Диссертация (1149310), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Действиетакой тяги в течение 1 года приведет к увеличению большой полуоси на451.5 км и отставанию на 0.001 градуса по средней аномалии, а смещениеот невозмущенного положения составит 2.46458 Мм. При этом ускорении151согласно (3.21) kρk = 129.3 км, относительная погрешность будет порядка10−6 радиуса-вектора.Вычисления по формуле (12), приведенной в главе 7 [32], дают следующую оценку для отклонения астероида с массой, как у Апофиса: притяге 100 Н тело сместится от невозмущенного положения на 2.5 Мм за1.011 года. В статье [63] получена величина отклонения Апофиса с помощью солнечного паруса, развивающего в среднем добавочное ускорение1.2 · 10−8м с−2 : 20 000 км за 1000 дней действия тяги.
Эти результаты замечательно согласуются с нашим.Согласно [50], при наличии добавочного отрицательного тангенциального ускорения, возникающего, например, за счет действия на Апофис эффекта Ярковского, происходит уменьшение большой полуоси орбиты, увеличение среднего движения астероида, тем самым сокращается расстояние от центра эллипса рассеяния до замочной скважины шириной 600 м, иувеличивается вероятность столкновения в 2036 году. Если же знак ускорения положителен, то вероятность столкновения уменьшается.
В [50] показано, что при учете добавочного тангенциального ускорения величиной−8.748 · 10−14 а.е./сут2 (0.1 Н) Апофис сместится на 750 км за 19 лет, а вработе [61] наиболее вероятная величина смещения за счет эффекта Ярковского составила 200 км за период с 2005 по 2029 год. Эти значениясогласуются с данными, полученными для астероида Голевка в результате наблюдений: с 1991 по 2003 годы траектория астероида отклонилась отрассчитанной на 15 км [60]. Дополнительное ускорение за счет двигателеймалой тяги, направленное перпендикулярно радиусу-вектору в плоскостиорбиты в сторону движения, приведет к уменьшению среднего движения,152и как следствие, уменьшению вероятности столкновения с Землей. Такимобразом, даже малое, но длительное (от нескольких месяцев до нескольких лет) воздействие может отклонить Апофис с опасной орбиты так, чтов критический момент он пройдет мимо 600–метровой замочной скважины.
Для значительного изменения орбиты необходимо либо много времени(десятки лет), либо увеличение тяги.2. Однако если на орбите Апофиса оказался бы астероид массой в1.3 · 107 кг (масса челябинского метеорита согласно [88]), то с двигателеммалой тяги в 1 Н величина возмущающего ускорения составила бы P ≈√7.7 · 10−8м с−2, S = T = W = 2P/2 ≈ 5.44 × 10−8м с−2 , а следовательно√µ ≈ 5.44 · 10−8, µ ≈ 2.3 · 10−4.√Исследуем формулу (4.54) на временах ∼ 1/ µ ≈ 4300 c ≈ 1.2 часа.По-прежнему компоненты S, T, W ∼ µ, их произведения ∼ µ2 , но величиныв знаменателях теперьa ∼ 1/µ3/2,√ωa ∼ 1/ µ,ωa2 ∼ 1/µ2,ω 2 a2 ∼ 1/µ,поэтомуα1 t ∼ µ2 ,β1 t ∼ µ3 ;αn t ∼ µ,βn t2 ∼ µ2 ,n = 2 .
. . 5.Исследуем формулу (4.58). Теперь с учетом знаменателей первое слагае3мое в δM, равное − ωaSt, дает возмущение порядка µ, второе слагаемое23/2− 3η, остальные два слагаемые — порядка µ2 и менее. Поэтому2a T t ∼ µдля оценки отклонения достаточно учитывать лишь первое слагаемое в δMи α2 , . . .
, α5 в других элементах, а остальные возмущения всех элементов153выбросить, то есть формулы (4.54), (4.58) примут видδx1 = 0,δxn = αn t,δM = −n = 2 . . . 5,3St.ωaТаблица 5.4: Изменения элементов малого тела массой 1.3 · 107 кг через время t = 4300 сдействия тягиδω(рад/с)0−4.99191 · 10−15δa(м)02042.64270−9δe−2.12168136197 · 10−2.12168135849 · 10−9δi(рад)1.306560572 · 10−91.3065606031 · 10−9δΩ(рад)−3.0504405577 · 10−8 −3.0504404746 · 10−8δσ(рад)3.785529787 · 10−83.785529711 · 10−8δM(рад)−2.263490604 · 10−8−2.263490612 · 10−8В таблице 5.4 приведены изменения элементов при указанных настр.
148 начальных данных и массе астероида 1.3 · 107 кг через времяt = 4300 с. Во втором столбце — изменения элементов с учетом тольковозмущений порядка µ, в третьем столбце — всех возмущений.При таких изменениях элементов в первом случае получим смещениеd = 1724.07 м, во втором — d = 3009.65 м.
Через 1 год действия тягипри учете всех возмущений астероид сместится от своего невозмущенного положения на 97 Мм, но следует учитывать, что при таких значенияхкомпонент ускорения среднеквадратическая норма (3.21) kρk = 4.588 Мм.По формуле (12), приведенной в главе 7 [32], можно вычислить, что дляотклонения астероида с массой, как у челябинского метеорита на 97 Мм спомощью двигателя с тягой 1 Н потребуется 0.92 года. Эта оценка согласуется с нашим результатом.1543.
После выведения искусственного спутника в околоземное пространство часто возникает потребность в коррекции его орбиты или в разгонедо параболических скоростей, что может выполняться с помощью малыхтяг [31], [35]. В то же время представляет интерес оценка изменения орбиты ИСЗ вследствие воздействия некого постоянного возмущающего ускорения, например исследуем изменение орбиты геостационарного спутника—ретранслятора QuetzSat-1 под действием возмущающего ускорения, возникающего вследствие излучения на Землю потока электромагнитной энергии мощностью w.
Значения физических параметров ИСЗ приведены втаблице 5.2, элементы орбиты на 6 октября 2011 года, 06:06:48 UTC [75]:высота апоцентра над уровнем моря 35 797.3 км, высота перицентра надуровнем моря 35 722.7 км, наклон 0.1◦ (плоскость орбиты почти совпадает с плоскостью экватора), период обращения 1 434.74 мин, точка стояния 77 градусов западной долготы. Отсюда можно вычислить: апогейноерасстояние 42 168.3 км, перигейное расстояние 42 093.7 км, эксцентриситетe = 0.000885334, большая полуось a = 42 131 км. Так как спутник нахо√дится на геостационарной орбите, ω = κ/ a3 = 7.30073 · 10−5 c−1 , гдеpκ = 398600.5 · 109 м3 /с2 = 1.9964981843217388 · 107 м3/2с−1 — геоцентрическая гравитационная постоянная.
При t = 0 долготу восходящего узла,аргумент перицентра и среднюю аномалию положим равными нулю, таккак нас интересует только оценка отклонения ИСЗ от невозмущенного положения.Поскольку возмущающее ускорение P направлено по радиус-вектору,155то T = W = 0 и формулы (4.54), (4.58) примут видδxn = 0,n = 1 . . . 4,ηSt,ωa3δM = − St.ωaδσ =(5.1)То есть под действием тяги среднее движение, большая полуось, эксцентриситет, наклон и долгота восходящего узла изменяться не будут, возмущению в данном случае будут подвержены только аргумент перицентра исредняя аномалия ИСЗ.Для QuetzSat-1 (см.табл. 5.2) S = 1.2090 · 10−8м с−2 , следовательно√µ ≈ 1.2 · 10−8, µ ≈ 1.1 · 10−4.
Исследуем формулы (5.1) на временах√порядка 1/ µ, то есть t ≈ 9000с:St ∼√µ,1ωa ∼ √ ,3 µследовательно величины δσ, δM в (5.1) порядка µ. Через время t = 2.5 часадействия возмущающего ускорения средняя аномалия отклонится от своегоневозмущенного значения на −6.08058 · 10−6 градуса, а аргумент перицентра на 2.02686 · 10−6 градуса.С учетом всего вышесказанного отклонение ИСЗ от невозмущенного положения через 2.5 часа действия микровозмущения величиной6.67 · 10−5 Н будет равно d = 2.98 м, через 30 суток отклонение составит859.59 м, через год 10 427.91 м.
При этом спутник будет уходить от точкистояния, но конфигурация орбиты не изменится.4. Исследуем поведение орбиты спутника под действием малой тяги в 20 мН, создаваемой, например, плазменным двигателем [62]. В этом156случае, согласно (3.21) kρk = 2722 м, относительная погрешность составит ∼ 6.5 · 10−5 радиуса-вектора. Направим возмущающее ускорение P потрансверсали, то есть T = P, S = W = 0, тогда формулы (4.54), (4.58)примут вид3 4 − 7e2 2 23ηδω = − T t +T t,a4ωa23e 1 − 4e2 2 23eηδe = −Tt +T t,2ωa8ω 2 a2δi = 0,δΩ = 0,δσ = 0,3η 2 4 − 7e2 2 3T t.δM = − T t +2a4ωa2(5.2)√Исследуем формулы (5.2) на временах порядка 1/ µ.
Если принятьфизические параметры и элементы орбиты такими же, как ранее дляQuetzSat-1, то T = 3.6271 · 10−6м с−2, следовательноµ ≈ 4 · 10−6,Tt ∼a∼√µ,1,3µ3/2√µ ≈ 0.002,t ≈ 500с ,T t2 ∼ 1,T 2t2 ∼ µ,6ωa ∼ √ ,µωa2 ∼2,µ2T 2 t3 ∼√ω 2 a2 ∼µ,40.µОтсюда первое слагаемое величины δω в (5.2) порядка µ2 , второе ∼ µ3 ,за счет малого эксцентриситета в числителе первое слагаемое δe порядкаµ3/2, второе ∼ µ5/2, в выражении для δM первое слагаемое порядка µ3/2,второе ∼ µ5/2. Таким образом, первые слагаемые величин δω, δe, δM дают наибольший вклад в величину отклонения спутника от невозмущенногоположения.
В таблице 5.5 приведены отклонения возмущенных элементовИСЗ от их невозмущенных значений и расстояние d между возмущенным иневозмущенным положениями спутника через различные интервалы вре-157мени. В последней строке мы привели значение d, полученное с учетомтолько первых слагаемых в формулах (5.2).Таблица 5.5: Изменения элементов спутника через время t действия тяги (приближенноерешение)t(c)50086 4001 692 608δa(м)2 484.19684432 548.99.81206 · 106δω(рад/с) −6.45669 · 10−9 −1.11006 · 10−6 −1.96766 · 10−5δe−3.91499 · 10−8 −6.75653 · 10−6 −1.29225 · 10−4δM(◦ )−9.24861 · 10−5−2.75229−989.367076d(м)2 484.582.07946 · 106.72398 · 107d(м)2 484.652.08676 · 1062.00423 · 107Сравнивая две последние строки таблицы 5.5, видим, что на малыхвременах (до нескольких часов) влияние возмущений порядка менее µ2 навеличину отклонения d мало, но уже через сутки эти величины отличаются более чем на 7 км.
Это вызвано тем, что мы используем приближен√ный метод, применимый только на малых временах порядка 1/ µ. Прибольших значениях t вклад слагаемых, содержащих t2 , становится значительным, несмотря на малость величины ускорения. Однако в разделе 4.3мы получили точное решение системы осредненных уравнений в случаеT 6= 0, S = W = 0. Используем это решение, справедливое на временах0 6 t 6 t3 /10 ≈ 1.696 · 106 с ≈ 19.63 сут, и сравним с результатами,полученными выше. В таблице 5.6 мы привели изменения элементов спутника через те же интервалы времени, что и в таблице 5.5, но полученныес помощью формул раздела 4.3.Сравнивая таблицы 5.5 и 5.6, видим, что на малых временах по√рядка 1/ µ решения очень близки.
Тем не менее, мы считаем, что при-158Таблица 5.6: Изменения элементов спутника через время t действия тяги (точное решение)t(c)50086 4001 692 608δa(м)2 484.19684432 552.89.85923 · 106δω(рад/с) −6.45669 · 10−9 −1.11007 · 10−6 −1.97491 · 10−5δe−3.91499 · 10−8 −6.75652 · 10−6 −1.29168 · 10−5δM(◦ )−1.61339 · 10−4−2.75373−991.126426d(м)2 486.482.08050 · 106.62693 · 107ближенное решение осредненных уравнений в данном случае дает болеенадежный результат, поскольку формулы раздела 4.3 представляют собой зависимости элементов a, ω, e, M и времени t от вспомогательной переменной x. При машинных вычислениях моменты времени определяются дискретно с интервалом примерно 1 микросекунда, при этом моментуt = 500.000000397556 с соответствуют значения x от 0.009219880495281722до 0.00921988049528216, что порождает разброс δM от −0.00188472 ◦ до−0.00016134 ◦, что, в свою очередь, соответствует значениям d от 2844.16 мдо 2486.48 м, то есть точность определения величины отклонения положения спутника от невозмущенного ±200 м.
Расхождения остальных элементов появляются для большой полуоси в шестом знаке после запятой, дляэксцентриситета в девятом, для среднего движения в восьмом знаке.√На интервале 1/ µ 6 t 6 t3 /10 ≈ 1.696 · 106 с предпочтительнееиспользовать точное решение, поскольку с ростом t возрастают величины отброшенных в (4.53) слагаемых. Последний столбец таблиц 5.5 и 5.6вычислен для момента времени t = 1 692 608 с ≈ 19.59 сут, соответствующего x = 0.0083 и находящегося в допустимом интервале 0 6 t 6 t3 /10 ≈1.696 · 106 с применимости точного решения, полученного в разделе 4.3.159Как видим из двух последних столбцов таблицы 5.6, воздействие малоговозмущения, направленного перпендикулярно радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения, приводит к увеличениюбольшой полуоси орбиты спутника и уменьшению эксцентриситета.
Непрерывное действие малой тяги в течение суток приведет к увеличению большой полуоси на 432.5 км. Таким образом, малую тягу можно использоватьдля перевода ИСЗ на более высокую орбиту.Заметим, что, поскольку на малых интервалах времени величинаkρk (3.21) сравнима с величиной смещения спутника от невозмущенного положения, то, как приближенное, так и точное решение осредненныхуравнений в данном случае (при величине возмущающего ускорения более10−6м с−2 ) можно использовать только для оценки долгосрочного поведения орбиты, не забывая, что в решении отброшены периодические возмущения.160ЗаключениеРассмотрена задача о движении точки нулевой массы под действиемпритяжения к центральному телу S и возмущающего ускорения P.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
