Диссертация (1149310), страница 20
Текст из файла (страница 20)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4 Фазовый портрет системы (4.38). V=0, ±0.4, ±0.8, ±1, ±1.2,±1.4; A2 = A3 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5 Зависимость i, σ, Ω − Ω0 от времени t(с) для указанных нас. 123 начальных данных, а также S = 10−9м с−2, W =10−9м с−2, V = 1.03583. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .124127130136138Список таблиц3.1 Значения e0(n), min αn и αn (1) для n 6 10 и выборочно дляn > 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2 Значения βn (e) для n 6 10 и выборочно для n > 100 . . . . 1145.1 Значения орбитальных и физических параметров астероидов 1465.2 Значения физических параметров cпутников . .
. . . . . . . 1475.3 Изменения элементов Апофиса через время t = 3 · 105с действия тяги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1491755.4 Изменения элементов малого тела массой 1.3 · 107 кг черезвремя t = 4300 с действия тяги . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.5 Изменения элементов спутника через время t действия тяги(приближенное решение) . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.6 Изменения элементов спутника через время t действия тяги(точное решение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158176Приложение A.Средние значения и первообразные от некоторыхфункций эллиптического движенияВсе нужные нам величины считаются функциями средней аномалии имогут быть выражены явно как аналитические 2π-периодические функцииэксцентрической аномалии, зависящие от параметра e, 0 6 e < 1.Любая переменная может быть представлена суммой четной и нечетной функции, причем свойства четности/нечетности по переменным M иE совпадают. Среднее значение нечетной функции равно нулю.
Поэтомуограничимся четными функциями, для которых среднее значение равноZZ1 π1 π̟ dM =̟(1 − e cos E) dE.(A.1)E̟ =π 0π 0Полезными могут оказаться свойства:Z π̟(cos x) dx = 0, если ̟(cos x) = −̟(− cos x),(A.2)0Zπ̟(cos x) dx = 20Zπ/2̟(cos x) dx,если ̟(cos x) = ̟(− cos x).0(A.3)Приведем средние значения нужных нам функций, многие из которых можно найти в [53, 48].eE cos E = − ,2E cos(k + 1)E = Ea cos kE= 0,rk = 1, 2, . .
. ,177aE = 1,rre2E =1+ ,a2r3E cos θ = − e,a23Eξk = − aebk1 .2Здесь ξk — декартовы координаты, величины bk1 даются формулами (1.24).Теперь легко вычислить первообразные, выбирая константу интегрирования C так, чтобы первообразная обладала нулевым средним:e(cos E + )(1 − e cos E) dE =2Z 2e2eeesin E − sin 2E ,=cos E − cos E + (1 − 2 cos2 E) dE = 1 −2224ZZ(cos E − E cos E) dM =sin E dM = −= − cos E +ZZ(1 − e cos E) d(cos E) = − cos E +ecos2 E =2eee(1 + cos 2E) + C = − − cos E + cos 2E,424Z Z a1a−EdM =− 1 (1 − e cos E) dE =rr1 − e cos EZ= e cos E dE = e sin E,Z Z rre2−EdM = −e cos E +(1 − e cos E) dE =aa2Z e2ee3=−(e − ) cos E + (1 − 2 cos2 E) dE = − [2(2−e2) sin E−e sin 2E],224Za cos kEdM =rZZcos kE(1 − e cos E) dE =1 − e cos Ea sin EdM =rZZcos kE dE =sin E(1 − e cos E) dE =1 − e cos EZsin kE,ksin E dE =178e= − cos E + C = − − cos E,2ZZa sin(k + 1)Esin(k + 1)EdM =(1 − e cos E) dE =r1 − e cos EZcos(k + 1)E= sin(k + 1)E dE = −k+1при натуральном k.Напомним, выписанные первообразные обладают нулевым средним.179Приложение B.Cредние значения и первообразные от функцийэллиптического движения, содержащих радикалыВсе нужные нам величины считаются функциями средней аномалиии могут быть выражены явно как непрерывные (и даже аналитические)2π-периодические функции истинной или эксцентрической аномалии, зависящие от параметра e, 0 < e < 1.
Нулевое значение эксцентриситета рассматривается как предельное. Используются следующие обозначения дляэллиптических интегралов Лежандра в тригонометрической форме [11]:Полные эллиптические интегралы I и II родаK(e) =Zπ/20dx,h(x, e)E(e) =Zπ/2h(x, e) dx.0Интеграл, приводимый к полным эллиптическим интегралам I и II родаD(e) =Zπ/20sin2 x dx K(e) − E(e)=.h(x, e)e2Неполные эллиптические интегралы I и II родаF1(E, e) =ZE0dx,h(x, e)F2(E, e) =Z0Eh(x, e) dx.(B.1)180Интеграл, приводимый к неполным эллиптическиминтегралам I и II родаZEF3 (E, e) =0pгде h(x, e) = 1 − e2 sin2 x.sin2 x dx F1(E, e) − F2(E, e)=,h(x, e)e2(B.2)Интегралы от четных функций1.
Рассмотрим неопределенный интегралZpcosn E dE,ϑ = 1 − e2 cos2 E .̺¯n (E, e) =ϑ(E, e)(B.3)При n = 0, 2 с помощью подстановки x = π/2 + E получаем стандартныеэллиптические интегралы (B.1, B.2):ZZπdxdE√p̺¯0 === F1 (x, e) = F1+ E, e ,2221 − e2 cos2 E1 − e sin xZZπsin2 xdxcos2 E dE√p̺¯2 === F3 (x, e) = F3+ E, e .2221 − e2 cos2 E1 − e sin xПри n = 1 подстановкаπecosz=√+E21 − e2сводит ̺¯1 к элементарному интегралу:̺¯1 =ZZcos E dEdz1 p2√√=−= − ln1+z +z =e1 − e2 cos2 E "e 1 + z2#√√1( 1 + z 2 + z)( 1 + z 2 − z)√= − ln=e1 + z2 − z 1 ϑ + e sin E1 p2= ln1 + z − z = ln √.ee1 − e2181Таким образом несложно вычислить ̺¯n (E, e) при n = 0, 1, 2. Длябо́льших n можно использовать рекуррентную формулу(n + 1)e2̺¯n+2 = n(1 + e2 )¯̺n − (n − 1)¯̺n−2 − ϑ sin E cosn−1 E.(B.4)Для ее получения интеграл (B.3) для ̺¯n+2 умножим на e2 и учтем, чтоe2 cosn+2 E = e2 cos2 E cosn E = 1 − (1 − e2 cos2 E) cosn E = (1−ϑ2) cosn E ,(B.5)e2 cosn+2 E dE(1 − ϑ2 ) cosn E dEe2 ̺¯n+2(E, e) ===ϑ(E, e)ϑ(E, e)ZZn= ̺¯n (E, e) − ϑ cos E dE = ̺¯n (E, e) − ϑ cosn−1 E d sin E .ZZПосле интегрирования по частям и упрощающих выкладок получим:e2̺¯n+2 = ̺¯n − ϑ sin E cosn−1 E − (n − 1)¯̺n−2 + (ne2 + n − 1)¯̺n − ne2 ̺¯n+2 ,что, очевидно, приводит нас к выражению (B.4).В итоге получаем нужные нам первообразные̺¯0 = F1(π/2 + E, e),ϑ + e sin E,e¯̺1 = ln √1 − e2̺¯2 = F3(π/2 + E, e),ϑ + e sin E2e3̺¯3 = (1 + e2 ) ln √− eϑ sin E ,1 − e23e2̺¯4 = 2(1 + e2)F3 (π/2 + E, e) − F1 (π/2 + E, e) − ϑ sin E cos E.2.
Вычислим среднее значение подынтегральной функции (B.3)π̺∗n (e)def= πEcosn Eϑ=Z0πcosn E(1 − e cos E) dE=ϑ= (¯̺n (E, e) − e¯̺n+1 (E, e)) E=πE=0 .182Очевидно,̺¯1 (0, e) = ̺¯1 (π, e) = ̺¯3 (0, e) = ̺¯3 (π, e) = 0,Z 3π/2Z π/2dxdx̺¯0 (π, e) − ̺¯0 (0, e) === 2K(e),h(x, e)π/2−π/2 h(x, e)̺¯2 (π, e) − ̺¯2 (0, e) = 2D(e),̺¯4 (π, e) − ̺¯4 (0, e) =Окончательно,π̺∗0 = 2K(e),π̺∗3 = −2 22(1+e)D(e)−K(e).3e2π̺∗1 = −2eD(e),π̺∗2 = 2D(e),2 2(1 + e2 )D(e) − K(e) .3e3. Рассмотрим интегралZ ncos E∗− ̺n dM =̺n (E, e) =ϑ= ̺¯n (E, e) − e¯̺n+1 (E, e) −̺∗n (e)(B.6)(B.7)πE − e sin E +.2Здесь мы добавили постоянную π/2, чтобы обеспечить нечетность получаемых функций, как будет показано ниже.Подставляя полученные в пунктах 1, 2 значения, получим 2ππϑ + e sin E̺0 = F1+ E, e − K(e) E − e sin E +− ln √,22π21−e 2ππ1 ϑ + e sin E̺1 = −e F3+ E, e − D(e) E − e sin E ++ ln √,22π2e1−e 2ππ̺2 = F3+ E, e − D(e) E − e sin E ++2π2ϑ1 + e2 ϑ + e sin E+sin E −ln √.(B.8)2e2e21 − e2Как известно [3, §VII.3], F1(x + π, e) = F1 (x, e) + 2K(e), F3 (x + π, e) =F3(x, e) + 2D(e).
Поэтому стоящие в фигурных скобках функции 2π-183периодичны. Далее,Z π/2+Eπ Z π/2 dxdxF1+ E, e =+=2h(x, e)h(x, e)0π/2= K(e) +ZE0F2π2 Z+ E, e =π/2h(x, e)dx +0Z√dt,1 − e2 cos2 tπ/2+Eh(x, e)dx =π/2= E(e) +ZE0p1 − e2 cos2 t dt,где t = x − π2 , так что функцииZ E 2ππdt2√+ E, e − K(e) E +=− K(e)E ,F12π21 − e2 cos2 t π0Z Ep 2ππ2F2+ E, e − E(e) E +=1 − e2 cos2 t dt − E(e)E (B.9)2π2π0нечетны. Действительно,Zf (E) =E0f (−E) =Z0−Edt2√− K(e)E ,1 − e2 cos2 t π√2dt− K(e)(−E).1 − e2 cos2 t πЗамена t → −t показывает, чтоZ Edt2√f (−E) = −+ K(e)E = −f (E) .1 − e2 cos2 t π0Аналогично для второго выражения (B.9).
Следовательно, функцияπ 2πF3+ E, e − D(e) E +=2π2 2π 21πππ= 2 F1+ E, e − K(e) E +− F2+ E, e + E(e) E +e2π22π2также нечетна. Таким образом, нечетны все функции в фигурных скобках.Логарифмическое слагаемое нечетно, посколькуϑ + e sin E(1 − e2 cos2 E) − e2 sin2 Eϑ − e sin Eln √= ln √= − ln √.1 − e21 − e2 (ϑ − e sin E)1 − e2184Окончательно, функции ̺0 , ̺1, ̺2 имеют период 2π, нечетны и тем самымобладают нулевым средним. Расчет величин в фигурных скобках достаточно производить на промежутке −π/2 6 E 6 π/2.Замечание. Функции (B.8) не имеют особенностей при нулевом эксцентриситете.
При малых e во избежание потери точности лучше пользоваться рядами по степеням эксцентриситета. Нужные разложения дляэллиптических интегралов содержатся в [27, 8, 1]:() 222 2n−2∞ X11·3πΓ(2n−1)πk1+k2 +k4 + . . . =K(k) =,222·42 n=1Γ(n)224(n−1)() 22 4π11·3 kk2 −E(k) =1−−... =222·43()2∞ XπΓ(2n + 1)k 2n=1−.(B.10)24n (2n − 1)2Γ(n+1)2n=1Выпишем окончательные выражения для функций (B.8) с точностью допятой степени эксцентриситета включительно:e2e33e4sin 2E −(3 sin E + sin 3E) +(8 sin 2E + sin 4E) −824256e5−(60 sin E + 25 sin 3E + 3 sin 5E) ,640ee2e3̺1 = sin E − sin 2E − (3 sin E − sin 3E) − (8 sin 2E + sin 4E)+42464e4e5+(30 sin E + 25 sin 3E + 3 sin 5E) −(45 sin 2E + 9 sin 4E + sin 6E),6405121ee2̺2 = sin 2E − (3 sin E + sin 3E) + (8 sin 2E + sin 4E)−412643ee4−(60 sin E + 25 sin 3E + 3 sin 5E) +(45 sin 2E + 9 sin 4E + sin 6E)−4805123e5−(525 sin E + 245 sin 3E + 49 sin 5E + 5 sin 7E)e5.(B.11)17920̺0 =Ряды (B.11) дают значения выражений (B.8) с погрешностью менее ±10−7для e ≤ 0.1.
Для больших значений эксцентриситета необходимо использо-185вать разложения с учетом членов более высокой степени e.Приведем также интегралы от ̺0 , ̺1 в (B.11) по переменной M, обладающие нулевым средним:e2e3(27 cos E + 5 cos 3E)+ωI̺0 = − cos 2E +16144e4+(288 − 272 cos 2E − 25 cos 4E)+3072e5+(5400 cos E + 1175 cos 3E + 81 cos 5E),38400e2e3ecos 3E +(32 cos 2E + 7 cos 4E)−ωI̺1 = − cos E − (4 − 3 cos 2E) −818768e4e5−(525 cos E + 175 cos 3E + 12 cos 5E) −(1680−480030720− 2010 cos 2E − 303 cos 4E − 22 cos 6E).(B.12)Представление (B.3) показывает, что функции ̺¯n , ̺∗n, ̺n при вещественных E голоморфны по e в круге |e| < 1 и имеют особенность наего границе.
Следовательно, радиус сходимости рядов (B.11, B.12) равенединице.Замечание. Нетрудно преобразовать ряды (B.11, B.12) к переменнымM, e. Их форма рядов Пуассона сохранится. Однако радиус сходимостиуменьшится до предела Лапласа |e| < 0.6627, поэтому предпочтительнеесохранить эксцентрическую аномалию в качестве быстрой переменной.Интегралы от нечетных функций1. Рассмотрим неопределенный интегралZsin E cosn E dEτ̄n (E, e) =.ϑ(E, e)(B.13)При n = 0 , 1 он близок к табличному после подстановки z = e cos E:ZZZsin E dEe d cos E1dz√√√τ̄0 ==−=−=e1 − e2 cos2 Ee 1 − e2 cos2 E1 − z218611= − arcsin z = − arcsin(e cos E),eeτ̄1 =ZZ 2Zsin E cos E dEe cos E d cos E1z dz√√√=−=− 2=e1 − e2 cos2 Ee2 1 − e2 cos2 E1 − z21p1p= 2 1 − z 2 = 2 1 − e2 cos2 E .eeДалее можно получить рекуррентную формулу, для чего умножим(B.13) на e2 и воспользуемся формулой (B.5):Z 2Zn+2esinEcosEdE(1 − ϑ2 ) sin E cosn E dEe2 τ̄n+2(E, e) ===ϑϑZ= τ̄n (E, e) + ϑ cosn E d cos E .После интегрирования по частям и упрощающих выкладок получим:e2 τ̄n+2 = (n + 1)τ̄n + ϑ cosn+1 E − (n + 1)e2τ̄n+2 .В результате придем к выражению:(n + 2)e2τ̄n+2 = (n + 1)τ̄n + ϑ cosn+1 E.Таким образом,1τ̄0 = − arcsin(e cos E),eϑτ̄1 = 2 ,e1τ̄2 = 3 [ϑe cos E − arcsin(e cos E)] .2e(B.14)(B.15)(B.16)2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
