Диссертация (1149310), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Здесь получены инвариантные уравнения для параметра орбиты, эксцентриситета, большой полуоси и эпохи перицентра, в которых справа встречаются скалярные произведения вектора площадей и егопроизводной по времени, вектора Лапласа и его производной по времени,а также их линейные комбинации. Уравнения для полуинвариантных элементов (наклона, долготы восходящего узла, аргумента перицентра) выражены здесь через скалярное произведение производной по времени от век-17тора площадей и орта k, смешанное произведение вектора площадей, егопроизводной по времени и орта k, скалярное произведение единичного вектора, направленного по линии узлов от начала координат S в восходящийузел, и производной по времени от вектора Лапласа.
Производная по времени от вектора площадей равна векторному произведению радиуса-вектораи вектора возмущающего ускорения, а дифференцирование интеграла Лапласа в векторной форме дает производную по времени от вектора Лапласа. Используя эти соотношения, в [67] выводятся уравнения движениятипа Эйлера в стандартной форме для орбитальной системы координат O1 .В заключение без вывода приводятся уравнения для тех же элементов в O2и указывается, что их можно легко получить из универсальных уравнений.В настоящей работе получены универсальные уравнения движениятипа Эйлера для 15 перечисленных выше часто используемых элементоворбиты — 11 инвариантных (кроме средней аномалии эпохи) и 4 полуинвариантных, но в качестве опорных выбраны вектор площадей, радиусвектор и вектор возмущающего ускорения, что, на наш взгляд, являетсяболее удачным выбором, чем вектор площадей и вектор Лапласа, принятые в [67], так как у нас результирующие уравнения имеют законченныйи удобный для дальнейшего использования вид.
Так, скорости изменениявсех инвариантных элементов, кроме вектора площадей, записаны в виделинейной комбинации двух величин – скалярного произведения вектораскорости малого тела и вектора возмущающего ускорения, и смешанногопроизведения вектора площадей, радиуса-вектора и вектора возмущающего ускорения. Производная по времени от вектора площадей представляетсобой, как было указано выше, векторное произведение радиуса-вектора18и вектора возмущающего ускорения. В выражения для скоростей изменения полуинвариантных элементов добавится третья величина – смешанноепроизведение радиуса-вектора, вектора возмущающего ускорения и орта kоси Z инерциальной декартовой системы координат. Зависимость от этихтрех величин по-прежнему линейна. В случае необходимости из этих 15выражений можно легко вывести уравнения для новых элементов.
Например, при исследовании почти круговых спутниковых орбит целесообразновместо эксцентриситета e и аргумента перицентра σ использовать их комбинации ǫ1 = e sin σ, ǫ2 = e cos σ [15]. Новые элементы являются функциямистарых, поэтому ǫ̇1 = sin σ ė+e cos σ σ̇, ǫ̇2 = cos σ ė−e sin σ σ̇. Подставив сюдауже известные уравнения для ė, σ̇, получим универсальные уравнения дляновых элементов.При выборе вращающейся системы отсчета из универсальных выражений можно легко получить уравнения возмущенного движения, выразив скалярные и смешанные произведения через оскулирующие элементыи проекции вектора возмущающего ускорения на оси выбранной системыотсчета.
В диссертации подобная операция проведена для 15 элементов орбиты в трех системах координат.Итак, нами получены уравнения типа Эйлера для широкого набораоскулирующих элементов. Для практического использования из них выберем шесть независимых и к полученной системе уравнений применимосредняющее преобразование [47], считая отношение возмущающего ускорения к основному малой величиной. Мы ограничимся возмущениями первого порядка, поскольку этого достаточно для подавляющего числа астрономических приложений.
В этом случае осредняющее преобразование19может быть выполнено в замкнутом виде, без разложений по степенямэксцентриситета или наклона.Решение поставленной модельной задачи может быть использованов задаче о динамической эволюции астероидов и комет с учетом негравитационных эффектов, включая эффект Ярковского-Радзиевского [50], и взадачах космонавтики: движение космического аппарата с малой тягой дляперевода искусственного спутника на более высокую орбиту [9]; движениеастероида или ядра кометы, на котором установлен реактивный двигатель(или рядом с которым завис «гравитационный тягач» [64]), обеспечивающий малую тягу с целью, например, предотвращения столкновения с Землей. Обратим внимание также на возможность применения в преподавательских целях: это одна из немногих задач небесной механики, решениекоторой можно продвинуть далеко и рассматривать как модель для болеесложных задач.Цели и задачи.
Основной целью диссертации является получение уравнений движения малого тела в центральном поле тяготения под действием добавочного постоянного по модулю возмущающего ускорения, применение к ним осредняющего преобразования, решение уравнений в новыхпеременных для ряда важных частных случаев, применение полученныхрезультатов к движению астероида со встроенным двигателем малой тягии движению искусственного спутника под действием малой возмущающейсилы.Необходимо решить следующие задачи:• Вывести универсальные уравнения типа Эйлера для часто исполь-20зуемых оскулирующих элементов орбиты, пригодные для любой системы координат, и уравнения типа Эйлера для трех наиболее употребительных систем координат — основной (инерциальной) и двухсопутствующих.
Данная задача решается в первой главе.• Далее рассмотреть шесть конкретных уравнений, отвечающих тремвышеуказанным системам отсчета при постоянном модуле возмущающего ускорения, и выполнить методом осреднения КрыловаБоголюбова осредняющее преобразование уравнений движения типаЭйлера в первом порядке по малому параметру, соответствующемуотношению возмущающего ускорения к основному. Осреднение описывается во второй главе.• Получить норму разности оскулирующих и средних элементов, чтобы иметь возможность оценить влияние периодических возмущений,а также величину погрешности положения малого тела, возникающую за счет простой замены оскулирующих элементов орбиты средними. Норма разности для первой сопровождающей системы координат найдена в третьей главе.• Осредненные уравнения движения исследовать методами аналитической и качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений.
Найти все существующие интегралы движения. Если их окажется достаточное количество, то построить фазовый портрет системы итем самым найти все качественно различные траектории. При недостаточном количестве интегралов движения выявить качественныеследствия из интегралов движения. Решения осредненных уравнений21для первой сопровождающей системы координат в частных случаяхравенства нулю одной или двух компонент возмущающего ускорения, а также для круговых орбит, получены в четвертой главе.
Здесьже найдено решение осредненных уравнений движения для первойсопутствующей системы отсчета методом рядов Ли по степеням времени.• Применить полученные результаты к движению астероида и ИСЗ.В пятой главе полученные в третьей и четвертой главе уравнениямы применили к задаче изменения орбиты сближающегося с Землей астероида, снабженного двигателем малой тяги, и спутникаретранслятора. Получена норма разности оскулирующих и среднихэлементов для нескольких малых тел и ИСЗ. Оценен временной интервал, необходимый для существенного изменения элементов орбиты при малом возмущении.Таким образом, решив поставленные задачи, мы достигаем основнойцели диссертации: получения уравнений движения малого тела в центральном поле тяготения под действием добавочного постоянного по модулю возмущающего ускорения, их решения для ряда важных частных случаев иоценки возможности применения малых возмущений для изменения орбитреальных и модельных малых тел или спутников.Научная новизна.• Выведены универсальные уравнения типа Эйлера для пятнадцати часто используемых оскулирующих элементов орбиты, получены урав-22нения типа Эйлера для трех наиболее употребительных систем координат – основной (инерциальной) и двух сопутствующих.
В такойобщей постановке ранее подобные работы не проводились. Уравнения типа Эйлера изменения оскулирующих элементов известны давно и даже предпринимались отдельные попытки записать их в универсальной форме. Однако представление правых частей через инвариантные (вектор площадей, радиус-вектор, вектор возмущающегоускорения), а для связанных с ориентацией элементов - полуинвариантные (орт k) величины получено впервые. Их основное достоинство - возможность применения в любых системах отсчета, а такжеудобство программирования в системах компьютерной алгебры, поскольку во всех уравнениях, кроме вектора площадей, встречаютсявсего лишь три соотношения указанных величин.• Выведены в первом приближении по малому параметру осредненныеуравнения движения в новых переменных и функции замены переменных. Наличие лишь одной быстрой переменной предотвращаетпоявление малых знаменателей, и в первом приближении по малому параметру позволяет получить как формулы замены переменных,так и правые части уравнений в осредненных элементах.
Соответствующие функции найдены в замкнутой форме, без использованияразложений по степеням эксцентриситета, или наклона, или отношения радиуса центрального тела к большой полуоси. Однако для сопутствующей системы отсчета с первым ортом по вектору скорости вформулах замены переменных появляются неполные эллиптические23интегралы первого и второго рода, и даже интегралы от неполныхэллиптических интегралов. Поэтому кроме замкнутых формул были получены с помощью средств компьютерной алгебры разложенияпо степеням эксцентриситета. Радиус сходимости рядов найден методами теории функций комплексной переменной. Ранее метод осреднения для решения подобных задач применялся только в частномслучае – T 6= 0, остальные компоненты дополнительного ускоренияполагались равными нулю перед процедурой осреднения.• Получены аналитические решения осредненных уравнений движенияв поле возмущающего ускорения, постоянного в первой сопутствующей системе координат, в ряде частных случаев.
Эта задача никемранее не рассматривалась, так что все результаты здесь - новые.Теоретическая и практическая значимость работы. Множествопромежуточных результатов диссертации обладает собственной научнойи практической ценностью.В первой главе приведены дифференциальные уравнения для 15 наиболее популярных элементов орбиты в универсальной форме, из которыхможно легко вывести выражения для шести независимых переменных внужной системе координат, выразив скалярные и смешанные произведениячерез оскулирующие элементы и проекции вектора возмущающего ускорения на оси выбранной системы отсчета. Далее из универсальных уравненийполучены скорости изменения тех же 15 элементов в трех наиболее частоупотребляемых системах координат.Во второй главе выведены уравнения движения в средних элементах24и функции замены переменных для основной и двух сопутствующих системкоординат.В третьей главе получена формула для вычисления нормы разностиоскулирующих и средних элементов.
Оказалось, что среднеквадратичнаянорма в первой сопровождающей системе зависит только от компонент вектора возмущающего ускорения, большой полуоси и эксцентриситета оскулирующего эллипса.В четвертой главе рассмотрены решения уравнений движения в средних элементах для первой сопутствующей системы координат при e = 0(круговые орбиты) и в случаях, если хотя бы одна из компонент возмущающего ускорения равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
