Диссертация (1149310), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Фазовый портрет системы — тот же, что описан в параграфе 4.3. Соотношение (4.18) сохраняется133и после перехода к переменной x согласно (4.11) принимает вид√sin i di3Wxpdx.=2T 1 − x3sin2 i − V 2Вспомогательный угол ϕ введем соотношениями√3/23WxW(1 + x3/2)(1 − x0 )dϕ =dx,ϕ = ϕ0 +ln.2T 1 − x32T (1 − x3/2)(1 + x3/2)(4.34)(4.35)0Уравнение (4.34) переходит в (4.20), и формулы (4.22 – 4.24) остаются всиле.Подставив (4.22, 4.23) во второе уравнение (4.15), получим с учетом(4.33, 4.11) уже знакомое уравнение (4.25). Поэтому формулы (4.26, 4.27,4.28, 4.29) остаются справедливыми. Величины t∗ , t∗ совпадают с найденными в §4.3.4.7.Эволюция некруговых орбит при SW 6= 0, T = 0При T = 0 система (4.1) принимает вид:ω̇ = 0,ė = 0,3ecos σW,2ωaη3eΩ̇ = −sin σW,2ωaη sin iη3e ctg iσ̇ =S+sin σW,ωa2ωaη3Ṁ = ω −S.ωa•ı=−В этом случае элементы ω, a, e постоянны, M = M0 + ω −остальные уравнения системы (4.36) принимают вид:•ı= −A2 cos σ,Ω̇ = −A2sin σ,sin iσ̇ = A3 + A2 ctg i sin σ,(4.36)3ωa St, а(4.37)134где здесь и ниже постоянные As определяются соотношениямиηA3 =S,ωa3eW,A2 =2ωaηA2A4 =,A3qA5 = A22 + A23 ,A6 = A2 A3A5 , A7 = A2V, A8 = A23V,qA9 = A22 + A23 − A23V 2 , A10 = A2A9 .Первое и третье уравнения (4.37) перепишем в форме уравнений Лагранжа•ı=A3 ∂V,sin i ∂σσ̇ = −A3 ∂Vsin i ∂i(4.38)приV = cos i − A4 sin i sin σ .(4.39)Функция (4.39) является интегралом системы (4.38).Построим фазовый портрет динамической системы (σ, i).
Не умаляяобщности, считаем A4 > 0, поскольку изменение знака A4 равносильнозамене σ на σ + π. Точки либрации динамической системы, в которых градиент V обращается в нуль, удовлетворяют уравнениямsin i + A4 cos i sin σ = 0,sin i cos σ = 0.В фазовом цилиндре −π < σ 6 π, 0 6 i 6 π таких точек шесть: Q1(0, 0),Q2(π, 0), Q3(0, π), Q4(π, π), Q5(−π/2, α), Q6(π/2, π − α), где α = arctg A4 .Обозначая Vs = V (Qs ), найдемV1 = V2 = 1,V3 = V4 = −1,V5 = −V6 =q1 + A24 .В частности,qmax |V | = 1 + A24 ,σ,imax A3|V | = A5 .σ,i(4.40)135Исследуем окрестность точки V5 максимума V , полагая σ = −π/2+σ ′ ,i = α+i′ . Разлагая V в ряд Маклорена по σ ′ , i′ и сохраняя члены до второгопорядка включительно, получим2A24σ ′2 + 1 + A4qqi′2 = 2 1 + A241 + A24 − V .Очевидно, V5 — устойчивая точка либрации, и поверхности уровня V в ееокрестности — замкнутые овалы.
Подстановка σ 7→ −σ, i 7→ π − i меняетзнак V . Поэтому окрестность точки V6 состоит из таких же овалов.Аналогично, в окрестности V1i2 + 2A4iσ = 2(1 − V ),что представляет собой уравнение гиперболы с асимптотами i = 0 иi = −2A4σ, отвечающими значению V = 1. Возвращаясь к фазовому портрету, констатируем, что при V = 1 движение происходит по сепаратрисе,состоящей из отрезка оси σ, соединяющего точки (0, 0) и (−π, 0), и дуги,касательной к асимптоте i = −2A4σ в точке Q1 .
Симметрия позволяет установить весь фазовый портрет, см. рисунок 4.4. Стрелки отмечают направление движения при A2 > 0, A3 > 0. Изменение знаков влечет изменениенаправления движения.Рассмотрим часть траектории внутри квадрата −π/2 6 σ 6 π/2. Вдополнение к условию A4 > 0 примем A2 > 0, A3 > 0 (изменения придругих правилах знаков очевидны). Выразим σ через i согласно (4.39):pA22 A29 − (A25 cos i − A8)2cos i − V, cos σ =.sin σ =A4 sin iA2A5 sin iПервое слагаемое под знаком корня положительно в силу (4.40), где равенство достигается лишь в точках либрации Q5, Q6.
Представим первое136Рис. 4.4: Фазовый портрет системы (4.38). V=0, ±0.4, ±0.8, ±1, ±1.2, ±1.4; A2 = A3 = 1.уравнение (4.37) в видеsin i dipA22A29 − (A25 cos i − A8 )2=−dt.A5Интеграл элементарен, и мы получаемA25 cos i − A8= sin ϕ,A2 A9гдеA25 cos i0 − A8ϕ̃ = arcsin.A2 A9ϕ = ϕ̃ + A5 t,(4.41)Отсюдаcos i =A8 + A2A9 sin ϕ,A25(4.42)что однозначно определяет i ∈ [0, π]. Из интеграла (4.39)sin σ =cos i − V,A4 sin icos σ =A9cos ϕ.A5 sin i(4.43)Избавимся от условия −π/2 6 σ 6 π/2. Достаточно модифицировать фор-137мулы (4.41)ϕ = ϕ0 + A5t,ϕ0 =ϕ̃, если− π/2 6 σ0 6 π/2 , π − ϕ̃, если π/2 6 σ0 6 3π/2 .Легко показать, что соотношения (4.42, 4.43) удовлетворяют начальнымусловиям.
А далее действует принцип аналитического продолжения.Перейдем к долготе узла. Вторая формула (4.37) вместе с формулами(4.42, 4.43) даетdΩA6 (A7 − A9 sin ϕ)A13A14= 4=+, (4.44)dϕA5 − (A8 + A10 sin ϕ)2A11 − A10 sin ϕ A12 + A10 sin ϕгдеA11 = A25 − A23V,2A13 = A3 A5(V − 1),A12 = A25 + A23 V,2A14 = A3 A5(V + 1).Согласно (4.40) A11 , A12 положительны. Далее,A211 − A210 = A23A25(1 − V )2,A212 − A210 = A23A25 (1 + V )2,так чтоA11 > |A10|,A12 > |A10|,(4.45)причем равенство достигается в одном из соотношений (4.45) на одной изсепаратрис V = ±1.Интеграл от правой части (4.44) элементарен [18, пункт 2.551].
При06ϕ<πZ2A13A13 dϕ=parctgA11 − A10 sin ϕA211 − A210или с учетом соотношений между AsA11pA211 − A210tgϕA10−p2A211 − A210ϕϕΩ = arctg A15 tg − A16 + arctg A17 tg + A18 + const,22!,(4.46)138Рис. 4.5: Зависимость i, σ, Ω − Ω0 от времени t(с) для указанных на с. 123 начальныхданных, а также S = 10−9 м с−2 , W = 10−9 м с−2 , V = 1.03583.гдеA11,A3 A5(V − 1)A12=,A3 A5(V + 1)A10,A3A5 (V − 1)A10=.A3A5 (V + 1)A15 =A16 =A17A18Распространим (4.46) на всю ось ϕ, применяя результаты Приложения C(в § 4.4 мы уже пользовались решением уравнения (C.1) при b = 0).
Различаем три случая.1391. V < −1, так что A15 < 0, A16 < 0, A17 < 0, A18 < 0. Обозначимγ1 = |A15| + 1 − (|A15| − 1) cos ϕ − A16 sin ϕ,δ1 = −A16 − A16 cos ϕ + (|A15| − 1) sin ϕ,qz1 = 1 + A215 + A216 + (1 − A215 + A216) cos ϕ − 2|A15|A16 sin ϕ,δ1arcsin √ , если γ1 > 0,z1 2ψ1 =(4.47)δ1 ±π − arcsin √ , если γ1 < 0,z1 2где знак перед π выбирается так, чтобы обеспечить непрерывностьфункции ψ1, а через γ2, δ2, z2 , ψ2 — те же величины при замене A15, A16на A17, −A18, ϕ на −ϕ. ТогдаΩ = Ω0 − Ω1 − ϕ + ϕ0 + ψ1 + ψ2 ,(4.48)где Ω1 равно значению ψ1 +ψ2 при ϕ = ϕ0 .
Долгота узла циркулируетв обратном направлении.2. V > 1, так что A15 > 0, A16 > 0, A17 > 0, A18 > 0. Выражения (4.47)для γ1 , δ1, z1, ψ1 и для γ2, δ2, z2 , ψ2 остаются справедливыми. Формула(4.48) принимает вид:Ω = Ω0 − Ω1 + ϕ − ϕ0 + ψ1 + ψ2 .(4.49)Долгота узла циркулирует в прямом направлении.3. −1 < V < 1, так что A15 < 0, A16 < 0, A17 > 0, A18 > 0. В формулах(4.47) для γ1, δ1, z1 , ψ1 необходимо заменить ϕ на −ϕ. Формулы дляγ2 , δ2, z2, ψ2 получаются из них подстановкой A15 7→ A17, A16 7→ −A18,−ϕ 7→ ϕ. В результатеΩ = Ω0 − Ω1 + ψ1 + ψ2 .(4.50)140Долгота узла либрирует.На рисунке 4.5 приведены зависимости i, σ, Ω − Ω0 от t для значенийпараметров, приведенных на с.
123, а также S = 10−9м с−2, W = 10−9м с−2 ,V = 1.03583.4.8.Эволюция некруговых орбит при ST W 6= 0При произвольных ST W 6= 0 поведение ω, a, e будет таким же, какописано в параграфе 4.3. Для M справедлива формула (4.31). Для остальных элементов i, Ω, σ уравнения будут иметь вид (4.37), но коэффициентыA2, A3 уже не будут постоянными. Величина A4 зависит явно от эксцентриситета.
Следовательно, (4.39) не является интегралом системы (4.38).Три уравнения (4.37) целесообразно решать численно или методом малогопараметра. Заметим, что достаточно решить лишь два уравнения — для iи σ, а Ω получается простой квадратурой.4.9.Решение осредненных уравнений на умеренной шкале времениМы убедились, что в общем случае решение осредненных уравненийдвижения имеет смысл на временах порядка µ−1 . В важных частных случаях оно находится в квадратурах, а иногда и в элементарных функциях. Нопри e0 ST W 6= 0 вряд ли можно обойтись без численного интегрирования.Альтернативой представляется применение метода рядов Ли по степенямвремени.Первые пять уравнений (4.1) независимы от шестого и являются по141терминологии Крылова – Боголюбова системой в стандартной форме [14]:ẋ = µP(x).(4.51)Для таких систем ряды по степеням времени t совпадают с рядами по малому параметру µ (фактически это ряды по степеням медленного времениµt).
Обозначим через µD оператор дифференцирования, порожденный системой (4.51),D=5XPkk=1∂.∂XkРяд Ли для компонент вектора x имеет вид [47, 48]xn = eµtD Xn = (1 + µtD +µ2 t2 2D + . . .)Xn ,2(4.52)где Xk — значения xk при t = 0. Ограничиваясь второй степенью µ, запишем (4.52) в видеxn = Xn + µtPn +µ2 t2DPn .2(4.53)Аргументами всех функций справа служат X — начальные значения вектора x. Чтобы не вводить громоздких обозначений, условимся через x1 = ω,x2 = e, x3 = i, x4 = Ω, x5 = σ обозначать начальные значения соответствующих переменных, а через δx1 = δω, δx2 = δe, δx3 = δi, δx4 = δΩ,δx5 = δσ — разности текущих (на эпоху t) и начальных (на эпоху t = 0)значений. Соотношение (4.53) примет форму:δxn = αn µt + βn µ2 t2 .(4.54)Ниже не будем вписывать µ, считая компоненты вектора P малыми величинами порядка µ.
В этих обозначениях αn = Pn равна правым частямпервых пяти уравнений (4.1),51 X ∂PnPk.βn =2∂xkk=1142Выпишем значения αn :3ηT,a3eη=−T,2ωa3e=−cos σW,2ωaη3esin σW,=−2ωaη sin iη3e ctg i=S+sin σW.ωa2ωaηα1 = −α2α3α4α5(4.55)Прямые вычисления дают для βn :234−7eωa2 β1 =T 2,423e1−4eω 2 a2 β2 =T 2,823e1+2ecos σ39e2 ctg i sin2 σ 2ω 2 a2 β3 = e sin σSW +TW+W ,48 (1 − e2 )8 (1 − e2 )23e1+2esin σ3ecosσ9e2 cos i sin 2σW 22 2,ω a β4 = −SW +TW −4 sin i8 (1 − e2 ) sin i8 (1 − e2 ) sin2 i23e1+2ectg i sin σ13ω 2 a2 β5 =2 + e2 ST + e ctg i cos σSW −TW+448 (1 − e2 )9e2 (3 + cos 2i) sin 2σ 2+W .(4.56)32 (1 − e2 ) sin2 iПравую часть шестого уравнения (4.1) можно рассматривать как явную функцию времени. Действительно, первые равенства (4.53, 4.54) показывают для текущего значения среднего движения3η3(4 − 7e2) 2 2ω(t) = ω − T t +T t,a4ωa2(4.57)откуда с нужной точностью−1/333η−2/3 −1/3−2/3−S = −3κω(t)S = −3κS ω − Tt=ω(t)a(t)a−1/33η3 η−2/3 −1/3= −3κωS 1−Tt=− S 1+Tt .ωaωaωa143Таким образом,"#234−7e33η3ηT 2t2 −S − 2 2 ST t =Ṁ = ω − T t +2a4ωaωaω a3 4 − 7e2 2 233η1=ω−S− T 1+ 2 S t+T t.ωaaω a4ωa2Невозмущенное значение средней аномалии равно M0 + ωt.
Обозначая через δM разность возмущенного и невозмущенного значений M, получимокончательно3η3δM = − St − Tωa2a14 − 7e2 2 321+ 2 S t +T t.ω a4ωa2(4.58)144Глава 5.Применение к задаче изменения орбиты астероидаили ИСЗ5.1.Применение результатов, полученных в главе 31. Рассмотрим движение сближающегося с Землей астероида (АСЗ), накотором установлен двигатель малой тяги, обеспечивающий постоянноеускорение P = (0, T, 0). Выберем три АСЗ: 99 942 Апофис, 101 955 Бенну, 410 777 (2009 FD).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
