Диссертация (1149310), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Обратим внимание, что в силу периодичности правых частей(3.10) по аномалии малость эта равномерна по времени и обеспечиваетсямалостью S, T, W . С другой стороны, наличие e и sin i в знаменателяхможет привести к большим значениям dΩ, dσ, dM. Мы увидим ниже, чтоэти знаменатели в окончательной формуле исчезают. Фактически малымидолжны быть sin idΩ, edM и выражение в фигурной скобке для dσ.Мы хотим воспользоваться формулами (3.5, 3.8, 3.9). Нам понадобится аналогичная разность (дифференциал) для a.
Продифференцировавсоотношениеa = κ 2/3ω −2/3,102где κ 2 — произведение постоянной тяготения на массу S, получимda = −2adω.3ω(3.11)Подставляя (3.11) в (3.10), получимda =e[−(e + 2 cos E) S + 2 sin E ηT ] .ω2(3.12)Далее подставим дифференциалы элементов (3.12), (3.10) в (3.7), (3.8):1 n[4(2 + 5e2 − 2e4) sin E − 2e(2 + 3e2 ) sin 2E] S+dE =28rω eo+ [2e(8 + e ) + (16 + 15e ) cos E − 10e cos 2E + e cos 3E] ηT ,a ndθ =4[(4 + 9e2 − 4e4 ) sin E − 2e(2 + e2 ) sin 2E + e2 sin 3E] ηS+2216r ω e222+ [e(48 − 39e2 − 4e4 ) + 4(8 − 3e2 − 6e4) cos E − 4e(9 − 8e2) cos 2E+o223+ 4e (3 − 2e ) cos 3E − e cos 4E] T ,a 2(4 + 6e2 − 3e4) − e(20 − 3e2) cos E + 2e4 cos 2E +28rω+ e3 cos 3E S + e(42 + 3e2) sin E − 4e2 sin 2E + e3 sin 3E ηT .dr =(3.13)Чтобы получить dw + cos idΩ = dθ + (dσ + cos idΩ), представим последнееслагаемое в видеdσ + cos idΩ =ioa n r2 h 322=− 2 24η sin E S + [2e(2 − e ) + 4(2 − e ) cos E − e cos 2E] T=4r ω e a2a n=−4η 3[(4 + e2 ) sin E − 4e sin 2E + e2 sin 3E] S+2216r ω e+ [e(16 − 15e2 + 4e4) − 4(8 − 5e2 + e4 ) cos E+o24223+2e(18 − 11e + 2e ) cos 2E − 4e (3 − e ) cos 3E + e cos 4E] T .103В результатеa ndw + cos idΩ =4e[3(4 − e2 ) sin E − 6e sin 2E + e2 sin 3E] ηS+2216r ωo+ [(64 − 54e ) + 4e(2 − 7e ) cos E + 2e (5 + 2e ) cos 2E − 4e cos 3E] T .22223(3.14)Мы получили выраженияdr =aaΨ,r(dw+cosidΩ)=Ψ2 ,18rω 28rω 2r(sin w di − sin i cos w dΩ) =1Ψ3 ,4ω 2(3.15)гдеΨ1 = 2(4 + 6e2 − 3e4) − e(20 − 3e2) cos E + 2e4 cos 2E + e3 cos 3E S++ e(42 + 3e2 ) sin E − 4e2 sin 2E + e3 sin 3E ηT,Ψ2 = 2e[3(4 − e2 ) sin E − 6e sin 2E + e2 sin 3E] ηS++ [(32 − 27e2) + 2e(2 − 7e2 ) cos E + e2 (5 + 2e2) cos 2E − 2e3 cos 3E] T,Ψ3 = (4 − 3e2) − 3e cos E + 2e2 cos 2E W.(3.16)Замечание.
Обратим внимание, что тригонометрические многочленыΨ1, Ψ2 не делятся на 1 − e cos E. В противном случае они бы обращались внуль при1cos E = ,e√e2 − 1sin E =.e(3.17)Это легко проверить, поскольку необходимые для этого тригонометрические функции считаются элементарно. Из (3.17) следуетcos 2E =sin 2E =2 − e2,e22p 2e −1,e24 − 3e2,e34 − e2 p 2sin 3E =e −1.e3cos 3E =(3.18)104Подставляя (3.17, 3.18) в (3.16), найдем соответствующие значения Ψ1 , Ψ2:ihp2 222Ψ1 = 2 −4 1 − eS + e − 1 19 + e ηT ,h p i222Ψ2 = 2η 4 e − 1 ηS + 19 + e T .Таким образом, присутствие r = a(1 − e cos E) в двух из трех знаменателейв (3.15) неустранимо.Замечание.
Выбор знака перед√√e2 − 1 = ±i 1 − e2 безразличен,лишь бы он был одинаков в формулах (3.17), (3.18).3.3.Норма разности оскулирующих и средних элементовВ небесной механике наиболее употребительны две нормы: чебышев-ская (равномерная) и евклидова (среднеквадратичная по средней аномалии):hf i = max |f (a, . . . , M)|,MZ πZ π11kf k2 =f 2 dM =f 2(1 − e cos E) dE =2π −π2π −π2 3/2 Z π(1 − e )f2=dθ.22π−π (1 + e cos θ)(3.19)Здесь f — скалярная или векторная функция от элементов орбиты.
Нормировка в (3.19) выбрана из условия hCi = kCk = |C|.Аналитические выражения для чебышевской нормы можно получитьлишь для простейших функций (см. примеры в разделе 3.4). Напротив, дляевклидовой нормы это удается часто.Вычислим норму уклонения ρ = |dr|. Согласно (3.5, 3.15)ρ2 =a2Ψ4 ,64r2ω 4Ψ4 = Ψ21 + Ψ22 + 4r2 2Ψ .a2 3(3.20)105Последнюю величину представим в видеΨ4 = Ψ5 S 2 + Ψ6T 2 + Ψ7 W 2 + Ψ8 ST.Здесь Ψ5 , Ψ6, Ψ7 — четные тригонометрические многочлены:Ψ5 = 4e2(1 − e2 )[3(4 − e2 ) sin E − 6e sin 2E + e2 sin 3E]2++ [2(4 + 6e2 − 3e4 ) − e(20 − 3e2 ) cos E + 2e4 cos 2E + e3 cos 3E]2,Ψ6 = [(32 − 27e2) + 2e(2 − 7e2 ) cos E + e2 (5 + 2e2) cos 2E − 2e3 cos 3E]2++ (1 − e2 )[e(42 + 3e2 ) sin E − 4e2 sin 2E + e3 sin 3E]2,r2Ψ7 = 4 2 [(4 − 3e2 ) − 3e cos E + 2e2 cos 2E]2,aтогда какΨ8 = 8e 276 − 89e2 − 8e4 − 3e6 sin E − e2 1576 − 252e2 − 101e4 sin 2E++ 2e3 148 + 87e2 − 9e4 sin 3E − 6e4 13 + 7e2 sin 4E++ 6e5 5 + e2 sin 5E − 3e6 sin 6Eявляется нечетным многочленом и пропадает при осреднении.
Как мы обещали на с. 101, знаменатели e и sin i исчезли.Присутствие r2 в знаменателе выражения (3.20) для ρ2 затрудняет, напервый взгляд, вычисление интеграла для нормы, см. замечание на с. 103.Однако внимательное рассмотрение многочленов Ψ5, Ψ6 снимает эту трудность. Несложные выкладки показывают, что они обращаются в нуль приусловии (3.17):#2"√√√222−12−12e4−ee34−e12 e − 1Ψ5 = 4e2 1 − e2−++eee2+ 2 4 + 6e2 − 3e4 − 20 − 3e2 + 2e2 2 − e2 + 4 − 3e2=10644= −64 e2 − 1 + 64 e2 − 1 = 0 ,2Ψ6 = 32 − 27e2 + 2 2 − 7e2 + 5 + 2e2 2 − e2 − 2 4 − 3e2 +i2p hpp222222+ 1−ee − 1 42 + 3e − 8 e − 1 + 4 − ee −1 == 4(e2 − 1)2 19 + e22− 4(e2 − 1)2 19 + e22= 0.Следовательно, Ψ5 и Ψ6 содержат (1 − e cos E) множителем.
Деление Ψ5 иΨ6 на (1−e cos E) мы провели, используя средства компьютерной алгебры:Ψ5 = 64 + 680e2 − 372e4 − 47e6 + 18e8 −− 4e 80 + 180e2 − 152e4 + 19e6 cos E−− (e2/2) 176 − 864e2 + 333e4 − 12e6 cos 2E++ 2e3 152 − 188e2 + 33e4 cos 3E−− 5e4 28 − 27e2 + 2e4 cos 4E++ 2e5 12 − 11e2 cos 5E − (e6/2) 3 − 4e2 cos 6E == (1 − e cos E)[2 32 + 276e2 − 255e4 + 50e6 −− 2e 128 + 138e2 − 147e4 + 18e6 cos E−− 8e2 27 − 49e2 + 15e4 cos 2E + e3 196 − 201e2 + 24e4 cos 3E−− 6e4 7 − 6e2 cos 4E + e5 3 − 4e2 cos 5E],Ψ6 = (1/2) 2048 − 1676e2 − 125e4 − 38e6 − 6e8 ++ 4e 64 − 315e2 + 209e4 − 4e6 cos E−− (e2/2) 1108 − 1184e2 − 201e4 − 3e6 cos 2E++ 10e3 6 − 11e2 − 4e4 cos 3E−− (e4/2) 91 − 170e2 − 10e4 cos 4E − 2e5 3 + 4e2 cos 5E++ (e6/2) 3 + e2 cos 6E =107= (1 − e cos E)[2 512 − 99e2 − 385e4 − e6 ++ e 1280 − 1415e2 + 34e4 + 6e6 cos E++ 2e2 43 − 32e2 + 24e4 cos 2E + e3 103 − 139e2 − 9e4 cos 3E++ 2e4 3 + 7e2 cos 4E − e5 3 + e2 cos 5E].Таким образом, вычисление стандартной нормы ρ сводится к интегрированию тригонометрических многочленов:Z π12kρk =ρ2 (1 − e cos E) dE =2π −πZ π1Ψ5ΨΨ67=S2 +T2 +W 2 dE.4128πω −π 1 − e cos E1 − e cos E1 − e cos EОкончательно,1a6222kρk =(A1S + A2 T + A3W ) =(A1S 2 + A2T 2 + A3W 2 ), (3.21)32ω 432κ 42гдеA1 = 32 + 276e2 − 255e4 + 50e6,A2 = 512 − 99e2 − 385e4 − e6 ,A3 = 32 − 15e2 + 10e4.Исследуем производные функций Ak (x), где для простоты положеноx = e2 , на отрезке 0 6 x 6 1, или, что то же, 0 6 e 6 1:dA1= 6 46 − 85x + 25x2 ,dxdA2= −99−770x−3x2,dxdA3= 5(−3+4x).dx(3.22)Производная от A1 имеет единственный кореньs√17 − 105e1 == 0.821769.10Величина A1 возрастает от 32 до 117.492983 с ростом e от 0 до e1 , а затемубывает до 103 при e = 1.108Производная от A2 отрицательна при x > 0, и A2 убываетот 512 до 27.Производная от A3 имеет единственный кореньr3e2 == 0.866025 > e1.4Величина A3 убывает от 32 до 211/8 = 26.375 с ростом e от 0 до e2, а затемвозрастает до 27 при e = 1.Таким образом, при 0 6 x 6 1min A1(x) = A1 (0) = 32,min A2(x) = A2 (1) = 27,min A3 (x) = A3(3/4) = 26.375,так что Ak (x) отделены от нуля.Поразительно, что kρk2 зависит только от компонент вектора возмущающего ускорения (положительно определенная диагональная квадратичная форма), большой полуоси (пропорционально шестой степени) иэксцентриситета (четный многочлен шестой степени) оскулирующего эллипса! От ориентации орбиты и положения точки A на ней kρk2 не зависит.Фиксируем элементы опорного эллипса a, ω, e, и тем самым A1, A2, A3.Простая формула (3.21) позволяет легко найти наибольшее значение kρk,если о возмущающем ускорении известно лишь, что оно лежит внутри эллипсоидаS2 T 2 W 2+ 2 + 2 61a21a2a3(3.23)при некоторых положительных a1 , a2, a3 .
Действительно, квадратичнаяформа (3.21) при условии (3.23) экстремальна при обращении в нуль двух109из трех компонент вектора P(S, T, W ). Поэтомуmax kρk2 =1max{Aia2i }.432ω(3.24)В частности, при фиксированном модуле возмущающего ускорения P =√S 2 + T 2 + W 2 = const можно положить a1 = a2 = a3 = P . В результатеmax kρk2 =1P 2 max{A1, A2, A3}.432ω(3.25)Многочлен A1 − A3 = e2 (291 − 265e2 + 50e4) в промежутке 0 6 e 6 1неотрицателен, обращаясь в нуль лишь при e = 0. Многочлен A2 − A3 =480 − 84e2 − 395e4 − e6 там неотрицателен, обращаясь в нуль лишь приe = 1.
Многочлен A2 − A1 = 480 − 375e2 − 130e4 − 51e6 положителен приe = 0, отрицателен при e = 1 и его коэффициенты имеют одну перемену знака. Следовательно, он имеет единственный положительный кореньe3 < 1. Вычисления дают e3 = 0.948698 > e2 > e1 . Поэтому формула(3.25) переходит вmax kρk =PA4 ,8ω 2p 2A2,A4 = p 2A1,если e 6 e3 ,(3.26)если e > e3 .Поведение производных (3.22) показывает, что A4 убывает с ростом эксцентриситета. Зависимость A1 ÷ A4 от e показана на рисунках 3.1, 3.2. В точкеe3 графики A1 и A4 пересекаются, и при e > e3 значения A1 превышаютзначения A2 ; A3 всюду меньше A1, A2 . Если фиксировать все параметры,кроме эксцентриситета, то отношение наибольшего по всем эксцентриситеpтам значения A4 к наименьшему составит A2 (0)/A1(1) = 2.23.
Зависимость max kρk от e не слишком сильна и, что удивительнее, эта величинаубывает с ростом эксцентриситета.Применение полученных выше результатов приведено в главе 5.110300500A2400200A2300A1200100A1100A3A300.20.4e0.60.800.810.9e1Рис. 3.1: Величины A1 , A2 , A3 в разных масштабах.40403030A42020101000.20.4e0.60.8100.8Рис. 3.2: Величина A4 в разных масштабах.A40.9e11113.4.О равномерной нормеНаряду с евклидовой (среднеквадратической) нормой k · k представ-ляет интерес и чебышевская (равномерная) нормаhf i = max |f (a, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
