Диссертация (1149310), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Можно пользоваться уравнениями (1.64), (1.65).Проверим это. Рассмотрим пертурбационную функцию R в виде:R = q1S + q2T + q3 W,(1.76)69где вектор обобщенных координатq = B1−1r,a11 a21 a31B1−1 = a12 a22 a32 .a13 a23 a33В случае постоянства P в первой сопровождающей системе отсчета компоненты возмущающего ускорения S, T, W постоянны, поэтому для любогоэлемента ǫ можно записать равенство вида:∂R ∂q1∂q2∂q3=S+T+W =∂ǫ ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂a11∂a21∂a31∂ξ1∂ξ2∂ξ3=Sξ1 +ξ2 +ξ3 +a11 +a21 +a31 +∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂a12∂a22∂a32∂ξ1∂ξ2∂ξ3+Tξ1 +ξ2 +ξ3 +a12 +a22 +a32 +∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂a13∂a23∂a33∂ξ1∂ξ2∂ξ3+Wξ1 +ξ2 +ξ3 +a13 +a23 +a33 =∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂a11∂a21∂a31∂(ra11)∂(ra21)∂(ra31)=Sra11 +ra21 +ra31 +a11 +a21 +a31 +∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂a12∂a22∂a32∂(ra11)∂(ra21)∂(ra31)+Tra11 +ra21 +ra31 +a12 +a22 +a32 +∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂a23∂a33∂(ra11)∂(ra21)∂(ra31)∂a13+Wra11 +ra21 +ra31 +a13 +a23 +a33 =∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂a11∂a21∂a31∂r= S 2ra11 + 2ra21 + 2ra31 ++∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂a12∂a22∂a32∂a11∂a21∂a31+ rTa11 +a21 +a31 +a12 +a22 +a32 +∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂a13∂a23∂a33∂a11∂a21∂a31+ rWa11 +a21 +a31 +a13 +a23 +a33 ,∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ∂ǫ(1.77)так как a211 + a221 + a231 = 1, a11 a12 + a21a22 + a31a32 = 0, a11a13 + a21 a23 +a31a33 = 0.Используя частные производные от r, θ, a11, a21 , a31 по элементам70(1.67, 1.68), найденные в предыдущем разделе, а также:∂a22∂θ∂a32∂θ= −a21 ,= −γ ,∂e∂e∂e∂e∂a22= sin i cos(σ + θ) sin Ω,= − sin i cos(σ + θ) cos Ω,∂i∂a12∂e∂a12∂i∂a32∂i∂a13∂i∂a12∂Ω∂a13∂Ω∂a12∂σ∂a12∂M= −a11∂θ,∂e= cos i cos(σ + θ),∂a23∂a33= − cos i cos Ω,= − sin i,∂i∂i∂a22∂a32= −a22 ,= a12 ,= 0,∂Ω∂Ω∂a23∂a33= −a23 ,= a13 ,= 0,∂Ω∂Ω∂a22∂a32= −a11 ,= −a21 ,= −a31 ,∂σ∂σ∂θ∂a22∂θ∂a32∂θ= −a11,= −a21,= −a31,∂M∂M∂M∂M∂M= cos i sin Ω,a212 + a222 + a232 = 1,a12 a13 + a22 a23 + a32a33 = 0,из (1.77) найдем:∂R1 − e2=S,∂a1 + e cos θ∂R∂R= 0,= 0,∂Ω∂σ∂R∂R= −a cos θS,= 0,∂e∂i∂Rae sin θ=√S.∂M1 − e2(1.78)Подставив (1.78) в (1.64), получим (1.59), если в последних положитьT = W = 0.1.5.3.Вторая сопровождающая системаЭтот случай отличается от предыдущего заменой матрицы B1 на B2.Согласно (1.22), (1.45) первый столбец B2 представляет собой орт вектораскорости ṙ/v.

Третий, как и выше (1.75), равен r× ṙ/|r× ṙ| . Поскольку B2 —матрица вращения, второй столбец равен произведению третьего столбца71на первый:(r × ṙ) × ṙ (rṙ)ṙ − ṙ2 r=.v|r × ṙ|v|r × ṙ|Итак, все три столбца матрицы B2 нелинейно зависят от скоростей.Следовательно, обобщенный потенциал может существовать лишь в тривиальном случаеT = N = W = 0,R = 0.72Глава 2.Метод осредненияВ первой главе мы нашли уравнения типа Эйлера, связывающие оскулирующие элементы орбиты, их производные и компоненты возмущающего ускорения, причем мы получили эти зависимости для различных проекций P: на оси инерциальной системы отсчета P1 , P2 , P3 (через компоненты Φ1, Φ2, Φ3 на оси вспомогательной системы координат); на оси двухсопровождающих систем координат S, T, W и T, N, W . Также мы записали уравнения типа Лагранжа в случае постоянства P в основной системекоординат.Теперь построим методом осреднения решение систем дифференциальных уравнений (1.51), (1.59), (1.63) и (1.65), принимая в качестве шестинезависимых элементов (ω, e, i, Ω, σ, M).

Выпишем эти уравнения, сгруппировав их в четыре системы:1. Основная система координат O3[− sin θ Φ1 + (e + cos θ)Φ2] ,ω̇ = − √a 1 − e2ip3hω̇ = −− sin E Φ1 + 1 − e2 cos E Φ2 ,rr ė = √ −(e + cos θ) sin θ Φ1 + (1 + 2e cos θ + cos2 θ)Φ2 ,κ p(2.1a)(2.1a′)(2.1b)73√ia ph p22ė =− 1 − e cos E sin E Φ1 + (1 − 2e cos E + cos E) Φ2 , (2.1b′ )κr• r cos wı= √ Φ4 ,(2.1c)κ pr sin wΩ̇ = √Φ4 ,(2.1d)κ p sin ir σ̇ = − √ (2 + e cos θ − cos2 θ)Φ1 − cos θ sin θ Φ2 + e ctg i sin w Φ4 ,κe p(2.1e)1 npσ̇ =1 − e2 −2 + e cos E + cos2 E Φ1+ωreo r ctg i sin wΦ4 ,+ (cos E − e) sin E Φ2 −√κ pr Ṁ =ω + √(2 − e cos θ − cos2 θ)Φ1 − (cos θ + 2e) sin θ Φ2 ,κ ae1 n2 − e(3 + e2 ) cos E − (1 − 3e2 ) cos2 E Φ1−Ṁ =ω +ωreop22− 1 − e e + (1 − 2e ) cos E sin E Φ2 .(2.1e′)(2.1f)(2.1f′)Напомним, что функции Φ1, Φ2, Φ4 (1.49,1.52) не зависят от аномалий:Φ1 = b11P1 + b21P2 + b31P3 ,Φ2 = b12P1 + b22P2 + b32P3 ,Φ4 = b13P1 + b23P2 + b33P3 ,(2.2)коэффициенты bij определены формулами (1.24), а sin w и cos w с помощью(1.29) можно выразить как через истинную, так и через эксцентрическуюаномалию.2.

Сопровождающая система отсчета O1p3p 32ω̇ = − √e sin θ S + T = − e sin E S + 1 − e T , (2.3a)rra 1 − e2√ h√ ipp p rp r(1 − e2 ) sin Eė =e sin θ S +−T =S+−T,κer aωrκe r a(2.3b)74r cos w(2.3c)√ W,κ pr sin wΩ̇ = √W,(2.3d)κ p sin i√p cos θ(r + p) sin θr ctg i sin wS+T−W,(2.3e)σ̇ = −√√κeκ peκ p√(cos E − e) 1 − e2(p + r) sin Er ctg i sin wσ̇ = −S+T−W,(2.3e′)√ωerωaerκ pr(r + p) sin θ√Ṁ =ω + √ (cos θ + e cos2 θ − 2e) S −T,(2.3f)κe aκe a√p(p + r) sin E−e(3 − e2 ) + (1 + 3e2) cos E − 2e3 cos2 EṀ =ω +S−T.ωerκer(2.3f′)•ı=3.

Сопровождающая система отсчета O2rr23 1 + e cos E3 1 + e + 2e cos θT=−T,(2.4a)ω̇ = −2a1−ea 1 − e cos E√√2 p(e + cos θ)r p sin θ√ė = √T−N,(2.4b)κ 1 + e2 +2e cos θκa 1 + e2 + 2e cos θ√√2 a 1 − e2 cos Er p sin E√ė = √T−N,(2.4b′ )2222κ 1 − e cos Eκa 1 − e cos E• r cos wı= √ W ,(2.4c)κ pr sin wΩ̇ = √W,(2.4d)κ p sin i√r 2e + 1 + e2 cos θ2 p sin θr ctg i sin wσ̇ = √T+ √ √N−W,√κ pκe 1 + e2 + 2e cos θκ pe 1 + e2 + 2e cos θ(2.4e)√√2 p sin Ea(e + cos E)σ̇ = √T+κeκe 1 − e2 cos2 Er1 − e cos Er ctg i sin wN−W,√1 + e cos Eκ p2r sin θ(1 + e2 + e cos θ)r(1 − e2) cos θ√Ṁ = ω − √T− √ √N,κe a 1 + e2 + 2e cos θκe a 1 + e2 + 2e cos θ(2.4e′)(2.4f)75r√√2 a 1 − e3 cos E sin Ep(e − cos E) 1 − e cos E√Ṁ = ω −T+N.κe1 + e cos Eκe 1 − e2 cos2 E(2.4f′)4. Уравнения Лагранжа (1.65) в основной системе отсчета O3ω 4/3 ∂R,κ 4/3 ∂M√ω 1/3 1 − e2 ∂Rω 1/3 1 − e2 ∂R−,ė =∂M∂σκ 4/3eκ 4/3eω 1/3 ctg i ∂R∂Rω 1/3•ı=√√−,κ 4/3 1 − e2 ∂σ κ 4/3 1 − e2 sin i ∂Ωω 1/3∂R√,Ω̇ =κ 4/3√ 1 − e2 sin i ∂iω 1/3 1 − e2 ∂Rω 1/3 ctg i ∂R√σ̇ =−,∂eκ 4/3eκ 4/3 1 − e2 ∂i3ω 4/3 ∂R ω 1/3(1 − e2 ) ∂RṀ =ω + 4/3−,∂ω∂eκκ 4/3eω̇ = −(2.5a)(2.5b)(2.5c)(2.5d)(2.5e)(2.5f)где частные производные пертурбационной функции по элементам∂R∂ω∂R∂e∂R∂i∂R∂Ω∂R∂σ∂R∂M2κ 2/3 r= − 5/3 (cos θ Φ1 + sin θ Φ2) ,3ω a κ 2/3 2 + e cos θ − cos2 θcos θ sin θ=−Φ1 −Φ2 ,ω1 + e cos θ1 + e cos θ κ 2/3 r=sin w Φ4,ωa κ 2/3 r=−Φ3 =ωa κ 2/3 r=−[cos i sin θ Φ1 − cos i cos θ Φ2 + sin i cos w Φ4 ] ,ωa κ 2/3 r=(− sin θ Φ1 + cos θ Φ2) ,ωa κ 2/31√=(− sin θ Φ1 + (e + cos θ)Φ2) .ω1 − e2(2.6a)(2.6b)(2.6c)(2.6d)(2.6e)(2.6f)Здесь величины Φ1, Φ2, Φ4 определяются формулами (2.2) и не зависят отбыстрых переменных.

В (1.29) определен sin w в зависимости от истиннойи эксцентрической аномалий.762.1.Описание метода осредненияРешение систем дифференциальных уравнений типа Эйлера будемискать методом осреднения [14, 16, 19, 47].Обратимся к уравнениям движения типа Эйлера в оскулирующихэлементах. За последние выберем кеплеровские элементы ω, e, i, Ω, σ, M —среднее движение, эксцентриситет, наклон к основной плоскости с ортами i, j, долгота восходящего узла, аргумент перицентра и средняя аномалия. Выбор среднего движения вместо большой полуоси a сильно упрощаетоперации осреднения, поскольку скорость изменения M в невозмущенномдвижении линейно зависит от ω, но существенно нелинейно от a.Принято различать вектор медленных переменных x = (ω, e, i, Ω, σ),постоянных в невозмущенном движении, и скалярную быструю переменную y = M. Здесь и ниже компоненты трехмерного вектора P и пятимерных векторов x, f , u, X, F обозначены теми же буквами с номером компоненты в виде нижнего индекса.Уравнения типа Эйлера (2.1), (2.3), (2.4) в любой из трех указанныхсистем отсчета имеют вид:ẋ = µf (x, y),ẏ = g0 (x) + µg(x, y).(2.7)Здесь µ — малый параметр, который мы вводим искусственно и считаем постоянным, а f = (f1, f2, f3, f4, f5) и g — вещественно-аналитическиефункции в окрестности начальных данных.

Более того, аналитичность гарантируется при всех вещественных ω, Ω, σ, M.Функция g0 в нашем случае, как видно из (2.1f), (2.3f), (2.4f) равна77среднему движению ω, то есть g0 (x) = x1. В нулевом приближении приµ = 0 из (2.7) получим:x˙0 = 0,y˙0 = (x1)0 ,(2.8)илиx0 = const,(x1)0 = const,y0 = (x1)0(t − t0 ) + const,(2.9)где t0 — начальный момент времени. Как и ожидалось, мы получили формулы невозмущенного движения в задаче двух тел.Ограничимся эллиптическим оскулирующим движением.

Особенности в этом случае возникают при e = 0 и sin i = 0, но они устраняютсяпереходом к переменным типа Лагранжа.Совершим замену переменныхx = X + µu(X, Y ),y = Y + µv(X, Y ),в результате чего (2.7) перейдет в систему:Ẋ = µF(X, Y ) + . . . ,Ẏ = X1 + µG(X, Y ) + . . . .В дальнейшем мы ограничимся возмущениями первого порядка и не будемуказывать на наличие членов более высокого порядка.78Согласно [14, 47] функции u, v и F, G от X, Y связаны соотношениями∂u= f − F,∂Y∂vX1= u1 + g − G.∂YX1(2.10)Первые пять (в скалярной форме) уравнений (2.10) независимы другот друга и от последнего уравнения, и каждое содержит две неизвестныефункции uk , Fk (k = 1, ..., 5).

После определения u1 в последнем уравнении(2.10) также остаются две подлежащие определению функции v, G.Уравнения вида (2.10) досконально изучены в небесной механике. Вслучае одной быстрой переменной не возникает малых знаменателей и решение находится элементарно. Согласно методу осреднения следует за Fвзять среднее значение f :1F(X) = Ef (X, Y ) =2πdefZπf (X, Y ) dY.(2.11)−πПосле этого u находится простой квадратуройZdef 1u(X, Y ) = If (X, Y ) =[f (X, Y ) − Ef (X, Y )] dY,X1(2.12)где первообразная выделяется однозначно условием нулевого среднегоEu = 0.Теперь однозначно находятся G и v:G(X) = Eg(X, Y ),v(X, Y ) = I [u1(X, Y ) + g(X, Y )] ,Ev = 0.(2.13)Таким образом, функции F, G не зависят от Y , а функции u, v периодичныпо Y и обладают нулевым средним.79Обратная замена переменных от оскулирующих к средним элементам:X = x − µu(x, y),Y = y − µv(x, y).Поскольку правые части уравнений движения выражены через истинную и эксцентрическую аномалии, то интегралы в (2.11), (2.12) и (2.13)необходимо преобразовать, учитывая следующие соотношения [48]:(1 − e2 )3/2dY = dM =dθ,(1 + e cos θ)2dY = dM = (1 − e cos E)dE,(2.14)при этом пределы интегрирования не меняются.Обычно уравнения небесной механики сложны настолько, что интегралы (2.11), а тем более (2.12, 2.13) не берутся в элементарных и дажестандартных специальных функциях.

В более простых задачах интегралыэлементарны. Примеры можно найти, например, в книге [19]. Приведенныездесь уравнения в системах O, O1 также допускают элементарные интегралы. Что касается системы O2 , то наряду с элементарными там встречаютсявыражения, содержащие эллиптические интегралы, а для v и неопределенные интегралы от подобных выражений. Впрочем, для малых и умеренныхэксцентриситетов их легко вычислить с помощью рядов по степеням эксцентриситета, что и сделано ниже.2.2.Основная система координат OПроведем осреднение функций f1 , f2, f3, f4, f5, g по средней анома-лии M, учитывая (2.14), и найдем функции F = (F1, F2, F3, F4, F5), u =80(u1, u2, u3, u4, u5), G и v. Можно использовать как уравнения, выраженные через истинную аномалию, так и через эксцентрическую, исходя изсоображений удобства интегрирования. Правые части уравнений (2.7) вфункции от истинной θ и от эксцентрической аномалии E содержатся вглаве 1.

Здесь мы будем использовать уравнения (2.1), выраженные черезтригонометрические функции эксцентрической аномалии. Напомним, чтоза систему шести независимых переменных принят набор (ω, e, i, Ω, σ, M),так чтоf1 =f2 =f3 =f4 =f5 =g=где η =3[sin E Φ1 − η cos E Φ2 ] ,rη[−η sin 2E Φ1 + (3 − 4e cos E + cos 2E) Φ2] ,2ωr1[cos σ(cos E − e) − η sin σ sin E] Φ4 ,ωaη1[sin σ(cos E − e) + η cos σ sin E] Φ4 ,ωaη sin i1 hη (−3 + 2e cos E + cos 2E) Φ1+2ωrei+ (−2e sin E + sin 2E) Φ2 − cos if4 ,1 n3(1 + e2 ) − 2e(3 + e2 ) cos E − (1 − 3e2 ) cos 2E Φ1−2ωre o2− η 2e sin E + (1 − 2e ) sin 2E Φ2 ,(2.15)√1 − e2 , Φ1, Φ2, Φ4 — зависящие только от медленных переменныхфункции (2.2).Средние значения f , g вычисляются без труда с учетом приведенныхв Приложении A формул.

Характеристики

Список файлов диссертации