Диссертация (1149249), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

. . , dq со степенямипринадлежностей δ 1 , . . . , δ q . Для того, чтобы образующая dq была лишней,необходимо и достаточно, чтобы либо δ q = 0, либо ∃k = 1, q − 1, ∃α > 0 : dk =αdq , δ k > δ q , либо ∃x, y ∈ Rm : 6 ∃α > 0 : dq = αx, 6 ∃α > 0 : dq = αy, x+y2 =dq , min {λ(x), λ(y)} > δ q .Доказательство.

Обозначим за µ функцию принадлежности нечёткойконической оболочки векторов d1 , . . . , dq−1 со степенями принадлежностейδ 1 , . . . , δ q−1 .Необходимость. Случай δ q = 0 очевиден, поэтому положим δ q > 0.Рассмотрим представление с коэффициентами из Optrepµ dq :dq =q−1Xγi di .i=1Если среди векторов di в правой части, которым соответствуют ненулевыеγi , есть сонаправленные с dq , то для них δ q 6 λ(dq ) = µ(dq ) = gradeµ dq 6δ i . В противном случае в правой части есть как минимум два ненулевых49коэффициента. Пусть один из них l.

Тогда dq =2γl dl +u,2где u = 2Pγi di .i=1,q−1, i6=lδ q 6 λ(dq ) = µ(dq ) = min δ l ; gradeµ u 66 min µ 2γl dl ; µ(u) = min λ 2γl dl ; λ(u) .При этом u не может быть сонаправлен с dq , так как тогда либо конус неострый, либо dl = 0, либо dl сонаправлена с dq .Достаточность. Возьмём произвольный вектор x ∈ Rm . Вначале отметим, что если x ∈/ cone d1 , . . . , dq , то λ(x) = µ(x) = 0. Далее, в случаеx ∈ cone d1 , . . .

, dq \ cone d1 , . . . , dq−1 имеем µ(x) = 0. Предположим, чтоλ(x) > 0, и возьмём представление с коэффициентами из Optrepλ xx=qXγi di ,(2.4)i=1в котором в силу выбора вектора x коэффициент γq > 0. Если δ q = 0, тоλ(x) = gradeλ x 6 δ q = 0, что противоречит предположению. Аналогично,выполнение условия ∃α > 0, ∃k = 1, q − 1 : dk = αdq привело бы к противореqчию с выбором x. Поэтому ∃u, v ∈ Rm : min {λ(u); λ(v)} > δ q , u+v2 = d , 6 ∃α >0 : αu = dq , 6 ∃α > 0 : αv = dq . Так как δ q > 0, то и λ(u) > 0, λ(v) > 0.

Поэтомусуществуют представления с коэффициентами из Optrepλ u и Optrepλ v:u=qXϕi di ,i=1v=qXψi di ,i=1откудаqu + v X ϕi + ψi i=d.d =22i=1qϕ +ψПредположение q 2 q > 1 ведёт к противоречию с остротой конуса. Предϕq +ψqположениек одному из трёх случаев: либо множество 2 = 1 приводитnoii = 1, q − 1 ϕi +ψ> 0 пустое, что означает, что ∀i = 1, q − 1 ⇒ ϕi = ψi =20, а это противоречит свойствам u и v; либо это множество состоит из одного50элемента {j}, тогда dj = 0, что противоречит условию утверждения; либо внём есть хотя бы два индекса j, k, но тогда после переноса dj в левую частьϕ +ψполучается противоречие с остротой конуса. Значит, q 2 q < 1, и dq выражается через d1 , .

. . , dq−1 . А тогда cone d1 , . . . , dq = cone d1 , . . . , dq−1 , азначит, x ∈ ∅. Заметим попутно, чтоδ q 6 min {λ(u); λ(v)} 6 λ(u) =minδi,i=1,q : ϕi >0откуда все векторы di , входящие в представление u с ненулевыми коэффициентами, имеют δ i > δ q . Аналогичное верно и для v, а следовательно, ив представление dq через d1 , . . . , dq−1 с ненулевыми коэффициентами входятразве только векторы di с δ i > δ q .Наконец, рассмотрим случай x ∈ cone d1 , .

. . , dq−1 . Возьмём представление с коэффициентами из Optrepµ x. Для него λ(x) > gradeλ x = gradeµ x =µ(x). Предположим, что λ(x) > µ(x). Тогда существует представление (2.4)с коэффициентами из Optrepλ x. Если γq = 0, то(2.4)λ(x) = gradeλx = grade(2.4)x 6 µ(x).µЗначит, γq > 0. В случае δ q = 0 получаем 0 = λ(x) > µ(x) > 0. Если∃k = 1, q − 1 : δ k > δ q , ∃α > 0 : dq = αdk , то для представленияx=Xγi di + (γk + αγq )dk(2.5)i=1,q−1, i6=k(2.4)(2.5)x 6 µ(x). В оставшемся случаеλ(x) = gradeλ x 6 gradeλ x = grade(2.5)µтакже dq должен выражаться через d1 , .

. . , dq−1 , причём векторы dk , которыевходят в это выражение, имеют δ k > δ q . А тогда снова λ(x) 6 µ(x). Такимобразом, ∀x ∈ Rm ⇒ λ(x) = µ(x).Однако более удобным для проверки образующих на существенность является следующий критерий, который принимает во внимание особенностьконуса отношения предпочтения.Утверждение 2.13 [8]. Пусть µ — функция принадлежности нечёткойконической оболочки векторов e1 , . . . , em , u1 , . .

. , us со степенями принадлежностей 1, . . . , 1, ν 1 , . . . , ν s . Пусть λ — функция принадлежности двойственно51го к ней нечёткого конуса, который представлен в виде нечёткой конической оболочки ненулевых векторов d1 , . . . , dq со степенями принадлежностейδ 1 , . .

. , δ q . Определим множества T dk = ei ei dk = 0 ∪ ui ui dk = 0, ν i + δ k > 1 .Тогда образующая dk является лишней в том и только в том случае, еслиδ k = 0 или ∃l 6= k : δ l > δ k , T dl ⊇ T dk .Доказательство. Необходимость. Рассмотрим три случая в соответствии с утверждением 2.12. Случай δ k = 0 очевиден. Если существует сонаправленная с dk образующая dl , для которой δ l > δ k , то δ l +ν i > δ k +ν i > 1 длявсех ui ∈ T dk , и, следовательно, T dk ⊆ T dl . Наконец, рассмотрим слуx+yчай, когда существуют два несонаправленных с dk вектора x, y := dk ,2λ(x) > δ k , λ(y) > δ k .

В ходе доказательства утверждения 2.12 было установлено, что в силу остроты конуса с функцией принадлежности λ (он острый как подмножество неотрицательного ортанта) вектор dk представим ввиде линейной комбинации образующих dj с δ j > δ k . Рассмотрим векторыui : ν i + δ k > 1. Если бы dj ui < 0, то по определению 2.9 мы бы имелиδ j 6 λ dj 6 1 − ν i < δ k , что противоречило бы свойствам dj . Следовательно, должно выполняться неравенство dj ui > 0.

Если при этом ui ∈ T dk , тоdk ui = 0, а следовательно, и dj ui = 0, так как сумма неотрицательных слагаемых может равняться нулю только тогда, когда все эти слагаемые равнынулю. Аналогично, dj ei > 0, и для ei ∈ T dk имеет место равенство. Такимобразом, T dk ⊆ T dj .Достаточность. Если δ k = 0, то по утверждению 2.12 dk лишняя. Рассмотрим случай, когда δ k > 0 и ∃l 6= k : δ l > δ k , T dl ⊇ T dk .

Если dl сонаправлена с dk , то по утверждению 2.12 dk лишняя. Если не сонаправлена,рассмотрим векторы dk ± εdl для некоторого ε > 0. Они также ортогональнывсем векторам из T dk . Возьмём ei ∈/ T dk . Так как δ k > 0, то dk ei > 0,а тогда для достаточно малых значений ε и dk ± εdl ei > 0.

Рассмотримвектор ui ∈/ T dk , i = 1, s. Для него dk ui 6= 0, и ε можно выбрать стольмалым, что знак произведения dk ± εdl ui совпадает со знаком dk ui . Тогда k i d ± εdl ui < 0 ⊆ i dk ui < 0 ∪ i dk ui = 0, δ k + ν i 6 1 . Отсюда с52учётом утверждения 2.8λ dk ± εdl => minmini : dk ui <0mini : (dk ±εdl )ui <0i1−ν ;min1 − νi >i : dk ui =0,δ k 61−ν i1−νi> > min λ dk ; δ k > δ k .klkld+εd+d−εdС учётом того, что dk =, по утверждению 2.12 заклю2чаем, что dk лишняя.Таким образом, алгоритм построения образующих нечёткого конуса, двойственного к нечёткой конической оболочке векторов e1 , . . .

, em , u1 , . . . , up состепенями принадлежности 1, . . . , 1, ν 1 , . . . , ν p выглядит следующим образом.Алгоритм 2. Работа алгоритма начинается с образующих неотрицательного ортанта: b1 = e1 , . . ., bm = em с единичными степенями принадлежностиβ 1 = · · · = β m = 1.На шаге s к исходному конусу добавляется образующая us со степеньюпринадлежности ν s . В соответствии с утверждениями 2.10 и 2.11 образую щие bi разбиваются на три группы: A = i us bi > 0 , B = j us bj < 0 , C = s kk u b = 0 .

Сначала добавляются новые образующие вида bij = us bi bj −us bj bi со степенями принадлежности min β i ; β j для ∀(i, j) ∈ A × B. Затем у всех образующих bj , j ∈ B степень принадлежности полагается равнойmin β j ; 1 − ν s . Если ν s = 1, то образующие этой группы просто удаляются. Построенные образующие переобозначаются за b1 , .

. . , bqs со степенямипринадлежности β 1 , . . . , β qs . В завершение шага для каждой образующей bk строится множество T bk = ei ei bk = 0 ∪ ui ui bk = 0, ν i + β k > 1, i 6 s .По утверждению 2.13 те образующие bk , для которых ∃l 6= k : β l > β k , T bl ⊇T bk , удаляются как несущественные.В результате работы алгоритма получаются векторы b1 , . . . , bqp со степенями принадлежности β 1 , . .

. , β qp , нечёткая коническая оболочка которыхдвойственна к нечёткой конической оболочке векторов e1 , . . . , em , u1 , . . . , upсо степенями принадлежности 1, . . . , 1, ν 1 , . . . , ν p .532.5Задача сужения множества ПаретоПусть X — множество возможных вариантов, т. е. объектов произвольной природы, из которых лицу, принимающему решение (ЛПР), необходимо выбрать один или несколько. Каждый вариант оценивается по нескольким числовым критериям f1 , .

Характеристики

Список файлов диссертации