Диссертация (1149310), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . , M)|,(3.27)Mгде f предполагается периодической функцией и верхняя грань берется поотрезку [0, 2π]. Вычислить hρi аналитически вряд ли возможно. Однакопредставление об этой величине можно составить, оценивая снизу отношения αn = kfnk/hfn i, βn = kgn k/hgn i для функций fn = (r/a)n и gn = (a/r)n,n > 1 (сверху отношение норм любой функции ограничено единицей).Очевидно,hfn i = (1 + e)n ,hgn i = (1 − e)−n .(3.28)Отсюда, используя приведенную в [48, § 3.6.3] евклидову норму fn , gn, получимαn2= (1 + e)−2nnXAk e2k ,Ak =k=0βn22 3/2= 1−e(1 + e)−2nn−1X(2n + 1)!2,(2n + 1 − 2k)! (2k k!)Bk e2k ,k=0Bk =(2n − 2)!2(2n − 2 − 2k)! (2k k!).(3.29)Исследуем поведение функций αn (e), βn(e) в промежутке 0 6 e 6 1.pЛегко найти, что αn (0) = 1, α1 (1) = 5/8, αn (1) → 0 при n → ∞.Найдем производную по эксцентриситетуn(αn2 )′X 22k−12k=Ake−(n−k)e.k(1 + e)2n+1k=0(3.30)112При e = 0 производная отрицательна и равна −2n. При e = 1 последняясумма равнаnXk=0(2k − n)Ak =⌊n/2⌋Xk=0(n − 2k)(An−k − Ak ).Образуем отношениеAn−k(2n − 2k + 1)!!(2k)!!=.Ak(2n − 2k)!!(2k + 1)!!Последовательность (2m + 1)!!/(2m)!! возрастает.
Поэтому An−k > Ak приn − k > k. Это влечет положительность производной (αn2 )′ при e = 1.Таким образом, наименьшее значение функция αn (e) принимает внутриинтервала 0 < e < 1, а не в точке e = 1. Используя численные методы, мыопределили точку минимума e0 (n) и сам минимум min αn = αn (e0(n)) дляn 6 25 000. Оказалось, что e0 (n) убывает от e0 (1) = 2/3, стремясь к 1/2,pа min αn убывает от 3/5, стремясь к нулю. В таблице 3.1 мы приводимe0 (n), min αn и αn (1) для n 6 10, а также выборочно для n > 100.Перейдем к βn (e). Вычислим производныеh2 3/21−e(βn2 )′√(1 + e)−2nn−1i′= (1 + e)−2np1 − e2 [−2n + (2n − 3)e],1 − e2 X=[2k − 2ne + (2n − 2k − 3)e2]Bk e2k−1.2n(1 + e)(3.31)k=0При e = 0 последняя сумма равна −2nB0 < 0.
При e = 1 выражение вквадратных скобках равно −3. Таким образом, производная (3.31) отрицательна при e = 0 и обращается в нуль при e = 1.Очевидно, βn (0) = 1, βn (1) = 0. Таким образом, βn (e) при фиксированном n стремится к нулю при e → 1. Как показывают вычисления, этостремление монотонно по крайней мере до n = 25 000; кроме того, βn (e)113Таблица 3.1: Значения e0 (n), min αn и αn (1) для n 6 10 и выборочно для n > 100n1e0 (n)23456789100.667 0.597 0.564 0.548 0.538 0.531 0.527 0.524 0.521 0.519min αn 0.775 0.681 0.626 0.588 0.559 0.536 0.517 0.501 0.488 0.476αn (1)n0.790 0.701 0.647 0.609 0.579 0.556 0.537 0.521 0.507 0.494100e0 (n)5001000500010 00015 00020 00025 0000.502 0.5004 0.5002 0.50004 0.50002 0.50001 0.500009 0.500007min αn 0.2700.1810.1520.1020.0850.0770.0720.068αn (1)0.1880.1580.1060.0890.0800.0750.0710.282при фиксированном e > 0 стремится к нулю при n → ∞.
В таблице 3.2 мыприводим βn (e) для n 6 10 и выборочно для n > 100.Можно сделать такие качественные выводы о поведении отношенияγ(e) = kf k/hf i для встречающихся на практике функций f (E, e) двухпеременных.• При малых эксцентриситетах γ(e) не сильно отличается от единицы.• Для гладких при 0 6 e 6 1 функций, как правило, γ(e) > 0.5.• Для сингулярных при e = 1 функций, как правило, γ(e) убывает от1 при e = 0 до 0 при e = 1, оставаясь больше 0.3 ÷ 0.5 при e 6 0.3.114Таблица 3.2: Значения βn (e) для n 6 10 и выборочно для n > 100n\e00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111 0.902 0.808 0.716 0.626 0.537 0.447 0.355 0.258 0.151 021 0.822 0.680 0.563 0.465 0.379 0.303 0.233 0.164 0.094 031 0.756 0.594 0.478 0.390 0.318 0.254 0.196 0.139 0.080 041 0.703 0.535 0.427 0.349 0.286 0.230 0.177 0.126 0.073 051 0.658 0.493 0.395 0.324 0.265 0.214 0.165 0.118 0.068 061 0.622 0.462 0.371 0.305 0.251 0.202 0.156 0.111 0.064 071 0.591 0.439 0.354 0.291 0.240 0.193 0.149 0.106 0.061 081 0.565 0.420 0.340 0.280 0.230 0.186 0.144 0.102 0.059 091 0.544 0.405 0.328 0.271 0.223 0.180 0.139 0.099 0.057 0101 0.525 0.393 0.318 0.263 0.216 0.175 0.135 0.096 0.055 01001 0.277 0.213 0.174 0.144 0.119 0.096 0.074 0.053 0.030 05001 0.184 0.142 0.116 0.096 0.079 0.064 0.049 0.035 0.020 010001 0.155 0.119 0.097 0.080 0.066 0.053 0.041 0.029 0.017 050001 0.103 0.079 0.065 0.054 0.044 0.036 0.027 0.019 0.011 010000 1 0.087 0.067 0.054 0.045 0.037 0.030 0.023 0.016 0.009 015000 1 0.078 0.060 0.049 0.041 0.033 0.027 0.021 0.015 0.008 020000 1 0.073 0.056 0.046 0.038 0.031 0.025 0.019 0.014 0.008 025000 1 0.069 0.053 0.043 0.036 0.029 0.024 0.018 0.013 0.007 0115Глава 4.Решение осредненных уравнений для системы O1Рассмотрим задачу, описанную в разделе 1.1, в системе отсчета O1 сначалом S и с ортами осей i1 , j1, k1, направленными по радиусу-вектору,трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по векторуплощадей).Пусть компоненты S, T, W вектора P постоянны в системе O1 и малыпо сравнению с основным ускорением κ 2/r2:max{|P|r2 /κ 2} = µ ≪ 1.Здесь r = SA, r = |r|, κ 2 — произведение постоянной тяготения на массуS.
Уравнения движения типа Эйлера в оскулирующих элементах (1.59)получены в главе 1. Постоянство вектора P позволяет легко выполнитьосредняющее преобразование и получить уравнения движения в среднихэлементах. В первом порядке малости они выведены в главе 2:3ηT,a3eηė = −T,2ωaω̇ = −1163ecos σW,2ωaη3eΩ̇ = −sin σW,2ωaη sin iη3e ctg iS+sin σW,σ̇ =ωa2ωaη3S.Ṁ = ω −ωa•ı=−(4.1)За систему независимых элементов мы выбрали среднее движение ω,эксцентриситет e, наклон i, долготу восходящего узла Ω, аргумент перицентра σ, среднюю аномалию M (здесь мы для наглядности вернулись к привычным обозначениям, но следует помнить, что в этой главеω, e, i, Ω, σ, M — это средние элементы X1 , ..., X5, Y , соответственно);√a = κ 2/3ω −2/3 — большая полуось, η = 1 − e2 .
Производная по времени tобозначена точкой (для i — жирной точкой).Как показано в главе 3, во многих случаях первого приближения достаточно. Это так, к примеру, при движении космического аппарата с малой постоянной по модулю тягой, или при движении астероида, на которомустановлен реактивный двигатель, обеспечивающий малую постоянную помодулю тягу с целью, например, предотвращения столкновения с Землей.Далее мы подробно рассмотрим решение уравнений (4.1).
Оказалось,что система интегрируется в квадратурах, если хотя бы одна из компонент S, T, W возмущающего ускорения равна нулю, а также если e = 0 вначальную эпоху [41].1174.1.Эволюция круговых орбитПусть e0 = 0, где индекс 0 указывает на значения переменных в на-чальную эпоху t = 0. В этом случаеe = 0,i = i0 ,Ω = Ω0и система (4.1) значительно упрощается:33Tω̇ = − T = − 2/3 ω 2/3,aκ11σ̇ =S = 1/3 2/3 S,ωaω κ33Ṁ = ω −S = ω − 1/3 2/3 S.ωaω κ(4.2)При e = 0 средняя аномалия и аргумент перицентра теряют смысл.Угловое положение определяется единственной переменной — средней долготой λ = Ω + σ + M.
Из (4.2) выводимλ̇ = ω −22S = ω − 1/3 2/3 S.ωaω κ(4.3)Если T = 0, то ω, a = const,2λ = λ0 + ω −S t.ωa(4.4)Решение определено на всей оси времени −∞ < t < ∞.Пусть T 6= 0. В первом уравнении (4.2) переменные разделяютсяdω3T= − 2/3 dt,2/3ωκоткудаω = ω0t1−t13,a = a0t1−t1Здесь1/3κ 2/3ω0t1 =T=κ√T a0.−2.(4.5)118Подстановка решения (4.5) в (4.3) позволяет легко найти λ:32Sdttdt −dλ = ω0 1 −=1/3tt12/3ω1−κ0t13 t2St1td= ω0 t1 1 −d−,t1t1T 1− tt1t1"4 #ω0t1t2Stλ = λ0 +1− 1−+ln 1 −.4t1Tt1(4.6)Заметим, что при T → 0, t1 → ∞ решение (4.5), (4.6) переходит в(4.4) при ω, a = const.Определим интервал задания непродолжаемого решения, то есть область определения t ∈ (t∗, t∗ ) решения уравнений (4.2). Не умаляя общности, считаем T > 0, t1 > 0, поскольку в первом (не зависящем от (4.3))уравнении (4.2) подстановки T 7→ −T, t 7→ t и T 7→ T, t 7→ −t эквивалентны. Очевидно, t∗ = −∞, t∗ = t1 .При убывании t, т.е.
при движении в прошлое, ω возрастает до бесконечности, a убывает до нуля за бесконечное время. Точка A падает на Sпо спирали.При возрастании t величина ω убывает до нуля, a возрастает до бесконечности за конечное время t1 . При нулевом эксцентриситете бесконечность a влечет бесконечность r. Этот бессмысленный результат означаетлишь неприменимость метода осреднения при больших t. Действительно,мы предполагали малость функций замены переменных u1, . .
. , u5, v, найденных в § 2.3. Между тем разности оскулирующих и средних элементовсогласно (2.24, 4.5) содержат делитель4ttωa = ω0a0 1 −, или ω 2 a = ω02 a0 1 −.t1t1119При t → t1 этот делитель стремится к нулю. Поэтому формулы (4.5, 4.6)применимы лишь при не слишком больших t. Следует ограничиться временем t 6 t1 /10.
Критическое время t1 асимптотически велико́, именно,пропорционально µ−1 , как и должно быть по общей теории [14, 47].Замечание. При T < 0 имеем t∗ = t1 , t∗ = ∞.Перейдем к некруговым орбитам. Осреднение по средней аномалииподразумевает эллиптичность оскулирующей орбиты. Поэтому считаем ниже 0 < e0 < 1.4.2.Эволюция некруговых орбит при S 6= 0, T = W = 0Если T = W = 0, система уравнений (4.1) принимает вид:ω̇ = 0,Ω̇ = 0,ė = 0,σ̇ =•ı = 0,ηS,ωaṀ = ω −3S.ωa(4.7)Следовательно ω, a, e, i, Ω = const, и правые части двух последних уравнений (4.7) постоянны.
Отсюдаσ = σ0 + ν1t,M = M0 + ν2t,λ = λ0 + ν3t,гдеη0ν1 =S,ω0a03ν 2 = ω0 −S,ω0 a03S η0 ν 3 = ν 1 + ν 2 = ω0 −1−.ω0a03Теперь t∗ = −∞, t∗ = ∞. Углы M и λ равномерно возрастают со временем,а угол σ равномерно возрастает или убывает в зависимости от знака S.Замечание. При T = W = 0 рассматриваемая динамическая система консервативна, как показано в разделе 1.5.2. Уравнениям (4.1) можно120придать форму уравнений Лагранжа (1.64) с гамильтонианомκ2e2H =− −a 1+S.2a2Зависимость H только от a, e влечет постоянство ω, a, e, i, Ω и равномернуюциркуляцию углов σ, M.4.3.Эволюция некруговых орбит при T 6= 0, S = W = 0Если S = W = 0, то (4.1) примет вид:3η3ηω 2/3ω̇ = − T = − 2/3 T,aκ3eη3eηė = −T = − 2/3 1/3 T,2ωa2κ ω•ı = 0,Ω̇ = 0,σ̇ = 0,Ṁ = ω.(4.8)Отсюда i, Ω, σ = const, правые части остальных трех уравнений нетривиальны.Как и в §4.1, считаем T > 0.Из (4.8) выводимdω2ω=,deedωde=2 ,ωeω=ω0 2e .e20(4.9)Подставив (4.9) во второе уравнение (4.8), придем к уравнению с разделяющимися переменными1/3ė = −Aep1 − e2 ,2/3A=3T e01/32κ 2/3ω02/3 √3T e0a0> 0.=2κ(4.10)121Замена переменных x = e2/3, e = x3/2 приводит к простому уравнению2/3 √T e0a0dx2A√=−dt = −dt.(4.11)3κ1 − x3Интеграл от левой части (4.11) сводится к неполному эллиптическому интегралу первого рода [18, пункт 3.139]:Zx1du√= −3−1/4F (β, k),31−uтак что интегрирование (4.11) даетF (β, k) = F (β0, k) +2At.33/4(4.12)Здесьp√2+3= 0.965926,k = cos 15◦ =2√3−1+xβ = arccos √.3+1−xКинематическое (по терминологии аналитической механики) уравнение(4.12) представляет время явной функцией от эксцентриситета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
