Диссертация (1149310), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Нам нужны средние значения этих четных функций. Вычислим сначаласреднее значение арксинуса:Z1 πE arcsin(e cos E) =arcsin(e cos E)(1 − e cos E) dE =π 0ZZ1 πe π=arcsin(e cos E) dE −arcsin(e cos E) d sin E .π 0π 0187Согласно свойству (A.2)Zπarcsin(e cos E) dE = 0 ,0так как arcsin — нечетная функция, arcsin(e cos E) = − arcsin(−e cos E).Второй интеграл интегрируем по частям:Zπarcsin(e cos E)d sin E =0Z πE=πsin2 E√= sin E arcsin(e cos E) E=0 + edE =1 − e2 cos2 E0Z π1 − cos2 E√=edE = e(¯̺0 − ̺¯2 ) E=πE=0 .2 cos2 E1−e0Учитывая соответствующие формулы (B.6, B.7), окончательно получим:2E arcsin(e cos E) = −e(̺∗0−̺∗2 )2e2=[D(e) − K(e)] .πТеперь найдем среднее значение функции ϑ:Z1 πp2Eϑ =1 − e2 cos2 E(1 − e cos E) dE = E(e) ,π 0πтак какZ0πZp1 − e2 cos2 E dE =3π/2 pπ/21 − e2 sin2 x dx ==Zπ/2h(x, e) dx = 2E(e),−π/2где мы использовали замену E = x − π/2. Далее, согласно (A.2)Z πp1 − e2 cos2 E cos E dE = 0,0√поскольку cos E 1 −e2 cos2 Ep= −(− cos E) 1 − e2 (− cos E)2.Нам еще требуется среднее значениеZp1 πEϑ cos E =cos E 1 − e2 cos2 E dM =π 01881=πТеперь легко найтиZ0πcos E − e2 cos3 E√dM = ̺∗1 − e2 ̺∗3 .221 − e cos E2e3E τ̄2 = eEϑ cos E − E arcsin(e cos E) = e ̺∗1 − e2 ̺∗3 + e2 (̺∗0 − ̺∗2 ) .Окончательно,2e[D(e) − K(e)] ,π2E τ̄1 = 2 E(e),πe2 E τ̄2 =K(e) − (2 − e2 )D(e) .3πeE τ̄0 = −3.

Теперь в нашем распоряжении первообразные (B.13) с нулевым средним12eτ0 = − arcsin(e cos E) + [D(e) − K(e)] ,eπ21τ1 = 2 ϑ − E(e) ,eπ12 τ2 = 3 [ϑe cos E − arcsin(e cos E)] −K(e) − (2 − e2 )D(e) . (B.17)2e3πeКак и ̺n , функции τn не имеют особенностей при e = 0. Приведем ихразложения до пятой степени эксцентриситета включительно:e e2e3+ (3 cos E + cos 3E) + +2 241643e3e5+(10 cos E + 5 cos 3E + cos 5E) +,6401281e2e4−τ1 = cos 2E + (4 cos 2E + cos 4E) +(15 cos 2E + 6 cos 4E + cos 6E),4645121ee2e3−τ2 = (3 cos E + cos 3E) + +(10 cos E + 5 cos 3E + cos 5E) + +128 160324515e3e+(35 cos E + 21 cos 3E + 7 cos 5E + cos 7E) +.(B.18)35841024−τ0 = cos E +Ряды (B.18) аппроксимируют выражения (B.17) с погрешностью не более±5 · 10−8 для e ≤ 0.1.

С увеличением эксцентриситета погрешность растет.Радиус сходимости рядов (B.17, B.18) равен единице.189Приложение C.Преобразование одного тригонометрическогоуравненияПустьtg y = a tg x + b,a > 0, b ∈ R.(C.1)По монотонности каждому x ∈ (−π/2, π/2) отвечает ровно одно значение y ∈ (−π/2, π/2). Дадим удобное выражение для естественной ветвивещественно-аналитической функции y(x).Считаем x ∈ (−π/2, π/2), y ∈ (−π/2, π/2). Вычислим1= 1 + tg2 y = 1 + (a tg x + b)2 = 1 + a2 tg2 x + 2ab tg x + b2 =2cos ycos2 x + a2 sin2 x + 2ab sin x cos x + b2 cos2 x==cos2 xa2 + (1 − a2 + b2) cos2 x + ab sin 2x==cos2 x2a2 + (1 − a2 + b2)(cos 2x + 1) + 2ab sin 2x==2 cos2 x1 + a2 + b2 + (1 − a2 + b2 ) cos 2x + 2ab sin 2x=.2 cos2 x(C.2)Из (C.1, C.2) однозначно находим cos y, sin y с учетом cos x > 0, cos y > 0:√√22cos y =cos x,sin y =(b cos x + a sin x),(C.3)zz190p1 + a2 + b2 + (1 − a2 + b2) cos 2x + 2ab sin 2x.

Оценка z 2 получаqется вычитанием амплитуды синусоиды (1 − a2 + b2)2 + 4a2b2 из свобод-где z =ного члена 1 + a2 + b2 . Очевидно,pz > 1+a +b − (1 + a2 + b2)2 − 4a2 =224a221 + a2 + b2 +p(1 + a2 + b2 )2 − 4a2так что z положительно и отделено от нуля. Из (C.3)√z 2 cos(y − x) = γ(x),√z 2 sin(y − x) = δ(x),(C.4)гдеγ(x) = a + 1 − (a − 1) cos 2x + b sin 2x,δ(x) = b + b cos 2x + (a − 1) sin 2x = 2 cos x[b cos x + (a − 1) sin x].Покажем, что обращение в нуль sin(y − x) влечет положительность√cos(y−x). Действительно, если cos x = 0, то z 2 cos(y−x) = γ(x) = 2a > 0.Если b cos x + (a − 1) sin x = 0, тоcos x 1 − a=,sin xbследовательно, можно принятьk(1 − a)cos x = p,(a − 1)2 + b2Отсюдаcos 2x =(1 − a)2 − b2,(a − 1)2 + b2sin x = psin 2x =kb,(a − 1)2 + b22(1 − a)b,(a − 1)2 + b2k = ±1.√z 2 cos(y − x) = 2 ,что и требовалось. Далее, sin(y − x) = 0 влечет y − x ≡ 0 (mod 2π).Для положительности cos(y − x) при всех x необходимо и достаточно,чтобы свободный член γ(x) был больше амплитуды синусоиды, то естьa+1>p(a − 1)2 + b2,,191(a + 1)2 − (a − 1)2 > b2 ,4a > b2 .(C.5)При выполнении (C.5) с помощью (C.4) получаем две равносильные формулыδ(x)y = x + arcsin √ ,z 2y = x + arctgδ(x).γ(x)(C.6)Обратим внимание, что (C.6) определяют y при всех x ∈ (−∞, ∞), причем|y − x| <π,2πy = x при x = ± ,2πтак как при x = ± ,2x = ±π,2√sin 2x = 0,z 2 cos(y − x) = 2a,cos 2x = −1,sin(y − x) = 0.Если условие (C.5) нарушается, то вторая формула (C.6) становится непригодной, поскольку знаменатель обращается в нуль в некоторыхточках.

Первую же формулу следует заменить более общейδ(x)x + arcsin √ , если γ(x) > 0,z 2y=δ(x) x + π − arcsin √ , если γ(x) < 0.z 2(C.7)По-прежнему (C.7) определяет y при всех x ∈ (−∞, ∞), причем|y − x| < π,y = x при x = ±π/2 .Замечание. Случай a = 0 тривиален. Случай a < 0 сводится к рассмотренному подстановкой x 7→ −x..

Характеристики

Список файлов диссертации