Диссертация (1149229), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для заданного вектора ∈ R система (1.9) называется строго пассивной,если существуют неотрицательная функция () и положительная для ̸= 0 функция ()такие, что∫︁ (()) 6 ((0)) +(︀)︀() () − (()) (1.11)0для любого решения () системы (1.9).Замечание 1.1. Пассивные системы являются частным случаем диссипативных систем [99,100].Неравенства (1.10), (1.11) имеют простую физическую интерпретацию: «функция запаса ()является аналогом полной энергии для систем общего вида, произведение входных и выходныхвеличин выражает измеренную мощность, поступившую в систему, а функция () оцениваетснизу скорость рассеяния энергии в системе» [10, стр.
57]. Таким образом, неравенства (1.10),(1.11) означают, что в системе отсутствуют внутренние источники энергии. Наличие функции() в (1.11) означает, что часть энергии рассеивается (ввиду наличия в системе трения, например).Определение 1.4. Для заданного вектора ∈ R система (1.9) называется строго пассифицируемой, если существует вектор * ∈ R такой, что подстановка = −* + делает систему(1.9) строго пассивной по отношению к новому входу ∈ R.Свойство строгой пассифицируемости оказывается весьма полезным для построения и исследования адаптивных регуляторов. Для того, чтобы сформулировать простой критерий строгойпассифицируемости системы, введём следующее определение.Определение 1.5. Передаточная функция () = ( − )−1 называется гиперминимально-фазовой, если её числитель det( − ) () является устойчивым многочленомс положительным старшим коэффициентом > 0.12Лемма 1.1 (о пассификации).
Пусть ̸= 0 и задан некоторый вектор ∈ R . Тогда длясуществования матрицы ∈ R× и вектора * ∈ R таких, что > 0, * + * < 0, = ,(1.12)где * = − * , необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция () = ( − )−1 была гипер-минимально-фазовой.Доказательство леммы о пассификации впервые было опубликовано в [7, Теорема 1].Замечание 1.2. Если ̸= 0 и () является гипер-минимально-фазовой, то подходящимзначением вектора * , удовлетворяющим (1.12), является * = * с достаточно большимкоэффициентом * :}︀{︀* > − inf Re ( ())−1 .∈R(1.13)Доказательство этого факта можно найти в [1].В [100] было доказано, что для строгой пассивности системы (1.9) необходимо и достаточно существование квадратичной функции () = , удовлетворяющей неравенству строгойпассивности (1.11).
Соотношения (1.12) равносильны тому, что функция () = удовлетворяет неравенству строгой пассивности для системы()˙= ( − * )() + (),() = ().Таким образом, из леммы о пассификации следует, что если ̸= 0, то строгая пассифицируемость системы (1.9) равносильна тому, что () является гипер-минимально-фазовой.1.3Метод скоростного градиентаВ данном разделе описывается общая схема метода скоростного градиента, который используется для построения адаптивных регуляторов.
Одно из первых описаний метода скоростногоградиента было опубликовано в [8]. Более современное описание можно найти в [10, стр. 35].Рассмотрим нелинейную систему общего вида:˙ = (, , )(1.14)с вектором состояния ∈ R и вектором входных переменных ∈ R . Вектор-функция : [0, ∞) × R × R → R предполагается кусочно-непрерывной по и непрерывно дифференцируемой по , . Предположим, что целью управления является стремление к нулю некоторой13гладкой неотрицательной целевой функции на траекториях системы (1.14):lim (, ()) = 0.→∞Метод скоростного градиента заключается в следующем. Сначала вычисляется скорость изменения целевой функции на траекториях системы:(, , ) =)︀(, ) (︀+ ∇ (, ) (, , ).Затем вычисляется градиент функции (, , ) по входным переменным:(︂ )︂.∇ (, , ) =В результате алгоритм управления имеет вид:˙ = −Γ∇ (, , ),(1.15)где Γ > 0 – произвольная положительно определённая матрица.
Алгоритм (1.15) естественно называть алгоритмом скоростного градиента, поскольку в нём изменение () происходитпропорционально градиенту скорости изменения целевой функции.Описание некоторых свойств алгоритма скоростного градиента можно найти в [9].1.4Вспомогательные неравенстваВ данном разделе приводятся несколько ключевых неравенств, которые будут использованыпозже.Утверждение 1.1. ∀ ∈ R× , > 0, ∀, ∈ R2 6 + −1 .Доказательство.(︁12− 12 −)︁ (︁ 1)︁− 122 − >0⇒ − 2 + −1 > 0.Утверждение 1.2 (Неравенство Йенсена).
Пусть ∈ R× , > 0, ℎ ∈ R, ℎ > 0 и для векторфункции : [0, ℎ] → R корректно определены необходимые интегральные члены. Тогда∫︁ℎℎ(︂∫︁ ()() >0)︂ℎ() 0(︂∫︁)︂() .014ℎДоказательство. Через дополнение Шура [51, Следствие B.2] легко показать, что для ∈ [0, ℎ]⎛⎞ ()() ()⎝⎠ > 0.−1()Интегрируя последнее неравенство от 0 до ℎ, получаем⎞⎛∫︀∫︀ ℎ ℎ ()()()0⎠ > 0.⎝ 0 ∫︀ℎ−1() ℎ0Вновь используя дополнение Шура, получаем желаемое неравенство.Утверждение 1.3 (Неравенство Парка). Пусть 1 , 2 , .
. . , : R → R положительны в некоторой области ⊂ R . Тогда на выполнено соотношение∑︁ 1∑︁∑︁ () = () + max (), () =1}̸=min∑︀{ | >0,где из множества⎧⎨⃒⎫⎛⎞⃒⎬⃒ () ()⎠>0 . : R → R ⃒⃒ () = (), ⎝⎩⎭⃒ () ()Доказательство можно найти в [71, Теорема 1].15Глава 2Децентрализованное адаптивноеуправление взаимосвязанными системамис запаздыванием2.1Постановка задачиРассмотрим сеть, динамика которой описывается уравнением:)︀ ∑︁(︀)︀ ∑︁(︀)︀˙ () = () + 0 , () + , () + , ( − ()) + (),(︀=1 () = (), > 0 ,=1(2.1) = 1, .
. . , ,где ∈ R – состояния, ∈ R – входы, ∈ R – измеряемые выходы подсистем; неизвестныематрицы , , параметризованы через ∈ Ξ, где Ξ – известное множество; запаздывание() является дифференцируемой функцией такой, что для некоторых ℎ > 0 и ∈ [0, 1)−ℎ 6 − () 6 ,()˙ 6 < 1.Функции и , описывающие связи узлов, являются кусочно-непрерывными по первому аргументу и удовлетворяют глобальному условию Липшица по второму аргументу: ∃ , : ∀ >0 , ∀, ∈ R‖ (, ) − (, )‖ 6 ‖ − ‖,(2.2)‖ (, ) − (, )‖ 6 ‖ − ‖.Поскольку и кусочно-непрерывны по , топология сети может иметь переключающийсяхарактер. Ввиду присутствия функций (, ( − ())), локальная динамика подсистем допускает наличие запаздывания.16Начальные условия для системы (2.1) зададим непрерывными функциями 0 (·) ∈ [−ℎ, 0]: () = 0 (),∀ ∈ [−ℎ, 0], = 1, .
. . , .(2.3)Выведем условие существования синхронного решения ¯() у системы (2.1). Пусть в отсутствие управления состояния подсистем совпадают, т. е. 1 () = . . . = () = ¯() и1 () = . . . = () = 0 для всех > 0 . Подставив эти значения в (2.1) получим, что должнысуществовать функции Φ(, ) и Ψ(, ) такие, что ∀ > 0 , = 1, . . . , ∑︁ (, ¯()) = Φ(, ¯()),=1∑︁(2.4) (, ¯()) = Ψ(, ¯()).=1Замечание 2.1. Если запаздывающий член в (2.1) имеет вид∑︀=1(︀)︀ , ( − ()) , то для су-ществования синхронного решения ¯() с ≡ 0 необходимо предполагать, что ∀, = 1, . . . , ∑︁ (, ¯( − ())) ==1∑︁ (, ¯( − ())).=1Данное предположение может оказаться слишком формальным, поскольку его выполнение зависит от конкретного решения ¯() в различные моменты времени.
Поэтому в работе рассматривается случай одинаковых запаздываний: () = ().В данной главе предполагается, что регулятор -той подсистемы измеряет выход только той подсистемы и ничего не знает о выходах других узлов. При этом каждому регулятору сетиизвестен некоторый “синхронизирующий” сигнал – выход системы-лидера, которая описываетсяуравнением˙ () = () + 0 (, ()) + Φ(, ()) + Ψ (, ( − ())) + (),(2.5) () = (),где – известный управляющий сигнал. Начальные условия для этой системы заданы функцией0 (·) ∈ [−ℎ, 0]: () = 0 (),∀ ∈ [−ℎ, 0].(2.6)Отметим, что физически система (2.5) может не существовать, необходимо лишь знать некоторый “синхронизирующий” сигнал (), который удовлетворяет уравнению (2.5) для некоторыхначальных условий (2.6).Задача заключается в построении закона обратной связи, обеспечивающего на всех траекториях системы (2.1), (2.3), (2.5), (2.6) выполнение соотношенийlim ‖ () − ()‖ = 0,→∞17 = 1, .
. . , .(2.7)Замечание 2.2. Здесь под синхронизацией понимается выполнение (2.7), хотя существует множество других определений слова “синхронизация” (см., например, [10]).Система (2.1) управляется не полностью: -мерные подсистемы управляются скалярнымисигналами . Поэтому цель управления (2.7), вообще говоря, не всегда может быть достигнута.Здесь рассматривается случай, когда линейные части подсистем являются гипер-минимальнофазовыми, а именно накладывается предположение:Предположение 2.1.
Существует вектор ∈ R такой, что ∀ ∈ Ξ функция ( − )−1 является гипер-минимально-фазовой.В разделе 2.5 показано как можно подобрать подходящий для неопределённой матрицы ,лежащей в некотором известном политопе.2.2Построение адаптивного регулятораВычитая (2.5) из (2.1), получаем уравнение для отклонений () = () − () :[︀ (︀)︀(︀)︀]︀ ∑︁[︀ (︀)︀(︀)︀]︀˙ () = () + 0 , () − 0 , () + , () − , () +=1∑︁[︀ (︀)︀(︀)︀]︀[︀]︀ , ( − ()) − , ( − ()) + () − () ,(2.8)=1[︀]︀ () − () = () − () , > 0 , = 1, .
. . , .Цель управления (2.7) сводится к стабилизации (2.8) с помощью управления () − (). Длястабилизации (2.8) будем использовать пропорциональный регулятор по выходу[︀]︀ () − () = − () − () .(2.9)Для нахождения подходящих значений векторов ∈ R на основе методом скоростного градиента построим адаптивный алгоритм подстройки. В условиях Предположения 2.1 для всякого ∈ ΞЛемма 1.1 гарантирует существование матрицы , удовлетворяющей (1.12). По этой матрицепостроим целевую функцию ( ) = 12 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
