2/3ηF1 = − eE sin E S + ηE T = − T = − 2/3 T,(2.22a)a rra κηa1 2 ar3eη3eηF2 =ηE sin E S +η E −ET =−T = − 2/3 1/3 T,ωarera2ωa2κ ω(2.22b)F3 =1[cos σ(E cos E − e) − η sin σE sin E] W =ωaη853e3e cos σcos σW = − 2/3 1/3 W ,(2.22c)2ωaη2κ ω η1[sin σ(E cos E − e) + η cos σE sin E] W =F4 =ωaη sin i3e3e sin σsin σW = − 2/3 1/3=−W,(2.22d)2ωaη sin i2κ ω η sin i i1 haa2 aF5 =(eηE − E cos E)S + η E sin E + E sin E T − cos iF4 =ωaerrrη3e ctg iη3e ctg i sin σS+sin σW = 2/3 1/3 S +W, (2.22e)=ωa2ωaηκ ω2κ 2/3ω 1/3η1 naaaG=[−3eE + (1 + 3e2)E cos E − e3 E cos 2E] S−ωaerrr oa33− η η 2 E sin E + E sin E T = − S = − 2/3 1/3 S.(2.22f)rωaκ ω=−Все средние значения также оказались элементарными, и уравнениядвижения (2.3) в новых переменных принимают очень простой вид:p2/31 − X223X1T,Ẋ1 = µF1 = −2/3κp3X2 1 − X22T,Ẋ2 = µF2 = −1/32κ 2/3X13X2 cos X5Ẋ3 = µF3 = −W,p1/32κ 2/3X11 − X223X2 sin X5Ẋ4 = µF4 = −W,p1/32κ 2/3X11 − X22 sin X3p1 − X223X2 ctg X3 sin X5Ẋ5 = µF5 =S+W,p1/31/3κ 2/3X12κ 2/3X11 − X223Ẏ = X1 + µG = X1 −S.(2.23)1/32/3κ X186Функции замены переменных u, v:3e[(e + 2 cos E)S − 2η sin E T ] ,2ωao3e n2= 2 [2(2 − e ) sin E − e sin 2E]S + η[2e + 4 cos E − e cos 2E]T ,4ω a oη n2= 2 −2η(e + 2 cos E)S + 2(4 − 3e ) sin E − e sin 2E T ,4ω a1 = 2[2(2 − e2 ) sin E − e sin 2E] cos σ+4ω aη+ η[2e + 4 cos E − e cos 2E] sin σ W ,1= 2[2(2 − e2) sin E − e sin 2E] sin σ−4ω aη sin i− η[2e + 4 cos E − e cos 2E] cos σ W ,o1 n 322=− 24η sin ES + [2e(2 − e ) + 4(2 − e ) cos E − e cos 2E)T −4ω aeu1 =Iu1u2u3u4u5− cos iu4 ,1 nIg = 22(2 sin E − e3 sin 2E)S+4ω aeo+ η[2e(2 − e ) + 4(2 − e ) cos E − e cos 2E]T ,1 nv= 2[2(2 + 6e2 − 3e4) sin E − 5e3 sin 2E]S+4ω ae22o+ η[4e(1 + e ) + 8(1 + e ) cos E − e(1 + 3e ) cos 2E]T .222(2.24)Исследуем свойства F, G и u, v.1.
Функция F1 уже не нуль при T 6= 0. Она зависит от a и e. Это свойство —следствие неконсервативности системы (2.7). В разделе 1.5.2 мы доказалиболее сильное свойство: возмущающее ускорение P нелинейно зависит отскорости, если T 6= 0 или W 6= 0.В случае же T = W = 0 существует обычный потенциалe2R = rS,ER = a 1 +S,2и система уравнений движения консервативна.
Тогда от нуля отличны87только F5 и G, так что средние элементы a, ω, e, i, Ω постоянны. Это —хорошо известное свойство движения в центральном поле.При T > 0 среднее движение и эксцентриситет уменьшаются, большая полуось растет. При T < 0 среднее движение и эксцентриситет растут,большая полуось уменьшается. При T = 0 эти величины постоянны.2. Функции F4 и F5 содержат sin i в знаменателях, но e в знаменателях ужене появляется.3.
Функции u, v — тригонометрические многочлены второй степени от эксцентрической аномалии. Их среднее значение (по средней аномалии) равнонулю. Функции u4 и u5 содержат sin i в знаменателях, а функции u5 и vсодержат e в знаменателях.2.4.Сопутствующая система координат O2Согласно (2.4)3(1 + e cos E)T,aϑr sin Eη 2η cos ET−N ,ωaϑaϑ1[cos σ(cos E − e) − η sin σ sin E] W ,ωaη1[sin σ(cos E − e) + η cos σ sin E] W ,ωaη sin i1 2η sin E(e + cos E)(1 − e cos E)T+N − cos if4 ,ωaeϑϑ1 −2 sin E + e3 sin 2Eη(e − cos E)(1 − e cos E)T+N ,ωaeϑϑf1 = −f2 =f3 =f4 =f5 =g=гдеϑ(E, e) =p1 − e2 cos2 E .В системе O2 принято P = (T, N, W ).88Средние значения f , g и функции u, v фактически найдены в Приложении B.Правые части осредненных уравнений [40]:3 1 + e cos E66ω 2/3F1 = − ET = − E(e)T = − 2/3 E(e)T,(2.25a)aϑπaπκcos Er sin E4η 2e4η 2eη2ηET−EN =−D(e)T = − 2/3 1/3 D(e)T,F2 =ωaϑaϑπωaπκ ω(2.25b)1[cos σ(E cos E − e) − η sin σE sin E] W =ωaη3e3e cos σ=−cos σW = − 2/3 1/3 W ,(2.25c)2ωaη2κ ω η1F4 =[sin σ(E cos E − e) + η cos σE sin E] W =ωaη sin i3e3e sin σ=−sin σW = − 2/3 1/3W,(2.25d)2ωaη sin i2κ ω η sin i"! #21sin E1cos Ecos Ecos EF5 =2ηET + eE + E− e2 E− eEN −ωaeϑϑϑϑϑ2 3e ctg i− cos iF4 = −2(1 − e2 )D(e) − E(e) N +sin σW =πωa2ωaη23e ctg i= − 2/3 1/3 2(1 − e2 )D(e) − E(e) N +sin σW,(2.25e)πκ ω2κ 2/3ω 1/3η1sin Esin2EG=−2E+ e3 ET+ωaeϑϑ 21cos EcosEcosE+ η eE − E− e2 E+ eEN =ϑϑϑϑ2η 2η2=2(1 + e2 )D(e) + E(e) N =2(1+e)D(e)+E(e)N.πωaπκ 2/3ω 1/3(2.25f)F3 =Таким образом, в новых переменных система (2.4) принимает вид:2/36XẊ1 = µF1 = − 12/3 E(X2 )T,πκ4X2(1 − X22 )Ẋ2 = µF2 = −D(X2)T,1/32/3πκ X1893X2 cos X5W,p1/32κ 2/3X11 − X223X2 sin X5Ẋ4 = µF4 = −W,(2.26)p1/322/32κ X11 − X2 sin X3222(1−X)D(X)−E(X)N+Ẋ5 = µF5 = −2221/3πκ 2/3X13X2 ctg X3 sin X5W,+p1/32κ 2/3X11 − X22p2 1 − X22 2Ẏ = X1 + µG = X1 +2(1+X)D(X)+E(X)22 N.21/32/3πκ X1Ẋ3 = µF3 = −Функции замены переменных:u1 =Iu1 =u2 =u3 =u4 =u5 =Ig =3(̺0 + e̺1 ) T,ωa3(I̺0 + eI̺1 ) T,ωaη[2η̺1T − (τ0 − 2eτ1 + e2 τ2 )N],2ω a1 [2(2 − e2 ) sin E − e sin 2E] cos σ+24ω aη+ η[2e + 4 cos E − e cos 2E] sin σ W ,1[2(2 − e2 ) sin E − e sin 2E] sin σ−24ω aη sin i− η[2e + 4 cos E − e cos 2E] cos σ W ,1 22η(τ−eτ)T+[e̺+(1−e)̺−e̺]N− cos iu4 ,01012ω 2 ae1 2422[−τ+e(1+e)τ−eτ]T+η[e̺−(1+e)̺+e̺]N,012012ω 2 aev = Ig + Iu1 .(2.27)Переменные ̺k (E, e), τk (E, e) введены и исследованы в Приложении B.При малых и умеренных эксцентриситетах полезно представить полученные выражения рядами по степеням e, особенно с учетом того обстоятельства, что Iu1 является интегралом от неполного эллиптического90интеграла.
Приведем разложения (2.25), (2.27) с точностью до e5 :3e2 3e4e5e2 9e4F1 = −1− −T, F2 = −1−−T,a464ωa864e2 3e43e sin σe2 3e43e cos σF3 = −1+ +W , F4 = −1+ +W,2ωa282ωa sin i283e2e23e ctg ie2 3e4F5 =1+N+1+ +sin σ W,8ωa42ωa282e2e4G=1+−N;(2.28)ωa1683eee2sin E − sin 2E − sin E −u1 =ωa843e3e4−(8 sin 2E + sin 4E) −sin E T,256643eee2e3Iu1 = − 2cos E + (8 − 5 cos 2E) − (9 cos E − cos 3E) −(96−ω a16481024e4− 48 cos 2E + cos 4E) −(80 cos E − 15 cos 3E − cos 5E) T,25601ee2u2 = 22 sin E − sin 2E − (27 sin E − sin 3E)+ω a21234ee+ (8 sin 2E − sin 4E) +(330 sin E − 5 sin 3E + 9 sin 5E)+32960ee5+(19 sin 2E − sin 4E − sin 6E) T + cos E + (1 − cos 2E) −2562e2e3− (cos E − cos 3E) − (2 − 4 cos 2E + cos 4E)−8324e(130 cos E + 5 cos 3E − 7 cos 5E)−−640 e5−(26 − 17 cos 2E + 2 cos 4E + cos 6E) N ,2561 ne3e43e5u3 = 24 sin E − e sin 2E − sin 2E + sin E −sin 2E cos σ+4ω a228o+ [4 cos E + e(2 − cos 2E)] sin σ W ,n1e3e43e5u4 = 24 sin E − e sin 2E − sin 2E + sin E −sin 2E sin σ−4ω a sin i228o− [4 cos E + e(2 − cos 2E)] cos σ W ,91211e− cos E − (2 − cos 2E) + (9 cos E − cos 3E) +u5 = 2ω ae212e2e3+ (12 − 4 cos 2E + cos 4E) +(270 cos E − 5 cos 3E − 9 cos 5E)+32960e4e5+(36 − 17 cos 2E + 2 cos 4E + cos 6E) +(8295 cos E+2565376011sin E − sin 2E−+ 245 cos 3E − 273 cos 5E − 75 cos 7E) T +e223eee− (7 sin E − sin 3E) + (4 sin 2E − sin 4E) +(110 sin E+832640e4+ 5 sin 3E + 7 sin 5E) +(11 sin 2E − 2 sin 4E − sin 6E)+256 e5(35 sin E − 105 sin 3E + 203 sin 5E + 55 sin 7E) N − cos iu4 ,+35840121eIg = 2cos E + (2 − cos 2E) + (3 cos E + cos 3E) +ω ae21223ee+ (4 − 20 cos 2E − cos 4E) +(570 cos E + 205 cos 3E + 9 cos 5E)+32960e4+(76 − 47 cos 2E − 14 cos 4E − cos 6E)+256e5+(3115 cos E + 1645 cos 3E + 399 cos 5E + 25 cos 7E) T−1792011ee2−sin E − sin 2E + (5 sin E + sin 3E) − (12 sin 2E + sin 4E)−e28323e−(990 sin E − 215 sin 3E − 21 sin 5E)−1920e4−(5 sin 2E + 12 sin 4E + sin 6E)−256 e5−(735 sin E − 5425 sin 3E − 2037 sin 5E − 165 sin 7E) N ,107520121ev= 2cos E + (2 − cos 2E) − (33 cos E − cos 3E) −ω ae212e2e3− (44 − 10 cos 2E + cos 4E) +(1110 cos E + 145 cos 3E + 9 cos 5E)+32960e4+(592 − 332 cos 2E − 53 cos 4E − 4 cos 6E)+1024e5+(4795 cos E + 1330 cos 3E + 378 cos 5E + 25 cos 7E) T−1792092−−−−11ee2sin E − sin 2E + (5 sin E + sin 3E) − (12 sin 2E + sin 4E)−e28323e(990 sin E − 215 sin 3E − 21 sin 5E)−1920e4(5 sin 2E + 12 sin 4E + sin 6E)−(2.29)256e5(735 sin E − 5425 sin 3E − 2037 sin 5E − 165 sin 7E) N .107520Радиус сходимости рядов (2.28, 2.29) равен единице, как показано в Приложении B.Исследуем свойства F, G и u, v.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
