Диссертация (1149310), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Положим κ = 1.152 · 1010 м3/2/с. Пусть тяга во всехслучаях равна одному ньютону, что отвечает параметрам существующих[20, 17, 15], а также проектируемых [30] электрореактивных двигателей.Кроме того, это превышает силу Ярковского. Так, согласно [58], для астероида 6489 Голевка диаметром 530 м и массой 2.1 · 1011 кг сила Ярковского составляет 0.25 Н. В [59] приведены значения тангенциальной составляющей дополнительного негравитационного ускорения, обусловленного возможно эффектом Ярковского, для 94 малых тел. Эти значенияимеют величины порядка (1 ÷ 10) · 10−14 а.е./сут2 , в том числе для Голевки1.21 · 10−14 а.е./сут2 , что соответствует силе 0.05 Н.Значения орбитальных параметров АСЗ найдем на страницах сайтаNASA Near Earth Object Program [85, 81, 83] и приведем их в таблице 5.1145(по состоянию на октябрь 2015 года), в предпоследней строке которой дается значение kρk согласно (3.21).
По мере накопления наблюдательногоматериала значения массы и диаметра астероидов корректируются. Например, по проведенным в январе 2013 года космической обсерваторией"Herschel"[80] наблюдениям Апофиса диаметр астероида составил ∼ 325 м,а не 270 м, как считалось ранее, масса астероида также была занижена. Попоследним данным [86] с учетом радарных, допплеровских и оптическихнаблюдений, охватывающих период с 15 марта 2004 года по 26 февраля2014 года, приняты следующие физические характеристики Апофиса: диаметр ∼ 370 м, масса ∼ 6.1 · 1010 кг.
Значения физических параметров двухдругих астероидов взяты на страницах сайта NASA [82, 84]. В последнейстроке таблицы мы привели величину относительной погрешности положения астероида, возникающей при простой замене оскулирующих элементовсредними.Из предпоследней строки таблицы 5.1 видим, что величина kρk составляет 1–2 км. Таким образом, в задаче о смещении астероида двигателеммалой тяги периодическими возмущениями можно пренебречь, принимаяво внимание лишь вековое движение, которое дается осредненными уравнениями [41].Однако если на орбите, например, Апофиса оказался бы астероидмассой в 1.3 · 107 кг (примерно как у челябинского метеорита [88]) и подвергся воздействию возмущающего ускорения такой же величины, то вместо 1.3 км мы имели бы kρk = 6 Мм, что составляет почти радиус Земли.В этом случае уже необходимо учитывать периодические возмущения.
Заметим также, что, как было показано в третьей главе, чебышевская норма146Таблица 5.1: Значения орбитальных и физических параметров астероидовАстероиды99 942 Апофис101 955 Бенну410777 (2009 FD)эпоха2454441.5 TDB(2007-Dec-07.0)2455562.5 TDB(2011-Jan-01.0)2457200.5 TDB(2015-Jun-27.0)a (a.e.)0.92227889031.12639102601.16315692141.37970958 · 1011 1.68505699 · 10111.74005799 · 1011ω (рад/с)2.2478688 · 10−71.6654461 · 10−71.5871095 · 10−7e0.191079520.203745110.49292156M (◦ )215.5399783101.7039476307.4865769диаметр (м)370490470масса (кг)6.1 · 10106 · 10108.3 · 10100.164 · 10−100.167 · 10−100.120 · 10−10P/ω 2 (м)324.435600.879478.309kρk (м)129323971816kρk/r8.57 · 10−91.48 · 10−81.67 · 10−8a (м)|T | =тягамасса(м/с2 )раза в два больше среднеквадратической.Пересчет для других значений T и ω тривиален. Как уже отмечалось,kρk пропорционально |T | и обратно пропорционально квадрату ω (или, чтото же, прямо пропорционально кубу a).2.
Рассмотрим движение геостационарного спутника—ретранслятора.Пусть он непрерывно излучает на Землю поток электромагнитной энергиимощностью w. Космическому аппарату массой m тем самым дается возмущающее ускорение S = w/(mc), где c — скорость света. Найдем значение147Таблица 5.2: Значения физических параметров cпутниковСпутникиЯмал–401Экспресс–АМ5QuetzSat–1масса (кг)2 9763 3605 514w (кВт)1115201.4881 · 10−81.2090 · 10−8P = w/(mc) (м/с2 ) 1.2321 · 10−8kρk = S/ω 2 (м)2.3172.7992.274kρk/r5.5 · 10−86.6 · 10−85.4 · 10−8kρk для трех спутников с наибольшей мощностью излучения: Молния–3К,Экспресс–АМ5, QuetzSat–1, полагая P = (S, 0, 0), S > 0. Для геостационарных спутников ω = 7.292 · 10−5 c−1, e = 0.
Значения физических параметров, размещенные на сайтах [7, 6, 70, 5, 71], приведены в таблице 5.2,в предпоследней строке которой дается значение kρk согласно (3.21), в последней строке — относительная погрешность положения спутника.Как видим, относительная погрешность положения спутника, возникающая за счет замены оскулирующих элементов орбиты средними в первом приближении, в рассмотренных случаях менее 10−7, а величина kρkменее 3 метров.5.2.Применение результатов, полученных в главе 4Применим результаты нашего исследования к задаче изменения ор-биты астероида и ИСЗ.
Рассмотрим движение малого тела в сопровождающей системе координат O1 под действием дополнительного возмущения.1. Снабдим астероид (99942) Apophis двигателем малой тяги, напра-148вив вектор возмущающего ускорения в произвольном направлении. Приведем начальные элементы орбиты Апофиса для гелиоцентрической задачина эпоху 2454441.5 (2007-Dec-07.0) TDB [85]:κ = 1.152 · 1010 м3/2с−1,a0 = 0.9222788903 a.e.
= 1.37970958 · 1011 м,ω0 = 2.2478688 · 10−7 рад с−1,e0 = 0.19107952,i0 = 3.33129022◦,σ0 = 126.3936406◦,Ω0 = 204.4571896◦,M0 = 215.5399783◦.Диаметр астероида ∼ 370 м, масса ∼ 6.1 · 1010 кг.С двигателем малой тяги в 1 Н можно принять P ≈ 1.64 · 10−11м с−2 .В сопровождающей системе координат O1 компоненты вектора возмущающего ускоренияS = P cos ǫS 6 P,T = P cos ǫT 6 P,W = P cos ǫW 6 P,где ǫS , ǫT , ǫW — углы между вектором P и соответствующей осью. Поло√жим ǫS = ǫT = ǫW = π/4, тогда S = T = W = 2P/2 ≈ 1.16 × 10−11м с−2 .При таких значениях ускорения согласно (3.21) kρk = 978.3 м. Малая величина µ задается малостью величины возмущающего ускорения, то есть√µ ≈ 1.2 · 10−11, µ ≈ 3.5 · 10−6.√Исследуем формулу (4.54) на временах ∼ 1/ µ ≈ 3 ·105c ≈ 3.5 суток.В формулах (4.55) компоненты S, T, W ∼ µ, в (4.56) их произведения ∼ µ2 ,но в знаменателях содержатся величиныa ∼ 1/µ,√ωa ∼ 1/ µ,ωa2 ∼ 1/µ3/2,ω 2 a2 ∼ 1/µ,поэтомуα1 t ∼ µ3/2,β1 t ∼ µ5/2;αn t ∼ µ,βn t2 ∼ µ2 ,n = 2 .
. . 5.149Исследуем формулу (4.58):St ∼√µ,ST t2 ∼ µ,T 2 t3 ∼√µ,T t2 ∼ 1.2Итак, слагаемое − 3η2a T t в δM дает возмущение порядка µ, первое слагаемое3− ωaSt также ∼ µ за счет малого делителя ωa, а все остальные возмущениявсех элементов с учетом знаменателей — порядка µ3/2 и менее. Поэтому дляоценки отклонения достаточно учитывать лишь два этих слагаемых в δMи α2 , . . . , α5 в других элементах, а остальные возмущения всех элементовотбросить. Формулы (4.54), (4.58) примут видδx1 = 0,δxn = αn t,δM = −n = 2 . . .
5,33ηSt − T t2.ωa2aВ таблице 5.3 приведены изменения элементов Апофиса при указанных настр. 148 начальных данных через время t = 3 · 105с. Во втором столбце —изменения элементов с учетом только возмущений порядка µ, в третьемстолбце — всех возмущений.Таблица 5.3: Изменения элементов Апофиса через время t = 3 · 105 с действия тягиδω(рад/с)0−7.42221 · 10−17δa(м)030.37079−11δe−3.15461582603 · 10−3.15461582596 · 10−11δi(рад)1.942655826066 · 10−11 1.942655826748 · 10−11δΩ(рад) −4.53553876293 · 10−10 −4.53553876109 · 10−10δσ(рад)5.6285040680 · 10−105.6285040663 · 10−10δM(рад) −3.4752018775 · 10−10 −3.4752018777 · 10−10Оценим смещение положения тела по сравнению с невозмущеннымчерез время t. Пусть ξ10 , ξ20, ξ30 - начальное положение малого тела, ξ1 , ξ2, ξ3 -150невозмущенное положение астероида через время t, ξ1′ , ξ2′ , ξ3′ - возмущенноеположение в результате действия тяги в течение времени t.
Тогда расстояние d между возмущенным и невозмущенным положением малого тела:qd = (ξ1′ − ξ1 )2 + (ξ2′ − ξ2 )2 + (ξ3′ − ξ3 )2 ,где декартовы координаты ξ1 , ξ2, ξ3 , ξ1′ , ξ2′ , ξ3′ можно найти по формулам(1.21) с учетом (1.23). Учитывая начальные значения элементов и их изменение в результате действия тяги (см. табл. 5.3), получим в первом случаесмещение d = 27 м, во втором — d = 46 м.
Через 1 год действия тяги приучете всех возмущений Апофис сместится от своего невозмущенного положения на 20.7 км, большая полуось при этом увеличится на 3 192.6 м, изменение остальных элементов незначительно. Если направить тягу вдольрадиуса-вектора, то смещение при тех же начальных условиях составит4.6 км, при тяге по трансверсали d = 24.6 км, если же тяга направлена побинормали, то смещение будет всего лишь 652 м. Таким образом максимальное смещение от невозмущенного положения получим с помощью добавочного ускорения, направленного по трансверсали (перпендикуляру крадиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения).Увеличим тягу до 100 Н, что достижимо с помощью двух сотен плазменных двигателей с тягой 0.5 Н (такие двигатели уже существуют, такжеразрабатываются двигатели с тягой до 25 Н [62]), и направим её перпендикулярно радиусу-вектору, так, что T = 1.64 · 10−9, S = W = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
