Диссертация (1149249), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

. . , g p . Пусть инфимум ψ(z) =inf(1 − ϕ(y))my∈R : yz<0достигается на векторе y c ϕ(y) = ϕ0 . Возьмём представление y =pPγj g jj=1с коэффициентами из Optrepϕ y. Так как yz < 0, среди образующих, входящих в это представление с положительными коэффициентами, обязательно найдётся хотя бы одна g k : g k z < 0, причём ϕ(y) 6 δ k 6 ϕ g k . Тогда1 − ϕ0 = ψ(z) 6 1 − ϕ g k 6 1 − ϕ0 , и инфимум достигается на g k .Наконец, установим связь между чёткими частями нечётких взаимодвойственных конусов.Утверждение 2.9.

Пусть ϕ и ψ — функции принадлежности конечнопорожденных нечётких конусов, двойственных друг другу. Тогда ядро ϕ двойственно суппорту ψ.Доказательство. Напомним, что ядром нечёткого множества называется совокупность всех его векторов, имеющих степень принадлежности, равную единице. Обозначим C = {x ∈ Rm |ϕ(x) = 1}. Суппорт нечёткого конусас функцией принадлежности ψ определяется как множествоD = {y ∈ Rm |ψ(y) > 0} .44Рассмотрим конус E, двойственный к C.

Эти конусы чёткие, поэтому по определению E = {y ∈ Rm |∀x ∈ C ⇒ xy > 0}.Возьмём y ∈ D. Так как ψ(y) =inf(1 − ϕ(x)) > 0, для всех x : xy <mx∈R : xy<00 верно 1 − ϕ(x) > 0, т. е. ϕ(x) < 1, и такие векторы x не входят в ядро ϕ —конус C. Следовательно, ∀x ∈ C ⇒ xy > 0. А значит, y ∈ E, т. е. справедливовключение D ⊆ E.Рассмотрим теперь ∀y ∈ E. Тогда для всякого x ∈ Rm : ϕ(x) = 1 имеетместо xy > 0. Следовательно, если xy < 0, то ϕ(x) < 1.

В силу того, чтоконус ϕ конечнопорожденный, функция ϕ может принимать лишь конечноечисло значений, следовательно, ∃α : ∀x : xy < 0 ⇒ ϕ(x) 6 α < 1. А тогдаψ(y) =inf(1 − ϕ(x)) > α > 0, и y ∈ D. Таким образом, D = E.mx∈R : xy<02.4Построение образующих нечёткогодвойственного конусаПерейдём теперь к вопросу о нахождении образующих двойственного конуса. Целью является алгоритм, аналогичный таковому в чётком случае.Начнём с рассмотрения общего шага: зададимся парой нечётких взаимодвойственных конусов и добавим к одному из них новую образующую. В чёткомслучае тогда двойственный конус пересекается с полупространством, нормаль которого и есть добавленная образующая. В нечётком случае происходит нечто подобное, что видно из следующего утверждения.Утверждение 2.10.

Пусть λ — функция принадлежности нечёткого конуса, порождённого векторами a1 , . . . , ap со степенями уверенности α1 , . . . , αp .Пусть ϕ — функция принадлежности двойственного к нему конуса. Пустьµ — функция принадлежности нечёткого конуса, порождённого векторамиa1 , . . . , ap , b со степенями уверенности α1 , . .

. , αp , β. Пусть1,bx > 0;m∀x ∈ R ⇒ χ(x) =1 − β, bx < 0.Пусть ψ — функция принадлежности нечёткого конуса, двойственного к µ.Тогда ∀x ∈ Rm ⇒ ψ(x) = min {ϕ(x); χ(x)}.45Доказательство. Возьмём произвольный вектор x ∈ Rm . Из определения 2.5, очевидно, следует ∀y ∈ Rm ⇒ λ(y) 6 µ(y). Так как ψ и µ двойственны, ∀y ∈ Rm : xy < 0 ⇒ ψ(x) 6 1 − µ(y) 6 1 − λ(y). Таким образом,ψ(x) 6infy∈Rm : xy<0(1 − λ(y)) = ϕ(x).Если bx > 0, то ψ(x) 6 1 = χ(x).

Если bx < 0, то ψ(x) 6 1 − µ(b) 6 1 − β =χ(x). Значит, ψ(x) 6 min {ϕ(x); χ(x)}.Возьмём теперь для того же x произвольный y ∈ Rm : xy < 0. Если такого y нет, то x = 0, и тогда ψ(x) = ϕ(x) = χ(x) = 1. Если µ(y) = 0, тоmin {ϕ(x); χ(x)} 6 1 = 1 − µ(y). Пусть теперь µ(y) > 0.

Возьмём разложениеy=pXγk ak + γbk=1с коэффициентами из Optrepµ y. Если здесь γ = 0, то этот набор коэффициентов принадлежит более узкому множеству, по которому берётся максимумв определении 2.5 для λ, поэтому µ(y) 6 λ(y), и min {ϕ(x); χ(x)} 6 ϕ(x) 61 − λ(y) 6 1 − µ(y). Рассмотрим случай γ > 0. µ(y) = gradeµ y 6 β.

Еслиbx < 0, то min {ϕ(x); χ(x)} 6 χ(x) = 1 − β 6 1 − µ(y). Пусть теперь bx > 0.В силу того, чтоpXy − γb =γk ak ,k=1по определению 2.5 для λ получаемλ(y − γb) >mink=1,p : γk 6=0αk >minαk ; β = µ(y).k=1,p : γk 6=0Так как bx > 0, x(y − γb) 6 xy < 0, и min {ϕ(x); χ(x)} 6 ϕ(x) 6 1 −λ(y − γb) 6 1 − µ(y). Таким образом, ∀y ∈ Rm : xy < 0 ⇒ min {ϕ(x); χ(x)} 61 − µ(y). Следовательно,min {ϕ(x); χ(x)} 6infy∈Rm : xy<0(1 − µ(y)) = ψ(x).После этого предварительного шага приведём формулы пересчёта обра46зующих двойственного конуса.Утверждение 2.11.

Пусть λ — нечёткая коническая оболочка векторовb1 , . . . , bp со степенями уверенностей β1 , . . . , βp . Пусть1,nx > 0,ψ(x) =1 − ν, n < 0.Тогда нечёткий конус с функцией принадлежности min {λ(x); ψ(x)} можетбыть представлен в виде нечёткой конической оболочки следующих векторов:1. bi со степенью принадлежности βi для i : nbi > 0;2.

bj со степенью принадлежности min {βj ; 1 − ν} для j : nbj < 0;3. nbi bj − nbj bi со степенью принадлежности min {βi ; βj } для номеровi, j : nbj < 0 < nbi .Доказательство. Обозначим функцию принадлежности нечёткой конической оболочки указанных векторов за µ. Не умаляя общности, будем считать, что β1 > . . . > βp .Возьмём произвольный вектор x : λ(x) = 0. В соответствии с определением 2.6 тогда x ∈/ cone b1 , . . . , bp . Векторы bij = nbi bj − nbj bi принадлежат этому конусу, поэтому и µ(x) = 0. Отсюда можно заключить, чтоµ(x) = min {λ(x); ψ(x)}.Возьмём теперь x : λ(x) > 0.

Для некоторого индекса k тогда λ(x) = βk ,kPγi bi . Предположим сначала, что nx < 0. Вx ∈ cone b1 , . . . , bk , и x =i=1этом случае новые степени принадлежности bi не меньше min {βi ; 1 − ν} >min {βk ; 1 − ν}, и µ(x) > min {βk ; 1 − ν} = min {λ(x); ψ(x)}.Пусть теперь x : λ(x) > 0, nx > 0. Если βk 6 1 − ν, то новые степенипринадлежности векторов b1 , . . . , bk не меньше βk , и µ(x) > λ(x). Если βk >1 − ν, введём множества A = i = 1, k nbi > 0 , B = j = 1, k nbj < 0 ,S = s = 1, k nbs = 0 и распишемx=kXi=1Pγi bi =Xi∈A∪Sγi bi +Xj∈B47i∈APs∈Aγi nbiγs nbγ bj =s jXi∈A∪Sγi bi +X X γi γj nbi bj X X γi γj nbj bi X X γi γj nbj biPPP+−+=γs nbsγs nbsγs nbsi∈A j∈Bi∈A j∈Bs∈AXγs bs +s∈S+еслиγi +i∈AXXi∈A j∈BPXs∈A=i∈A j∈Bs∈AX γi γj nbjb i +Psγs nbj∈BγγPi j sγs nbs∈A nbi bj − nbj bi ,s∈Aγs nbs > 0.

Отметим, что коэффициентs∈A!γi +X γi γj nbjP=γs nbsj∈Bs∈AγiPγs nbs +s∈APj∈BPγs nbss∈Aγj nbjγi nx= P> 0.γs nbss∈AТак что в этом случае x оказывается представлен в виде конической комбинации векторов с новыми степенями принадлежности, не меньшими βk , поэтомуPµ(x) > λ(x). Если оказалось, чтоγs nbs = 0, то в силу nx > 0 необходимоs∈APγs nbs = 0, и x ∈ cone {bs : s ∈ C}, а новые степени принадлежности этихs∈Bвекторов равны старым, поэтому также µ(x) > λ(x). Таким образом, длявсех x : nx > 0 верно µ(x) > λ(x) = min {λ(x); ψ(x)}, так как ψ(x) = 1.Перейдём к доказательству встречного неравенства. Рассмотрим векторx : µ(x) = 0.

Для него автоматически µ(x) 6 min {λ(x); ψ(x)}.Пусть x : µ(x) > 0. Тогдаx ∈ cone b1 , . . . , bk , bi1 j1 , . . . , bir jr ⊆ cone b1 , . . . , bk , bi1 , . . . , bir , bj1 , . . . , bjr .Значит,λ(x) > min {βk ; βi1 , . . . , βir ; βj1 , . . . , βjr }.При этом µ(x) = min {βk ; βi1 , βj1 ; . . . ; βir , βjr } при nb1 > 0, . .

. , nbk > 0, иµ(x) = min {βk , 1 − ν; βi1 , βj1 ; . . . ; βir , βjr } в противном случае. Отсюда видно,что λ(x) > µ(x). Если nx > 0, то 1 = ψ(x) > µ(x). Если nx < 0, то средиb1 , . . . , bk необходимо найдётся вектор bj : nbj < 0, так как nbis js = 0 длявсех s. Новая степень принадлежности этого bj не превосходит 1 − ν, поэтому48ψ(x) = 1 − ν > µ(x). Таким образом, min {λ(x); ψ(x)} > µ(x).В итоге для всех x ∈ Rm доказаны два встречных неравенства, а значит,µ(x) = min {λ(x); ψ(x)}.Однако возможно, что двойственный конус можно задать и меньшим числом образующих, иными словами, некоторые образующие могут оказатьсялишними. Введём формальное определение этого понятия.Определение 2.10 [8]. Пусть λ — функция принадлежности остройнечёткой конической оболочки векторов a1 , .

. . , ap с соответствующими степенями принадлежности α1 , . . . , αp . Образующая aj называется лишней, если ∀x ∈ X ⇒ µ(x) = λ(x), где µ — функция принадлежности нечёткойконической оболочки векторов a1 , . . . , aj−1 , aj+1 , . . . , ap с соответствующимистепенями принадлежности α1 , . . . , αj−1 , αj+1 , . . . , αp .Рассмотрим вопрос об исключении лишних образующих. Как известно, вчётком случае все существенные образующие являются гранями конуса размерности 1. Аналогичное свойство можно установить и в нечётком случае.Утверждение 2.12 [8]. Пусть λ — функция принадлежности остройнечёткой конической оболочки ненулевых векторов d1 , .

Характеристики

Список файлов диссертации