Диссертация (1149249), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

. . , fm , которые можно объединить в векторный критерий f : X 7→ Rm . Наконец, при выборе ЛПР может руководствоваться индивидуальными вкусами и предпочтениями, которые моделируютсянечётким бинарным отношением предпочтения X с функцией принадлежности µX : считают, что µX (x0 , x00 ) = µ, если, выбирая из этих двух вариантов,ЛПР отдаёт предпочтение x0 со степенью уверенности µ. Тройка hX, f, X iопределяет задачу (нечёткого) многокритериального выбора.

Множество выбираемых вариантов будем обозначать через C(X), а его функция принадлежности через κ(x). Удобно также ввести множество возможных векторовY = f (X) ⊆ Rm . Отношение предпочтения X индуцирует на нём нечёткоеотношение Y с функцией принадлежности µY : µX (x0 , x00 ) = µY (f (x0 ), f (x00 ))для всех x0 , x00 ∈ X. Сразу оговоримся, что мы будем считать варианты содинаковыми оценками неразличимыми, так что x0 6= x00 ⇔ f (x0 ) 6= f (x00 ).Будем предполагать выполненые четырёх аксиом разумного выбора [26].Аксиома 1. κ(x00 ) 6 1 − µX (x0 , x00 ) для всех x0 , x00 ∈ X.Другими словами, ЛПР не будет выбирать , если существует более предпочтительный вариант .Аксиома 2.

Существует иррефлексивное транзитивное продолжение на пространство Rm нечёткого отношения Y .Функцию принадлежности отношения  в этом параграфе будем обозначать µ.Аксиома 3. Отношение  согласовано с каждым из критериев f1 , . . . , fm ,т. е. для каждого индекса i, для любых двух векторов y 0 и y 00 пространства Rm ,все компоненты которых одинаковы, за исключением i-ой, причём yi0 > yi00 ,имеет место равенство µ(y 0 , y 00 ) = 1.Таким образом, без умаления общности предполагается, что ЛПР заинтересовано в максимизации всех критериев.Аксиома 4. Нечёткое отношение  инвариантно относительно положительного линейного преобразования, т. е. µ(αy 0 + c, αy 00 + c) = µ(y 0 , y 00 ) для54всех c, y 0 , y 00 ∈ Rm , α > 0.Следствием этой аксиомы является свойство конусности отношения : существует такой нечёткий конус с функцией принадлежности η, что µ(y 0 , y 00 ) =η(y 0 − y 00 ) для ∀y 0 , y 00 ∈ Rm .Выполнение приведённых аксиом гарантирует [26], что множество выбираемых вариантов содержится в множестве Парето Pf (X), т.

е. имеет местонеравенство κ(x) 6 πf (x) для всех вариантов x ∈ X, где функция принадлежности множества Парето πf (x) принимает значение 1 в точках самогомножества Парето, а во всех остальных точках она равна 0. Напомним, чтомножество Парето — это чёткое множествоPf (X) = {x ∈ X |6 ∃x0 ∈ X : f (x0 ) ≥ f (x)} ,где символ ≥ обозначает отношение Парето: y 0 ≥ y 00 в том и только в томслучае, если по каждой компоненте yi0 > yi00 и хотя бы одно такое неравенствострогое. Другими словами, ЛПР может с самого начала исключить из рассмотрения варианты, которые можно «улучшить» по одному или несколькимкритериям, при этом не ухудшая оценки по остальным критериям.Однако во многих случаях оценка множества выбираемых вариантов ввиде множества Парето является достаточно широкой. Поэтому актуальнойзадача сужения множества Парето на основе дополнительной информацииоб отношении предпочтения ЛПР.Определение 2.11 [8].

Пусть u ∈ Rm — вектор, имеющий хотя бы одну положительную и хотя бы одну отрицательную компоненты. Если имеетместо равенство µ(u, 0) = ν, то говорят, что задан «квант» (нечёткой) информации об отношении предпочтения ЛПР.Например, в случае двух критериев наличие «кванта» µ(u, 0) = 1 приu1 = 1, u2 = −1 означает, что ЛПР готово уступить одну единицу по второмукритерию ради повышения на единицу оценки по первому критерию, другимисловами, первый критерий более значим для ЛПР, нежели второй.Предположим, что задан набор «квантов» информации µ uk , 0 = ν k ,k = 1, p. Наша цель — сузить исходное множество Парето, используя данныйнабор «квантов».552.6Учёт «квантов» нечёткой информацииПо аналогии с чётким случаем введём коническую оболочку «квантов» иортов критериального пространства и покажем, как с её помощью получаетсяоценка на множество выбираемых решений.Утверждение 2.14. Пусть для k = 1, p векторы uk  0 со степенямиуверенности ν k > 0.

Пусть λ(x) — функция принадлежности нечёткой конической оболочки векторов e1 , . . . , em , u1 , . . . , up со степенями уверенности1, . . . , 1, ν 1 , . . . , ν p ; а κ(x) — функция принадлежности множества выбираемых векторов. Обозначим за Y ⊆ Rm множество возможных векторов. Тогда∀x ∈ Y ⇒ κ(x) 6 1 − max λ(y − x).(2.6)y∈Y\{x}Доказательство.

Прежде всего отметим, что λ(x) принимает лишь конечное число значений, и поэтому максимум достигается.Пусть µ(x, y) — функция принадлежности нечёткого отношения предпочтения, продолженного на Rm . Так как оно конусное, существует некоторыйострый выпуклый нечёткий конус с функцией принадлежности η : Rm 7→[0; 1] : ∀x, y ∈ Rm ⇒ µ(x, y) = η(x − y).По построению ∀i = 1, m ⇒ η ei = 1 = λ ei .

Кроме того, ∀i = 1, p ⇒η ui = λ ui . В самом деле, η ui = µ ui , 0 = ν i . Из определения 2.5следует, что λ ui > ν i . Предположим, что λ ui > ν i . Тогда возьмём представлениеpmXXiku =αk e +βk ukk=1k=1с коэффициентами из Optrepλ ui . Так какλ ui =min1; ν k > ν i ,k=1,p : βk >0βi = 0. Однако по выпуклостиν i = η ui >min1; η uk =k=1,p : βk >0min k1; ν = λ ui ,k=1,p : βk >0что противоречит предположению.Возьмём произвольный x ∈ Rm \{0} : λ(x) > 0.

Воспользуемся опреде56лением 2.5. Так как λ(x) > 0, максимум по пустому множеству браться неможет. Пусть x1 , . . . , xm , x01 , . . . , x0p ∈ Optrepλ x. Тогдаx=mXixi e +i=1pXx0i ui .i=1∀i = 1, p : x0i > 0 ⇒ λ ui > λ(x). В силу того, что η — выпуклый конус,η(x) = ηmXixi e +i=1pX!x0i uii=1Pmimink=1,p : x0k >0= 1η e , . . .

, η(em ), η uk =mink=1,p : x0k >0x0i uixe + i=1 ii=1>= ηpm PPx0ixi +i=1i=1>pPmink=1,p : x0k >01; η uk =1; λ uk > min {1; λ(x)} = λ(x).В случае x ∈ Rm \{0} : λ(x) = 0 ⇒ η(x) > 0 = λ(x).Возьмём произвольный возможный вектор x ∈ Y. По аксиоме исключениядоминируемых вариантов∀y ∈ Y\{x} ⇒ κ(x) 6 1 − µ(y, x) = 1 − η(y − x).Если Y = {x}, то максимум в (2.6) берётся по пустому множеству и равеннулю, тогда неравенство κ(x) 6 1 очевидно. Если Y\{x} =6 ∅, то возьмёмвектор y ∗ ∈ arg max λ(y − x).

Для негоy∈Y\{x}κ(x) 6 1 − η(y ∗ − x) 6 1 − λ(y ∗ − x) = 1 − max λ(y − x).y∈Y\{x}Обозначим функцию принадлежности конической оболочки ортов Rm заι(y). В силу очевидного включения неотрицательного ортанта в коническуюоболочку из только что доказанного утвержденияκ(x) 6 1 − max λ(y − x) 6 1 − max ι(y − x) = πf (x),y∈Y\{x}y∈Y\{x}т. е. полученная оценка лучше, чем оценка с помощью множества Парето.57Рассмотрим далее связь множества выбираемых решений с конусом, двойственным к конической оболочке ортов и «квантов», образующие которогоможно построить с помощью алгоритма 2.Утверждение 2.15 [8]. Пусть для k = 1, p векторы uk  0 со степенямиуверенности ν k > 0. Пусть λ(x) — функция принадлежности нечёткой конической оболочки векторов e1 , .

. . , em , u1 , . . . , up со степенями уверенности1, . . . , 1, ν 1 , . . . , ν p . Пусть двойственный к λ нечёткий конус с функцией принадлежности µ(x) представим в виде нечёткой конической оболочки векторовg 1 , . . . , g q со степенями уверенности θ1 , . . . , θq . Пусть Y — множество возможных векторов. Пусть κ — функция принадлежности множества выбираемыхвекторов.

Тогда∀x ∈ Y ⇒ κ(x) 6 minmaxθi.y∈Y\{x} i=1,q : g i x>g i yДоказательство. По утверждению 2.14∀x ∈ Y ⇒ κ(x) 6 1 − max λ(y − x) = min (1 − λ(y − x)).y∈Y\{x}y∈Y\{x}Так как λ и µ двойственны друг другу,λ(y − x) =infh∈Rm : h(y−x)<0(1 − µ(h)).Пусть инфимум достигается на некотором векторе h ∈ Rm . Возьмём представлениеqXh=γk g kk=1с коэффициентами из Optrepµ h. Введём множествоK = k = 1, q γk > 0; θk = µ(h) .Тогда, очевидно, ∀i = 1, q : i ∈/ K, γi > 0 ⇒ θi > µ(h). Предположим, что∀k ∈ K ⇒ g k (y − x) > 0.

Тогда рассмотрим векторh0 = h −Xγk g k =k∈KXk=1,q, k ∈K/58γk g k .Из определения 2.5µ(h0 ) >θk > µ(h).mink=1,q, k ∈K/ : γk >0Кроме того,0h (y − x) = h(y − x) −Xγk g k (y − x) < 0.k∈KПоэтому λ(y − x) 6 1 − µ(h0 ) < 1 − µ(h), что противоречит выбору h. Значит,∃j ∈ K : g j (y − x) < 0. Тогдаλ(y − x) = 1 − µ(h) = 1 − θj =1 − θk ,mink=1,q : g k (y−x)<0так как если бы минимум достигался на g i с θj < θi 6 µ g i , то 1 − µ g i <1 − θj = 1 − µ(h), что противоречило бы выбору h.

Подводя итог, имеем∀x ∈ Y ⇒ κ(x) 6 min (1 − λ(y − x)) =y∈Y\{x}= min 1 −y∈Y\{x}= min 1 − 1 −y∈Y\{x}1−θmink=k=1,q : g k (y−x)<0θkmaxk=1,q :g k y<g k x= minmaxy∈Y\{x} k=1,q :θk .g k y<g k xОтметим, что если все «кванты» информации имеют степень уверенности, равную единице, то выведенная оценка оказывается чёткой. Более того,она есть не что иное, как множество Парето относительно нового векторного критерия, компоненты g i f которого вычисляются с помощью образующихупомянутого двойственного конуса.Если же у некоторых «квантов» степень уверенности менее единицы, компоненты g i f , i = 1, . . .

, q, также можно считать новым векторным критерием, однако теперь с каждой компонентой g i f сопоставляется число θi ∈ (0; 1].Если некоторый вариант x доминирует x0 только по компонентам, с которыми сопоставлены числа α или менее, то степень принадлежности x множеству выбираемых вариантов не может превосходить α. Таким образом, такоенечёткое множество представляет собой «наслоение» множеств Парето, т.

Характеристики

Список файлов диссертации