Диссертация (1149229), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В случае наличия запаздывания в управлении или измерениях такое сокращениене возможно, поскольку регулятору не доступно текущее значение выхода системы.Как отмечалось выше, если 1 () ̸≡ 0 или 2 () ̸≡ 0 сокращение двух последних слагаемых в(4.7) не возможно, поскольку и зависят от разных аргументов. Заметим, что правая часть (4.7)является квадратичной формой относительно (), ( − ()) и ( − ()) ( = 1, 2), матрицакоторой зависит от следующих параметров: = * − (), = * − ( − 1 ()),(4.9) = () − ( − 1 ()).Рассмотрим функционал Ляпунова-Красовского: ( , ˙ , ) = 0 ( , ) + ( ) + (˙ ),(4.10)где () = ( + ), ∈ [−ℎ, 0], ℎ = ℎ1 + ℎ2 и∫︁ 0 ( ) = () () , > 0,−ℎ∫︁ 0 ∫︁ 0 (˙ ) = ℎ˙ ()˙ () , > 0.−ℎФункционалы и являются стандартными для систем с быстро меняющимся запаздыванием[39, 48]. Далее будут выведены условия, гарантирующие ˙ 6 −‖()‖2 для некоторого > 0при|| 6 , || 6 , || 6 1 ,(4.11)где и 1 некоторые фиксированные границы.
Затем будет показано, что (4.11) выполненыдля подходящих значений (0) и .44Теорема 4.1. Пусть выполнены Предположения 4.1, 4.2 и для заданных значений > 0, 1 > 0,* > 0 существуют × матрицы > 0, > 0, > 0, 1 , 2 , 3 такие, что:⃒⃒ (, , )⃒⃒< 0, = 1, . . . , ,±⎛,± ,±⎞1⎠ > 0 ( = 1, 2, 3), = , ⎝* где⎛⎜ 1⎜⎜⎜⎜⎜ (, , ) = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝2 ()*−********034 ()⎞ℎ ⎟⎟5 () −ℎ1 7 () ⎟⎟⎟−( + ) ℎ2ℎ10 ⎟⎟,⎟2*−ℎ 6 ()0 ⎟⎟⎟2**−ℎ 0 ⎟⎠***−1 = [ − * ] + [ − * ] + ,2 () = ,3 = * ℎ ,4 () = * ℎ − ℎ ,5 () = ℎ − ℎ2 ,6 () = ℎ2 − ℎ2 (3 ) ,7 () = ℎ − ℎ* ,ℎ = ℎ1 + ℎ2 .Предположим, чтоℎ1 61 min ( ).2 ‖ ‖2Тогда для любого > 0 существует число > 0 такое, что для всех начальных условий‖0 ‖ < ,(0) ∈ [* − , * ]решения систем (4.1), (4.4) удовлетворяют свойству (4.5).Доказательство.
Будем рассматривать динамику системы (4.6) отдельно на двух промежуткахвремени (I) ∈ [0, * ) и (II) ∈ [* , ∞).(I): ∈ [0, * ). Из Предположения 4.1 следует − () < 0, поэтому ()˙= (), а значит‖()‖ 6 Λ ‖0 ‖,45(4.12)где Λ = max ‖ ‖. Заметим, что‖ ‖ 6∑︁ ‖ ‖ 6 max ‖ ‖и для подходящего , ‖ ‖ = max ‖ ‖. Следовательно,max ‖ ‖ = max ‖ ‖.Неравенство (4.12) сохраняется при < 0, поэтому ‖( − 2 ())‖ 6 Λ (−2 ()) ‖0 ‖ 6 Λ ‖0 ‖.В итоге имеем() − (0) = −2∫︁0(︀)︀21 ‖0 ‖2 ( − 2 ()) 6,2где1 =)︀Λ2 (︀ 2Λ *−1 ,2Λ(4.13)с Λ = ‖ ‖.
По условию теоремы (0) 6 * , поэтому () − * 6 () − (0) 6 1 −2 ‖0 ‖2 .Из (4.6) следует () > (0), а значит * − () 6 * − (0). Таким образом, для ∈ [0, * ) имеем{︀}︀|() − * | 6 = max * − (0), 1 −2 2 ,(4.14)где было использовано неравенство ‖(0)‖ 6 . Функции () и () непрерывны по > 0,следовательно, (4.12) и (4.14) верны для = * .˙(II): ∈ [* , ∞). Из Предположения 4.1 следует − () > 0, следовательно, ()˙и ()независят от () с < 0. Поэтому можно положить () = 0 для < 0 и рассмотреть функционал заданный в (4.10).Вычислим производную вдоль траекторий (4.6) при ∈ [* , ∞). Обозначим∫︁∫︁1 −2 ()1 () =()˙, () =()˙.ℎ −()ℎ −2 ()Тогда˙ 0 = ()[ * + * ]() + 2() * ℎ(() + ())(︀)︀+ 2 * − () ( − 2 ()) ( − 2 ()) − 2(* − ()) ( − 2 ()) ℎ()(︀)︀+ 2(* − ())ℎ () ( − ()) + 2 () − ( − 1 ()) () ( − ())(︀)︀(︀)︀2+ 2 () − * ( − 2 ()) ,где * = − * .
Используя соотношение = , находим˙ 0 = ()[ * + * ]() + 2 ()* ℎ (() + ())− 2(* − ())ℎ ( − 2 ()) () + 2(* − ())ℎ () ( − ())(︀)︀+ 2 () − ( − 1 ()) () ( − ()).46Далее˙ = ()() − ( − ℎ)( − ℎ),∫︁ 2˙ = ℎ ˙ ()()˙ −ℎ˙ ()()˙.−ℎОбозначим() − 2 ()2 ()ℎ − (), 2 =, 3 =,ℎℎℎ∫︁ −()∫︁ −()1 () =˙ () ()˙, 2 () = ℎ2 ()(), 3 () = ℎ2 ()().1 =−ℎ−ℎИз неравенства Йенсена [51, стр. 322] и Теоремы Парка [71, Теорема 1] следует, что]︂[︂∫︁ 1111 () + 2 () + 3 ()−ℎ˙ ()()˙ 6 −12306 − [1 () + 2 () + 3 () + 21 () + 22 () + 23 ()] ,где∫︁−()˙ () 1 (),1 () = ℎ−ℎ−()∫︁2 () = ℎ˙ () 2 (),−ℎ3 () = ℎ2 ()3 ().Используя представление ( − 2 ()) = () − ℎ(), получаем˙ 6 () () + ℎ2 ˙ ()(),˙(4.15)где() = ( (), ( − ()), ( − ℎ) , (), ()) ,⎞⎛ 2 ()034 ()⎜ 1⎟⎜⎟⎜*−5 () −ℎ1 ⎟⎜⎟⎜⎟ =⎜**−( + ) ℎ2ℎ1 ⎟ ,⎜⎟⎜⎟2⎜***−ℎ 6 ()⎟⎝⎠2****−ℎ с = * − (), = () − ( − 1 ()), 1 = [ − * ] + [ − * ] + .
Подставляяправую часть (4.6) вместо ()˙в (4.15) и используя теорему о дополнении Шура [51, стр. 318],находим, что если для = 1, . . . , (︀)︀ , , < 0,(4.16)с , , заданными в (4.9), то ∃ > 0 : ˙ () 6 −‖()‖2 , где () = ( , ˙ , ()).Теперь покажем, что || 6 , || 6 и || 6 1 , что будет означать отрицательнуюопределённость ˙ .
Используя оценки для |* − ()| и ‖()‖ при ∈ [0, * ], получаем (* ) 6 ‖0 ‖2 + 2 2 ,47где из (4.14) и)︂(︂)︀1 (︀ 2Λ *−1 = ‖ ‖+ ‖‖ ℎ − * +2Λ)︀(︀ 2Λ *)︀]︁ℎΛ [︁ 2Λ *1 (︀2Λ *+ (ℎ − * ) −1 ,+* +1−2Λ2Λ2Λ *(4.17)Λ = max ‖ ‖.По условию теоремы |* − (0)| < . Выбирая достаточно большим, получим‖0 ‖2 < 2 .1Следовательно, < . Взяв достаточно большим, получим‖0 ‖2 < 2 (2 − 2 )−1 ,что будет гарантировать выполнение соотношения (* ) < 2 2 .Теперь покажем, что () < 2 2 при ∈ [* , ∞).
Пусть 1 = min{ ∈ [* , ∞)| () = 2 2 }.Тогда при ∈ [* , 1 ] имеем () 6 2 2 ⇒⎧⎨ |* − ()| 6 ,(4.18)⎩ ‖()‖2 6 2 2 −1 ( ). minПоскольку < , (4.14) влечёт |* − ()| 6 при 6 1 . Возьмём достаточно большим,чтобы выполнялось‖0 ‖2 6 2 2 −2Λ * −1min ( ).В этом случае (4.12) и (4.18) гарантируют, что ‖()‖2 6 2 2 −1min ( ) при 6 1 . Следовательно,при 6 1∫︁|( − 1 ()) − ()| 6 −2 ( ( − 1 ()))2 6 ℎ1−1 ()2 Λ2.min ( )В итоге для 6 1 имеем|* − ()| 6 ,|* − ( − 1 ())| 6 ,|( − 1 ()) − ()| 6 1 .В этом случае условия теоремы обеспечивают выполнение (4.16) для 6 1 . Следовательно,∫︀ ∃ > 0 : ˙ () 6 −‖()‖2 . Поскольку (1 ) = (* ) + *1 ˙ () , имеем (1 ) 6 (* ) < 2 2 .48Последнее противоречит тому, что (1 ) = 2 2 , т.
е. 1 не существует и, следовательно, () < 2 2 при ∈ [* , ∞).Итак, было доказано, что ∃ > 0 : ˙ () 6 −‖()‖2 при > * . Поскольку () являетсянеотрицательной убывающей функцией, существует конечный предел: lim→∞ () < ∞. Поэтому∫︁∞lim () = (* ) +→∞Следовательно, ∫︀ ∞*˙ () 6 (* ) − ∫︁*∞‖()‖2 .*‖()‖2 < ∞.
Из леммы Барбалата [56, Лемма 8.2] следует‖()‖ −−−→ 0 ⇒ ‖()‖ −−−→ 0.→∞Более того, неравенство ∫︀ ∞*→∞‖()‖2 < ∞ влечёт существование конечного пределаlim () = (* ) + −2→∞∫︁∞(︀ )︀2 ( − 2 ()) ,*т. е. () стремится к постоянному значению.Замечание 4.2. Результаты Теоремы 4.1 являются полуглобальными, т. е. для любого > 0и любого 0 , такого что ‖0 ‖ < , можно подобрать , при котором выполнено (4.5). Издоказательства Теоремы 4.1 видно, что подходящим значением для является любое число, длякоторого выполнено соотношение22{︂ 6 min2 −2Λ * 2 − 2,,min ( ) 1}︂,(4.19)где Λ = max ‖ ‖ и 1 , , определены в (4.13), (4.14), (4.17), соответственно.
Если * в(4.19) не известно, то следует брать известную верхнюю границу для * (например, ℎ).Замечание 4.3. Чем меньше значение ℎ, тем больше значение , для которого разрешимынеравенства из Теоремы 4.1. Это означает, что меньшее запаздывание приводит к большейдопустимой области начальных значений при фиксированном .4.3Адаптивное управление через сетьВ данном разделе полученные ранее результаты будут использованы для адаптивного управлениясистемами через сеть. Рассмотрим неопределённую систему()˙= () + (),() = ()49(4.20)Рисунок 4.1: Система, управляемая через сетьс несколькими узлами (измерительные приборы, регулятор и приводы), которые соединены черездва канала связи: от измерительных приборов к регулятору и от регулятора к приводам.
Пусть моменты передачи сигнала:0 = 0 < 1 < . . . < < . . . , ∈ N,lim = ∞.→∞В каждый момент времени измерения () дискретизуются и передаются через сеть к экстраполятору нулевого порядка (ЭНП) с переменным запаздыванием . Следовательно, времяобновления данных регулятора равно = + . Для простоты предположим, что < +1 ,т. е. старые измерения не могут поступить позже новых. Тогда регулятор имеет вид() = −() ( − ), ∈ [ , +1 ).(︀)︀˙() = −2 ( − ) 2 ,(4.21)В моменты времени сигнал регулятора дискретизуется и передаётся к ЭНП с переменнымзапаздыванием . Следовательно, время обновления данных ЭНП равно = + + .Будет предполагать, что < +1 и существует известная величина MAD (maximum allowabledelay) такая, что + 6 MAD.Итоговая замкнутая система имеет вид()˙= () + ( − 1 ()) ( − ()),(︀)︀2˙()= −2 ( − 2 ()) ,(4.22)где1 () = − + , ∈ [ , +1 ),2 () = − + , ∈ [ , +1 ),() = − + + , ∈ [ , +1 ).Здесь () = 1 () + 2 ( − 1 ()).
Замети, что () удовлетворяет Предположению 4.1 с* = 0 = 0 + 0 6 MAD.50(4.23)Пусть+1 − + 6 ℎ1 ,+1 − ++∀ ∈ Z+ .(4.24)6 ℎ,Поскольку (4.22) совпадает с (4.6), результаты Теоремы 4.1 дают допустимые границы напериод дискретизации и величины запаздывания сетей.4.4Пример: управление углом рыскания самолётаВ качестве примера применим полученные результаты к следующей модели поперечного движения летательного аппарата [45]:˙ 1 () = 1 1 () + 2 () + 1 ( − 1 ()),˙ 2 () = 2 1 () + 3 2 () + 2 ( − 1 ()),˙ 3 () = 2 (),1 () = 2 ( − 2 ()),2 () = 3 ( − 2 ()),где 3 и 2 – угол рыскания и скорость его изменения, соответственно, 1 – угол боковогоскольжения; – угол поворота руля; – измеряемый выход; и – параметры системы.Предположим, что самолёт управляется через сеть, т.
е. 1 (), 2 () имеют вид (4.23). ТогдаПредположение 4.1 выполнено с * 6 MAD. Следуя [45], возьмём 3 = 1.3, 1 = 19/15, 2 = 19 ипредположим, что 1 ∈ [0.1, 1.5], 2 ∈ [27, 52] являются неопределёнными параметрами системы.Тогда для = (1, 1) передаточная функция () =2 2 + (1 2 − 2 1 + 2 ) + 1 2 − 2 1(2 − (1 + 3 ) + 1 3 − 2 )является гипер-минимально-фазовой, поскольку для всех 1 , 2 из указанного множества числитель является устойчивым многочленом с положительным старшим коэффициентом 2 > 0.Следовательно, выполнено Предположение 4.2. Для = 5, 1 = 0.4, * = 4.61 выполненыусловия Теоремы 4.1 с ℎ1 = 4 × 10−4 , ℎ = 10−3 , = 25, = 20.На Рис. 4.2, 4.3 приведены результаты численного моделирования для 1 = 0.75, 2 = 33 ипяти различных случайно выбранных начальных условий ‖(0)‖ 6 = 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
