Диссертация (1149249), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Подобного рода ситуациятипична для многокритериальной оптимизации. Поэтому имеет смысл формализовать данную проблему в виде некоторой задачи многокритериального72выбора. Перейдём к этой формализации.Во многих экономических задачах связь между выпуском продукции и затраченными ресурсами моделируется степенными производственными функциями вида z = axα1 1 xα2 2 · · · xαnn [19]. Здесь z — объём произведённой продукции, x1 , . . . , xn — объёмы затраченных ресурсов, а a, α1 , . .

. , αn — некоторыеположительные параметры.Так же, как и в работе [13], ограничимся двумя видами ресурсов: трудовыми и основными производственными фондами. Таким образом, объёмвыпускаемой продукции z связан с затратами на трудовые ресурсы x1 и капиталом x2 формулой z = axα1 1 xα2 2 для некоторых положительных параметровa, α1 , α2 : α1 + α2 < 1.Поставим следующую многокритериальную задачу. Множеством возможных вариантов будем считать все пары (x1 , x2 ), для которых x1 > 0 и x2 > 0.В качестве критериев возьмём стоимости трудовых ресурсов, основных производственных фондов и выпущенной продукции.

Первые две величины необходимо минимизировать, поэтому для согласованности с постановкой общейзадачи принятия решения, где критерии максимизируются, возьмём их с обратным знаком. Таким образом, критерии задаются формулами f1 = −p1 x1 ,f2 = −p2 x2 , f3 = p3 z, где p1 , p2 , p3 задают цены соответствующих ресурсов ипродукции.Множество возможных векторов Y является поверхностью, описываемойα13(−y2 )α2 при ограничениях y1 < 0, y2 < 0.уравнением y3 = pαap1 α2 (−y1 )1 p2Нетрудно убедиться, что эта поверхность вогнутая, следовательно, множество Парето совпадает со всем множеством возможных векторов Y.4.2Сужение множества ПаретоДля сужения множества Парето необходимо провести опрос ЛПР с цельювыявления дополнительной информации о его предпочтениях.

Предположимк примеру, что ЛПР готово ради увеличения дохода от реализации продукции нанять дополнительных сотрудников, т. е. повысить затраты на трудовыересурсы на u единиц ради повышения дохода на 1 единицу. Пусть аналогичноприемлемо повышение затрат на основные производственные фонды на v единиц ради повышения дохода на 1. Наконец, предположим, что ЛПР может73пойти на сокращение дохода на 1 при условии одновременного уменьшениязатрат на трудовые ресурсы на w1 и на производственные фонды на w2 .

Такимобразом, рассмотрим три «кванта» информации, представляемые векторамиq 1 = (−u; 0; 1)T , q 2 = (0; −v; 1)T , q 3 = (w1 ; w2 ; −1)T .Отметим, что такого рода информация не подходит под теорему, полученную в работе [13], равно как и под другие ранее полученные результатыв области учёта «квантов» информации (напр., [15, 28, 29]).Применим алгоритм сужения множества Парето. Первый «квант» информации учитывается с помощью матрицы преобразования0 1 0T1 = 0 0 1  .1 0 uПреобразованные «кванты» информации, которые предстоит учесть, сутьT1 q 2 = (−v; 1; u)T и T1 q 3 = (w2 ; −1; w1 − u)T .Матрица преобразования, порождённая вторым «квантом», имеет вид00T2 = 1u10v001,0vчто даёт01T2 T1 = 0v001u1uvuvи оставшийся «квант» T2 T1 q 3 = (−1; w1 − u; w2 − v; vw1 + uw2 − uv)T .Здесь стоит отметить, что при u > w1 , v > w2 , vw1 < u(v − w2 ) все компоненты последнего «кванта» отрицательны, что говорит о противоречивостиполученной информации.Дальнейшие выкладки существенно зависят от знаков компонент остав-74шегося «кванта».

Рассмотрим случай u > w1 , v > w2 , vw1 > u(v − w2 ). Тогда0001vw1 + uw2 − uv001,T3 = 0vw1 + uw2 − uv0u − w1 00vw1 + uw2 − uv v − w2и итоговое преобразование имеет видvuuvvuvw+uw12.T3 T2 T1 =  uw2u(u − w1 )u w2 22v(v − w2 )vw1v w1На этом примере видно, как позволяет сократить размерность итоговоговекторного критерия утверждение 1.7.

В соответствии с ним строятся четыремножества Ti , содержащие «кванты» и орты пространства R3 , ортогональные i-ой строке матрицы T3 T2 T1 : T1 = q 1 ; q 2 , T2 = q 3 , T3 = q 1 ; q 3 , T4 = 2 3q ; q . Видно, что T2 ⊂ T3 , поэтому вторая строка лишняя. В самом деле,она является суммой третьей и четвёртой строк с коэффициентами u1 и v1 .Таким образом, сокращённая матрица преобразования равнаvuuvQ =  uw2u(u − w1 ) u2 w2  .v(v − w2 )vw1v 2 w1В явном виде новые критерии g = Qf даются формуламиg1 = −vp1 x1 − up2 x2 + uvp3 z,g2 = u(−w2 p1 x1 − (u − w1 )p2 x2 + uw2 p3 z),g3 = v(−(v − w2 )p1 x1 − w1 p2 x2 + vw1 p3 z).Для описания суженного множества Парето воспользуемся леммой Карлина (см.

[34]). Она применима в силу вогнутости векторного критерия gпри условии α1 + α2 < 1. В соответствии с ней все точки множества Парето относительно нового векторного критерия являются точками максимума75линейной свёртки ϕ = λ1 g1 + λ2 g2 + λ3 g3 с некоторыми неотрицательны3Pми параметрами λi > 0, i = 1, 3,λi = 1; обратно, все точки максимумаi=1свёртки с положительными λi > 0, i = 1, 3 являются парето-оптимальными.Поэтому множество Парето можно построить, решив задачу максимизациифункции ϕ.Таким образом, имеем ϕ = −b1 x1 − b2 x2 + b3 xα1 1 xα2 2 , где коэффициентыb1 = p1 (λ1 v + λ2 uw2 + λ3 (v − w2 )v),b2 = p2 (λ1 u + λ2 (u − w1 )u + λ3 vw1 ),b3 = p3 λ1 uv + λ2 u2 w2 + λ3 v 2 w1зависят от λi . Нетрудно получить точку максимума функции ϕ:x1 =α11−α2 α2α2 b3b11−α2 bα2 2 1−(α11+α2 ), x2 =α1α1 α21−α2 b32bα1 1 b1−α2 1−(α11+α2 ).При изменении параметров λi в указанных пределах точка с координатами (x1 ; x2 ) пробегает всё множество собственно эффективных точек, котороев данном случае «слабо» отличается от множества Парето, поскольку первоемножество является плотным во втором [34].76ЗаключениеРассматривается задача многокритериального выбора, включающая множество возможных вариантов, числовой векторный критерий и не вполнеизвестное бинарное отношение предпочтения ЛПР.

Развивается аксиоматический подход к сужению множества Парето, предложенный В. Д. Ногиным [27]. Согласно принципу Эджворта — Парето выбираемые вариантыдолжны лежать во множестве Парето. Сам подход заключается в построении оценки сверху на множество выбираемых решений более точной, чем всёмножество Парето, за счёт учёта дополнительной информации об отношениипредпочтения ЛПР. В качестве такой информации используется произвольный конечный набор «квантов», описывающих готовность ЛПР к определённого рода компромиссу.В первой главе изложен последовательный подход к учёту произвольногоконечного числа «квантов» информации.

Основным результатом этой главыявляется алгоритм построения нового векторного критерия, множество Парето относительно которого будет оценкой сверху на множество выбираемыхрешений. В первоначальном виде он приводит к появлению лишних критериев, поэтому далее рассмотрена связь между учётом «квантов» и задачейпостроения двойственного конуса, с помощью которой удаётся получить необходимое и достаточное условие того, что критерий не лишний.Вторая глава посвящена обобщению результатов первой главы на случай нечёткой информации об отношении предпочтения.

Рассмотрена задача нахождения образующих нечёткого двойственного конуса в частном случае, когда среди образующих исходного конуса есть все орты пространства.Центральный результат — алгоритм построения образующих нечёткого двойственного конуса, который затем применяется для построения оценки сверхуна множество выбираемых решений в задаче учёта «квантов» нечёткой ин-77формации. По ходу работы алгоритм проверяет и непротиворечивость предоставленных ЛПР сведений.В третьей главе описана программная реализация последнего алгоритма.

В программе можно выделить ядро, отвечающее за решение задачи многокритериального выбора, и графическую оболочку, назначение которой —предоставление пользователю удобного доступа к ядру.Четвёртая глава содержит пример расчёта сужения множества Парето наоснове учёта трёх «квантов» информации, к которым неприменима ни однаиз известных теорем. Показано, как производится пересчёт критериев, получено необходимое и достаточное условие непротиворечивости этого набора«квантов».Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:1. Алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации очётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программнаяреализация;2.

Оценка сверху для множества выбираемых вариантов, построенная наоснове конечного набора «квантов» нечёткой информации (утверждение 2.15);3. Критерий противоречивости «квантов» информации о нечётком отношении предпочтения ЛПР (утверждение 2.16);4. Алгоритм последовательного учёта набора «квантов» информации онечётком отношении предпочтения ЛПР, его обоснование и программная реализация.Тематика диссертации соответствует пунктам 4 и 5 паспорта специальности 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (поприкладной математике и процессам управления).78Литература1. Айзерман М.

Характеристики

Список файлов диссертации