Диссертация (1149249), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Втаком случае необходимо убедиться, что этот набор не нарушает принятыхаксиом.Определение 1.12. Набор «квантов» u1 , . . . , up непротиворечив, еслисуществует отношение m , удовлетворяющее аксиомам разумного выбора,при котором верны соотношения u1 0, . . ., up 0.1.3Известные результатыАксиома инвариантности придаёт следующее свойство отношению предпочтения.Теорема 1.1 [27]. Отношение m является конусным с выпуклым острымконусом, не содержащим нуль.Первые три аксиомы позволяют доказать принцип Эджворта – Парето.Теорема 1.2 [27]. Каким бы ни было множество выбираемых вариантовC(X), справедливо C(X) ⊆ Pf (X).Он даёт исходную оценку сверху на множество выбираемых вариантов,которую в дальнейшем можно сужать с использованием «квантов» информации об отношении предпочтения. Для учёта одного кванта применяетсяследующий результат.Теорема 1.3 [27].
Пусть вектор u ∈ Rm является «квантом» информации об отношении предпочтения ЛПР. Тогда каким бы ни было множествовыбираемых вариантов C(X),C(X) ⊆ Pg (X) ⊆ Pf (X),20(1.1)где g — новый векторный критерий, задающийся соотношениямиgi = fi ,ui > 0;gij = ui fj − uj fi , uj < 0 < ui .Формулировка отражает суть подхода: вместо поиска собственно множества выбираемых решений строится оценка сверху на него, которая получается более точной, чем множество Парето.1.4Последовательный учёт набора «квантов»информацииПусть задан набор «квантов» информации об отношении предпочтенияv, u1 , . . .
, up . Применим теорему 1.3 для учёта «кванта» v. Для этого построиммножестваA = i = 1, m vi > 0 ,B = j = 1, m vj < 0 ,S = s = 1, m vs = 0 .Так как v является «квантом», A 6= ∅ и B 6= ∅. Теорема 1.3 даёт новыйвекторный критерий g, компоненты которого сутьgi = fi ,i ∈ A ∪ S;gij = vi fj − vj fi , i ∈ A, j ∈ B.Эти соотношения можно представить в матричной форме: g = T f , гдематрица T однозначно строится по вектору v. Если номера критериев упорядочены так, что первые индексы входят в A, следующие в B, а последние в21S, то матрица T имеет вид10...01...0000......00 −v0|A|+1 −v|A|+20...... −v|A|+|B|00−v|A|+10−v|A|+2......0−v|A|+|B|......0000......00.........00...00...00............00...0 ...0 ..... .
. ..00............10...00...00............00...0 ...1 ..... . . ..00...............000...0v10...0 ...0 ...v1 . . ... . . ..000...000...............100...............000...0v20...000...............000.........0...0...0 . . . v10 ... 0v2 . . . 0.. . . . ....0 . . . v2.........0 ..... ... .0 ...0 ..... . . ..0.... . . −v|A|+1 v|A| 0.
. . −v|A|+2 0 v|A|............. . . −v|A|+|B| 00.........00...00..... . . v|A| 0 . . . 0Такую матрицу T , учитывающую «квант» v, будем называть матрицей, порождённой вектором v.Очевидно, столбцы T линейно независимы. Поэтому rank T = m, и отображение T инъективно. Действительно, если T x = T y, то T (x − y) = 0, нолинейная комбинация линейно независимых столбцов равна нулю только, если она тривиальная, значит, x − y = 0, и x = y. Обращая, получаем, чтоx 6= y ⇒ T x 6= T y. Отсюда, в частности, следует x = 0 ⇔ T x = 0.Рассмотрим вектор T v.
В него входят компоненты vi , i ∈ A ∪ S и для(i, j) ∈ A × B компоненты вида vi vj − vj vi = 0. Так как A 6= ∅, вектор vимеет как минимум одну строго положительную компоненту, поэтому T v ≥ 0.22Следовательно,0T cone e1 , . . . , em , v = cone T e1 , . . . , T em , T v ⊆ Rm+ ,(1.2)где m0 = |A| + |S| + |A||B| – количество строк T .Докажем вспомогательное утверждение.Утверждение 1.1. Пусть матрица T порождена вектором v. Тогда ∀z ∈RmT z 5 0 ⇔ ∃c > 0 : cv + z 5 0.Доказательство. Необходимость.
T z 5 0.Из вида матрицы Tzs 6 0, s ∈ A ∪ S,zj vi − zi vj 6 0,Отсюда ∀i ∈ A, ∀j ∈ B ⇒ zj 6(1.3)(i, j) ∈ A × B.vjvi zi ,∀j ∈ B ⇒ zj 6 vj maxi∈Azi∗zi= vj .vivi∗(1.4)zi∗6 0.vi∗Так как на i∗ ∈ A достигается максимум в (1.4),Из (1.3) ∀i ∈ A ⇒ zi 6 0, следовательно,∀i ∈ A ⇒zi∗zi6.vivi∗(1.5)zi∗> 0. Рассмотрим t = cv + z и покажем, что t 5 0.vi∗Для s ∈ S имеем ts = zs 6 0. zi∗zi zi∗В силу (1.5) ti = zi − vi = vi−6 0 для ∀i ∈ A.vi∗vi vi∗zi∗ zi∗zi∗С учётом (1.4) tj = zj − vj 6 vj− vj = 0 для ∀j ∈ B.vi∗vi∗ vi∗Достаточность. ∃c > 0 : cv + z 5 0. Тогда ∀s ∈ S ⇒ (cv + z)s = zs 6 0,следовательно, соответствующая компонента вектора T z неположительна.∀i ∈ A ⇒ (cv + z)i = cvi + zi 6 0, соответствующая компонента T z равнаzi 6 −cvi 6 0.Пусть c = −23Возьмём ∀i ∈ A, ∀j ∈ B.∀i ∈ A ⇒ (cv + z)i = cvi + zi 6 0,zi 6 −cvi .∀j ∈ B ⇒ (cv + z)j = cvj + zj 6 0,zj 6 −cvj .Оставшиеся компоненты T z равны zj vi + zi (−vj ) 6 −cvj vi + cvi vj = 0.
Такимобразом, T z 5 0.00Обозначим базис пространства Rm через e1m0 , . . . , emm0 . По теореме 1.1 отношение m является конусным с острым выпуклым конусом, не содержащимнуль. Обозначим через Km этот конус, дополненный нулём.Утверждение 1.2. Пусть Km — острый выпуклый конус, содержащий0неотрицательный ортант Rm+ . Пусть матрица T размерности m × m порож0дена вектором v. Тогда конус cone T Km , e1m0 , . .
. , emm0 острый и выпуклый.0Доказательство. Обозначим Km0 = cone T Km , e1m0 , . . . , emm0 . Предполо000жим, что ∃z ∈ Km : − z ∈ Km0 . Тогда ∃y 0 , y 00 ∈ Km , ∃z 0 , z 00 ∈ Rm+ : z = Ty +z 0 , −z = T y 00 + z 00 . Из T (y 0 + y 00 ) + z 0 + z 00 = 0 следует, что T (y 0 + y 00 ) 5 0. По000утверждению 1.1 тогда ∃c > 0 : cv +y 0 +y 00 5 0, т.
е. ∃ŷ ∈ Rm+ : cv +y +y + ŷ =0. Все векторы в левой части принадлежат острому конусу Km , следовательно, из y 0 = −(cv + y 00 + ŷ) получаем y 0 = 0, аналогично и y 00 = 0. Поэтому000m0m0m0z = z 0 ∈ Rm,−z=z∈R.АтаккакR∩−R++++ = {0}, то z = 0. Такимобразом, конус Km0 острый. Выпуклость этого конуса очевидна по построению.0Введём на векторах пространства Rm конусное бинарное отношение m0с конусом Km0 \{0}. В силу выпуклости и остроты этого конуса отношениеиррефлексивно, транзитивно и инвариантно.Пусть Z = T Y = T f (X). Отношение X индуцирует на Z отношение Z :x0 X x00 ⇔ T f (x0 ) Z T f (x00 ).0Утверждение 1.3.
Отношение m0 является продолжением Z на Rm .Доказательство. Пусть x0 , x00 ∈ X : T f (x0 ) Z T f (x00 ). Тогда x0 X x00 .Далее, f (x0 ) Y f (x00 ), а так как m является продолжением отношения Yна Rm , то f (x0 ) m f (x00 ). Отношение m является конусным, следовательно,f (x0 ) − f (x00 ) ∈ Km \{0}. По построению конуса Km0 имеем T (f (x0 ) − f (x00 )) ∈Km0 . В силу инъективности отображения T вектор T (f (x0 ) − f (x00 )) ненулевой. Таким образом, T f (x0 )−T f (x00 ) ∈ Km0 \{0}, а значит, T f (x0 ) m0 T f (x00 ).24Обратно, пусть x0 , x00 ∈ X : T f (x0 ) m0 T f (x00 ). Тогда в силу конусностиотношения m0 имеемT (f (x0 ) − f (x00 )) ∈ Km0 \{0}.0(1.6)000Это означает, что ∃y ∈ Km , ∃z ∈ Rm+ : T (f (x ) − f (x )) = T y + z.
ОтсюдаT (y − f (x0 ) + f (x00 )) = −z 5 0. По утверждению 1.1 ∃c > 0 : cv + y − f (x0 ) +0000f (x00 ) 5 0. Следовательно, ∃y 0 ∈ Rm+ : cv + y − f (x ) + f (x ) + y = 0. Отсюдаf (x0 ) − f (x00 ) = cv + y + y 0 ∈ Km с учётом того, что v m 0, y 0 m 0. Еслипредположить, что f (x0 ) − f (x00 ) = 0, то и T (f (x0 ) − f (x00 )) = 0, что противоречит (1.6). Следовательно, f (x0 ) − f (x00 ) ∈ Km \{0}, значит, f (x0 ) m f (x00 ),а так как m является продолжением Y , то f (x0 ) Y f (x00 ), откуда x0 X x00и T f (x0 ) Z T f (x00 ).Таким образом, T f (x0 ) Z T f (x00 ) ⇔ T f (x0 ) m0 T f (x00 ) для ∀x0 , x00 ∈ X.0А это означает, что m0 является продолжением отношения Z на Rm .Отметим, что в качестве следствия доказано следующее утверждение.Утверждение 1.4.
Пусть матрица T размерности m0 × m порожденавектором v. Пусть K ⊆ Rm — выпуклый острый конус, содержащий v и Rm+.0m0Пусть также K0 = cone T K, e1m0 , . . . , emm0 . Тогда ∀y ∈ R ⇒ T y ∈ K ⇒ y ∈K. При этом T y 6= 0 ⇔ y 6= 0.00Пусть z 0 , z 00 ∈ Rm , α > 0 : z 0 = z 00 + αekm0 . Тогда z 0 − z 00 = αekm0 ∈ Rm+ \{0} ⊆Km0 \{0}.
Отсюда z 0 m0 z 00 , что означает выполнение аксиомы согласованности для m0 .Таким образом, в рамках задачи hX, T f, X i построенное отношение m0удовлетворяет всем аксиомам разумного выбора.Так как u1 , . . . , up ∈ Km \{0}, то T u1 , . . . , T up ∈ T Km \{0} ⊆ Km0 \{0}, следовательно, T u1 m0 0, . . . , T up m0 0. А тогда, если все векторы T uk имеютхотя бы одну положительную и хотя бы одну отрицательную компоненты,то их можно считать «квантами» информации об относительной важностиновых критериев T f .
Значит, можно повторно применять теорему 1.3. Такимобразом, задача учёта p + 1 «кванта» сведена к задаче учёта p «квантов».Если среди векторов T uk есть вектор T ui ≥ 0, то его можно отбросить:этот «квант» дополнительной информации не несёт. Если же есть векторT uk 5 0, то это означает, что либо uk = 0, чего быть не может, так какuk — «квант», либо Km0 не острый. Однако каким бы ни было отношение m ,25удовлетворяющее всем аксиомам разумного выбора, по доказанному вышеутверждению 1.2 конус Km0 острый. Противоречие показывает, что нет такого отношения m , для которого выполнены аксиомы разумного выбора исоотношения v m 0, u1 m 0, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
