Диссертация (1149249), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Доказывается, что этопроисходит в том случае, когда предоставленная ЛПР информация противоречива. Таким образом, появляется возможность производить учёт «квантов» последовательно, одновременно проверяя непротиворечивость сужденийЛПР. Центральный результат этой главы — алгоритм, описывающий последовательный учёт информации.Однако простой пример показывает, что размерность нового векторногокритерия может быть уменьшена. Поэтому далее ставится вопрос об исключении тех его компонент, которые не являются существенными для построениямножества Парето.
Эта задача решается за счёт того, что в рамках принятой аксиоматики отношение предпочтения ЛПР конусное, и преобразованиевекторного критерия связано с построением двойственного конуса. В концеглавы приводится необходимое и достаточное условие существенности компонент векторного критерия.Человек при оценке своих предпочтений часто уверен в них лишь в определённой степени.
Для моделирования этого применяется теория нечёткихмножеств. ЛПР может приписать каждому «кванту» информации степеньуверенности в готовности пойти на компромисс, описываемый этим «квантом». Рассмотрению вопроса об учёте такой информации посвящена третьяглава.Являясь обобщением задачи сужения множества Парето с использованием «квантов» в чётком случае, учёт «квантов» нечёткой информации такжесводится к нахождению образующих двойственного конуса. Однако теперьрассматриваемые конусы нечёткие. В связи с этим возникает необходимостьобобщить определения конической оболочки, двойственности конусов и т.
п.После исследования некоторых свойств этих объектов излагается главныйрезультат: алгоритм построения образующих нечёткого двойственного кону12са, который применяется в задаче сужения множества Парето. В завершениеглавы приводится критерий непротиворечивости предоставленных ЛПР данных.В третьей главе описывается программная реализация разработанных алгоритмов.
Уделяется внимание как программному интерфейсу (API), так ипользовательскому.Четвёртая глава содержит пример расчёта сужения множества Паретос использованием предложенного алгоритма. Исследуется набор «квантов»,который не подпадает ни под одну из ранее предложенных теорем учёта.Показывается, как естественным образом выводится критерий непротиворечивости набора «квантов» и строится суженное множество Парето.Таким образом, на защиту выносятся следующие основные положения:1. Алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации очётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программнаяреализация;2.
Оценка сверху для множества выбираемых вариантов, построенная наоснове конечного набора «квантов» нечёткой информации (утверждение 2.15);3. Критерий противоречивости «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР (утверждение 2.16);4.
Алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации онечётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программная реализация.Результаты диссертации были опубликованы соискателем в девяти работах [2–9, 30], из которых три [8, 9, 30] являются статьями в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.Основные утверждения, представленные в диссертации, докладывалисьна XLI, XLII, XLIII, XLIV международных научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ (Санкт-Петербург, 2010–2013), международной конференции «Конструктивный негладкий анализ и13смежные вопросы» (Санкт-Петербург, 2012), VII московской международнойконференции по исследованию операций ORM-2013 (Москва, 2013).Исследования, проведённые в диссертации, поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проекты №№ 08-01-00301, 11-07-00449а,14-07-00899).14Глава 1Случай чёткого отношенияпредпочтения ЛПРДанная глава посвящена решению задачи учёта произвольного конечного набора «квантов» информации об отношении предпочтения ЛПР в случае, когда оно чёткое.
Вначале приводятся определения основных понятий,затем даётся математическая постановка задачи многокритериального выбора. Следующий параграф содержит базовые теоремы, которые разработаныдля учёта одного «кванта» информации. Основной результат, доказанныйВ. Д. Ногиным [27], использует заданный «квант» для построения новоговекторного критерия.Оказывается, что если задано более одного «кванта», можно выбрать любой из них, применить базовую теорему, определённым образом преобразовать оставшиеся кванты и получить задачу учёта «квантов», количество которых на единицу меньше. Так появляется последовательный алгоритм учёта информации об отношении предпочтения. В случае нескольких «квантов»возникает вопрос о непротиворечивости предоставляемой информации.
Онтакже решается данным алгоритмом по ходу работы. Далее для наглядности приведён пример его использования. На этом же примере показано, чтопрямолинейное применение такого подхода может приводить к появлениюизбыточных критериев. Так возникает вопрос об их удалении. Для этого рассматривается взаимосвязь между задачей учёта информации об отношениипредпочтения и задачей нахождения образующих двойственного конуса. Бла-15годаря ей удаётся получить необходимое и достаточное условие того, что критерий не является лишним, которое приведено в последнем параграфе.1.1Основные определенияНапомним определения основных понятий выпуклой геометрии, которыми в дальнейшем будем активно пользоваться.Определение 1.1. Множество C ⊆ Rm — конус, если ∀x ∈ C, ∀α > 0 ⇒αx ∈ C.Определение 1.2. Множество C ⊆ Rm называется выпуклым, если∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0; 1] ⇒ αx + (1 − α)y ∈ C.Определение 1.3.
Выпуклая коническая оболочка множества C ⊆ Rm —множество()kXcone C = x ∈ Rm ∃a1 , . . . , ak ∈ C, ∃α1 , . . . , αk > 0 : x =α k ak .i=1Условимся считать cone ∅ = {0}.Очевидно, что выпуклая коническая оболочка конечного числа векторовa1 , . . . , ap ∈ Rm может быть представлена как()pXcone a1 , . . . , ap = x ∈ Rm ∃α1 , . .
. , αp > 0 : x =αi aii=1в силу того, что векторы, не участвующие в сумме, гарантированной определением 1.3, можно добавить с нулевыми коэффициентами.Определение 1.4. Линейная оболочка множества C ⊆ Rm — множество)kXx ∈ Rm ∃a1 , . . . , ak ∈ C, ∃α1 , . . . , αk ∈ R : x =α k ak .(LC =i=1Будем считать L∅ = {0}.Здесь можно сделать аналогичное замечание о том, что линейная оболоч-16ка конечного числа векторов a1 , .
. . , ap ∈ Rm представима в виде)(pX 1α i ai .L a , . . . , ap = x ∈ Rm ∃α1 , . . . , αp ∈ R : x =i=1Определение 1.5. Сумма множеств A, B ⊆ Rm — множествоA + B = {x ∈ Rm |∃a ∈ A, ∃b ∈ B : a + b = x} .Определение 1.6. Ортогональным дополнением множества C ⊆ Rmназывается множествоL⊥ C = {x ∈ Rm |∀y ∈ C ⇒ xy = 0} .Заметим, что L⊥ C = L⊥ LC, и линейные пространства L⊥ C и LC образуют прямую сумму:L⊥ C ⊕ LC = Rm .Определение 1.7. Выпуклый конус C ⊆ Rm конечнопорожденный, если ∃x1 , . .
. , xk ∈ Rm : cone x1 , . . . , xk = C. Векторы x1 , . . . , xk называютсяобразующими.В этом определении образующие можно считать ненулевыми, так какcone (C ∪ {0}) = cone C.Определение 1.8. Конус C ⊆ Rm острый, если∀x ∈ C : − x ∈ C ⇒ x = 0.Определение 1.9. Двойственный конус ко множеству C ⊆ Rm — множество {x ∈ Rm |∀y ∈ C ⇒ xy > 0}.Модно доказать, что это множество действительно является конусом, ипритом выпуклым.Определение 1.10. Бинарное отношение ⊆ Rm × Rm называется конусным, если существует конус K ⊆ Rm : ∀x, y ∈ Rm x y ⇔ x − y ∈ K.171.2Задача многокритериального выбораПусть имеется множество вариантов произвольной природы X. ЛПР может оценить каждый вариант по нескольким числовым критериям f1 , .
. . , fm .Таким образом, можно считать, что задано отображение f : X 7→ Rm :f (x) = f1 (x).. .. fm (x)Будем предполагать, что отображение f инъективно, т. е. если для двух вариантов x, y ∈ X верно f (x) = f (y), что означает, что у этих вариантоводинаковые оценки по всем критериям, то эти варианты равнозначны длялица, принимающего решение: x = y.
Пусть, кроме того, ЛПР может непосредственно сравнивать пары вариантов. Для учёта этого введём отношениепредпочтения X ⊆ X × X : x X y означает, что из этих двух вариантовЛПР выбирает x и не выбирает y. Таким образом, модель задачи принятиярешения включает в себя три объекта hX, f, X i.Сразу оговоримся, что отношение предпочтения известно лишь частично,т. к. зачастую сравнение всех пар вариантов не представляется возможным.Кроме того, возможна ситуация, когда не выполняется ни одно из соотношений x X y и y X x, т.
е. это отношение неполное.Образ множества возможных вариантов Y = f (X) будем называть множеством возможных векторов. На нём индуцируется отношение предпочтения Y : x0 X x00 ⇒ f (x0 ) Y f (x00 ).На Rm вводятся отношения:y 0 = y 00 ⇔ ∀i ∈ I yi0 > yi00 ;y 0 ≥ y 00 ⇔ y 0 = y 00 , y 0 6= y 00 .С помощью второго из них — отношения Парето — строится множество Парето, или множество парето-оптимальных вариантовPf (X) = {x ∈ X |6 ∃x∗ ∈ X : f (x∗ ) ≥ f (x)} .18Для удобства вводится обозначение Pf (Y) = f (Pf (X)).Задача принятия решения состоит в отыскании множества выбираемыхвариантов C(X) ⊆ X, включающего в себя все выбираемые ЛПР из X альтернативы, и только их.
Формальное определение этому множеству не даётся,так как оно сразу определило бы поведение ЛПР в процессе выбора, и ЛПР,желая применить такую теорию, должен был бы познакомиться с определением, понять его и полностью согласиться. В случае несогласия теория оказалась бы неприменимой, и пришлось бы искать либо другое определение,либо другой подход.В принятом в данной работе подходе ЛПР может осуществлять выбор всоответствии со своими индивидуальными вкусами и предпочтениями.
Теория позволяет лишь сузить круг поиска выбираемых вариантов, т. е. построить оценку сверху на множество C(X), в случае, если поведение ЛПР удовлетворяет четырём аксиомам «разумного выбора».Аксиома исключения доминируемых вариантов.∀x, y ∈ X x X y ⇒ y 6∈ C(X).Аксиома продолжимости. Существует транзитивное иррефлексивное продолжение m отношения Y на пространство Rm .Аксиома согласованности.∀i ∈ I, ∀y 0 , y 00 ∈ Rm , ∀j 6= i : yj0 = yj00 , yi0 > yi00 ⇒ y 0 y 00 .Аксиома инвариантности.∀α > 0, ∀c, y 0 , y 00 ∈ Rm : y 0 y 00 ⇒ αy 0 + c αy 00 + c.Отметим, что в силу транзитивности m аксиому согласованности можнозаменить эквивалентным утверждением: ∀y 0 , y 00 ∈ Rm : y 0 ≥ y 00 ⇒ y 0 y 00 .Готовность ЛПР идти на компромисс, т. е.
соглашаться на некоторые потери по одним критериям ради получения выгоды по другим, формализуетсяследующим понятием.Определение 1.11. Вектор u ∈ Rm задаёт «квант» информации об отношении предпочтения ЛПР, если он имеет хотя бы одну положительную и19хотя бы одну отрицательную компоненты и u 0.Отрицательные компоненты соответствуют тем критериям, по которымЛПР готово пойти на уступки. Абсолютные величины этих компонент показывают наибольший приемлемый размер уступок. Положительные компоненты показывают наименьший прирост по тем критериям, ради повышенияоценок по которым которых ЛПР идёт на компромисс.ЛПР может предоставить информацию в виде нескольких «квантов».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
