Диссертация (1149310), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Функция F1 не нуль при T 6= 0 и зависит от a и e, что также являетсяследствием неконсервативности системы (2.7) для O2 . В разделе 1.5.3 мыпоказали, что обобщенный потенциал может существовать лишь в тривиальном случаеT = N = W = 0,R = 0.При T > 0 среднее движение и эксцентриситет уменьшаются, большая полуось растет. При T < 0 среднее движение и эксцентриситет растут,большая полуось уменьшается. При T = 0 эти величины постоянны.2. Функции F4 и F5 содержат sin i в знаменателях, но e в знаменателях ужене появляется.3. Функции u4 и u5 содержат sin i в знаменателях, а функции u5 и v содержат e в знаменателях.
Важно, что сумма u5 + v свободна от e в знаменателях.932.5.Осреднение уравнений движения типа Лагранжа в инерциальной системе отсчетаСогласно (2.5)f1f2f3f4f5g3ω 4/3 ∂R,= − 4/3∂Mκ√ω 1/3 1 − e2 ∂Rω 1/3 1 − e2 ∂R=−,∂M∂σκ 4/3eκ 4/3eω 1/3 ctg i ∂Rω 1/3∂R√√−,=κ 4/3 1 − e2 ∂σ κ 4/3 1 − e2 sin i ∂Ωω 1/3∂R√=,κ 4/3√ 1 − e2 sin i ∂iω 1/3 1 − e2 ∂Rω 1/3 ctg i ∂R√=−,∂eκ 4/3eκ 4/3 1 − e2 ∂i3ω 4/3 ∂R ω 1/3(1 − e2 ) ∂R= 4/3−.∂ω∂eκκ 4/3eКоэффициенты в (2.5) не зависят от аномалий, поэтому проведемосреднение (2.6) по средней аномалии M, учитывая (2.14).on ro κ 2/3e∂R2κ 2/3 n rE= − 5/3E cos θ Φ1 + E sin θ Φ2 = 5/3 Φ1,(2.30a)∂ωaa3ωω κ 2/3 1 hn ro∂Rrr2E=−2E + e E cos θ − E cos θ Φ1 −∂eω1 − e2aaao in r2/33 κ− E cos θ sin θ Φ2 = −Φ1 ,(2.30b)a2 ωo∂R κ 2/3 nrr3κ 2/3eE=sin σ E cos θ + cos σ E sin θ Φ4 = − 2/3 sin σ Φ4,∂iωaa2ω(2.30c) κ 2/3 r κ 2/3 hn ro∂RE=−E Φ3 = −cos i E sin θ Φ1 −∂Ωωaωan ron ron ro i− cos i E cos θ Φ2 + sin i cos σ E cos θ − sin σ E sin θ Φ4 =aaa2/33κ e= − 2/3 (cos i Φ2 − sin i cos σ Φ4),(2.30d)2ω94on ro∂R κ 2/3 n r3κ 2/3eE=− E sin θ Φ1 + E cos θ Φ2= − 2/3 Φ2,∂σωaa2ω κ 2/3∂R1√(− {E sin θ} Φ1 + {Ee + E cos θ} Φ2) = 0.E=∂Mω1 − e2Подставим (2.30)в (2.5)и получимдля функций(2.30e)(2.30f)F=(F1, F2, F3, F4, F5) и G те же выражения, что и в случае уравнений типаЭйлера для системы отсчета O, то есть осредненные уравнения движениятипа Лагранжа совпадают с (2.17).Проведем осреднение (2.5) еще одним способом.
В силу равенстваR = ξ1 P1 + ξ2 P2 + ξ3 P3 , постоянства P1 , P2 , P3 и с помощью Приложения Aнайдем:3κ 2/3eER = P1 Eξ1 + P2 Eξ2 + P3 Eξ3 = − 2/3 (b11P1 + b21P2 + b31P3 ).2ωТак как E ∂R∂ǫ =∂∂ǫ ER,то средние значения частных производных пер-турбационной функции:∂R∂ 3κ 2/3eκ 2/3eE=−(b11P1 + b21P2 + b31P3 ) = 5/3 Φ1,∂ω∂ω 2ω 2/3ω 2/3∂R∂ 3κ e3 κ 2/3E=−(b11P1 + b21P2 + b31P3 ) = −Φ1 ,∂e∂e 2ω 2/32 ω∂R3κ 2/3e∂b11∂b21∂b31=E= − 2/3 P1+ P2+ P3∂i∂i∂i∂i2ω3κ 2/3e= − 2/3 (sin i sin σ sin ΩP1 − sin i sin σ cos ΩP2 + cos i sin σP3 ) =2ω3κ 2/3e= − 2/3 sin σ Φ4, 2ω2/3∂R3κ e∂b11∂b21∂b313κ 2/3eE= − 2/3 P1+ P2+ P3=(b21P1 − b11P2 ) =∂Ω∂Ω∂Ω∂Ω2ω2ω 2/33κ 2/3e= − 2/3 (cos i Φ2 − sin i cos σ Φ4), 2ω2/3∂R3κ e∂b11∂b21∂b31E= − 2/3 P1+ P2+ P3=∂σ∂σ∂σ∂σ2ω953κ 2/3e3κ 2/3e= − 2/3 (b12P1 + b22P2 + b32P3 ) = − 2/3 Φ2,2ω 2ω2/3∂R3κ e∂b21∂b31∂b11= − 2/3 P1+ P2+ P3= 0.E∂M∂M∂M∂M2ωПолученные выражения совпадают с (2.30).96Глава 3.Разность положений на оскулирующей и среднейорбите для системы O1Во многих задачах астрономии требуется узнать, насколько изменяются орбиты небесных тел при малом изменении их элементов.
Если положение на траектории не играет роли, то лучшим инструментом служитрасстояние между орбитами как точками пятимерного пространства орбит [78], [76]. Но если это положение важно, необходим другой подход [77],[52], [68], [51]. Орбиту J нужно считать точкой шестимерного фазовогопространства элементов, например, a, e, i, σ, Ω, M — большой полуоси, эксцентриситета, наклона, аргумента перицентра, долготы восходящего узлаи средней аномалии. В слабовозмущенных задачах первые пять элементовмедленно изменяются со временем, тогда как последний служит быстройпеременной.
Наряду с указанными независимыми элементами мы будемрассматривать и зависимые от них w, θ, E — аргумент широты, истиннуюи эксцентрическую аномалии.Отклонение орбиты J (a, . . . , M) от близкой орбиты J ′ = J (a +da, . . . , M +dM) наглядно можно представить разностью векторов положения в конфигурационном пространстве dr и в пространстве скоростей dṙ.Разности эти быстро меняются, и больший интерес представляет их норма97как норма вектор-функции от M.В настоящей главе выведена евклидова (среднеквадратичная) норма разности векторов положения в конфигурационном пространстве, выраженная через разности элементов.
Последние предполагаются малымивеличинами первого порядка, а величинами второго порядка малости мыпренебрегаем.В качестве иллюстрации мы применяем выведенный алгоритм к задаче движения астероида в центральном гравитационном поле при наличии возмущающего ускорения, постоянного в первой сопутствующей системе отсчета O1 с ортами по радиусу-вектору, трансверсали и бинормали коскулирующей орбите [38], [40]. В этой задаче в первом приближении переход от оскулирующих элементов к средним осуществляется по замкнутымформулам (см.
главу 2). Более того, разности оскулирующих и средних элементов выражаются через элементарные функции. В результате приходимк представлению квадрата нормы разности векторов положения на оскулирующей и средней орбите в виде квадратичной формы относительно компонент вектора возмущающего ускорения. Форма оказалась диагональной.Более того, ее коэффициенты — простые функции от двух (из возможныхпяти) элементов a, e [10].3.1.Квадрат дифференциала радиуса-вектораПусть точка A (например, астероид) движется по невозмущенной эл-липтической орбите. Выражения координат ξ1 , ξ2, ξ3 вектора положения rточки A через аргумент широты или через эксцентрическую аномалию хорошо известны [43], [48], [53]. Вторые из них, как показывает наш опыт,98приводят к более громоздким выкладкам.
Поэтому примем за основу формулы:ξ1 = r(cos w cos Ω − cos i sin w sin Ω),ξ2 = r(cos w sin Ω + cos i sin w cos Ω),ξ3 = r sin i sin w,(3.1)r cos θ = a(cos E − e),r sin θ = aη sin E.(3.2)Наряду с A рассмотрим точку A′ , двигающуюся по близкой орбитес элементами a + da, . .
. , M + dM . Разности элементов da, . . . считаем малыми и их квадратами и произведениями пренебрегаем, так что символдифференциала для разности оправдан.Дифференцируя (3.1), получимdξ1 = (cos w cos Ω − cos i sin w sin Ω) dr + r sin i sin w sin Ω di−− r(sin w cos Ω + cos i cos w sin Ω) dw − r(cos w sin Ω + cos i sin w cos Ω) dΩ,dξ2 = (cos w sin Ω + cos i sin w cos Ω) dr − r sin i sin w cos Ω di−− r(sin w sin Ω − cos i cos w cos Ω) dw + r(cos w cos Ω − cos i sin w sin Ω) dΩ,dξ3 = sin i sin w dr + r cos i sin w di + r sin i cos w dw.(3.3)Найдем квадрат дифференциала радиуса-вектораρ2 = (dr)2 = dξ12 + dξ22 + dξ32 = dr2 + r2 sin2 w di2 + r2 dw2++ r2 (1 − sin2 i sin2 w) dΩ2 − 2r2 sin i cos w sin w didΩ + 2r2 cos i dwdΩ.
(3.4)При выводе (3.4) использованы тождестваcos2 w + cos2 i sin2 w = cos2 i + sin2 i cos2 w = 1 − sin2 i sin2 w,99sin2 w + cos2 i cos2 w = 1 − sin2 i cos2 w.В общем случае квадратичная форма от четырех переменных содержит 4квадрата и 6 попарных произведений. Форма (3.4) содержит лишь 2 произведения, что говорит о ее близости к ортогональной. Часто более удобнымоказывается представление, содержащее сумму трех полных квадратовρ2 = dr2 + r2 (dw + cos i dΩ)2 + r2 (sin w di − sin i cos w dΩ)2 .(3.5)Быстрая переменная явно входит лишь в два последних слагаемых (3.5)посредством r, w.
Переход к истинной аномалии прост: w = σ + θ. Дляперехода к эксцентрической аномалии годятся формулы (1.29).Компактная формула (3.5) не является окончательной, поскольку содержит дифференциалы dr, dw функций от элементов. Выразим их черезda, de, dM. Дифференцирование стандартных формулw = σ + θ,cos θ =E − e sin E = M,cos E − e,1 − e cos Er = a(1 − e cos E),sin θ =η sin E1 − e cos E(3.6)даетa sin Eade + dM,rra sin Eaηa2 sin Ea2 η2dθ =de +dE =(2 − e − e cos E) de + 2 dM,rηrr2ηrdE =dw = dσ + dθ.Отсюдаrda − a cos E de + ae sin E dE =ara2a2 e sin E= da + (e − cos E) de +dM,arrdr =(3.7)100a2 sin Ea2 η2(2 − e − e cos E) de + r dσ + r cos i dΩ +dM.r(dw + cos i dΩ) =rηr(3.8)Из (3.2) вытекает(r/a) cos w = (cos E − e) cos σ − η sin σ sin E,(r/a) sin w = (cos E − e) sin σ + η cos σ sin E,откуда(r/a) (sin w di − sin i cos w dΩ) = [(cos E − e) sin σ + η sin E cos σ)] di −− sin i [(cos E − e) cos σ − η sin E sin σ] dΩ.
(3.9)3.2.Разности оскулирующих и средних элементовПрименим полученные результаты к оценке разности положений наоскулирующей и средней орбите. Остановимся на описанной в разделе 1.1задаче при возмущающем ускорении P, постоянном в системе O1. Соответствующие компоненты S, T, W предполагаются малыми порядка µ. Напомним, что величинами второго порядка малости мы пренебрегаем.Уравнения Эйлера для этого случая получены в разделе 1.4.2. В главе 2 проведено осреднение правых частей уравнений Эйлера измененияоскулирующих элементов и выведены выражения для разностей оскулирующих и средних элементов ω, e, i, σ, Ω, M с точностью до первого порядкамалости относительно µ, см. формулы (2.24).
В рассматриваемой задаче впервом приближении переход от оскулирующих элементов к средним осуществляется по замкнутым формулам. Выпишем их для системы шести101независимых элементов ω, e, i, σ, Ω, M:3e[(e + 2 cos E) S − 2 sin E ηT ] ,2ωa1 de = 2 −2(e + 2 cos E) η 2S + 2(4 − 3e2) sin E − e sin 2E ηT ,4ω a1 di = 2[2(2 − e2 ) sin E − e sin 2E] cos σ +4ω aηdω =dΩ =14ω 2aη sin i+ η[2e + 4 cos E − e cos 2E] sin σ} W,[2(2 − e2 ) sin E − e sin 2E] sin σ −− η[2e + 4 cos E − e cos 2E] cos σ} W,o1 n 322dσ = − 24η sin E S + [2e(2 − e ) + 4(2 − e ) cos E − e cos 2E] T −4ω ae− cos idΩ,1 ndM = 2[2(2 + 6e2 − 3e4) sin E − 5e3 sin 2E] S+4ω aeo+ [4e(1 + e ) + 8(1 + e ) cos E − e(1 + 3e ) cos 2E] ηT .222(3.10)Здесь мы величины u1, u2, ..., v обозначили как dω, de, ..., dM, подчеркиваяих малость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
