Диссертация (1149229), страница 8
Текст из файла (страница 8)
При моделированиибыл взят равномерный период дискретизации +1 − = 2 × 10−4 и постоянные величинызапаздывания = 2 × 10−4 , = 6 × 10−4 с MAD = 8 × 10−4 . Как следует из Теоремы 4.1,() → 0 и () стремятся к постоянным значениям.51Рисунок 4.2: Нормы состояний для 5 различных случайно выбранных начальных условийЛегко доказать, что статический регулятор () = −* () стабилизирует весь класс неопределённых систем. Преимуществом адаптивного подходя является то, что предельное значение() меньше, чем * = 4.61 (Рис. 4.3).Рисунок 4.3: Адаптивно подстраиваемые коэффициенты () для 5 различных случайновыбранных начальных условий (сплошная линия); значение * = 4.61 (пунктирная линия).52Глава 5Адаптивная синхронизация сетиосцилляторов Ландау-Стюарта5.1Постановка задачиРассмотрим сеть, состоящую из осцилляторов, соединённых связями с запаздыванием:˙ () = ( ()) + ∑︁ [ ( − ) − ()], = 1, .
. . , ,(5.1)=1где = ∈ C – состояния осцилляторов, – постоянное запаздывание. Матрица связей = { },=1 описывает топологию сети. Локальная динамика каждой подсистемы определяется нормальной формой бифуркации Андронова-Хопфа с мягкой потерей устойчивости, такжеизвестной как осциллятор Ландау-Стюарта: ( ) = [ + − (1 + )| |2 ](5.2)с вещественными константами , ̸= 0 и . Параметры и обозначают, соответственно,амплитуду и фазу комплексной силы связей.
Сетевые системы такого вида широко известныи используются в различных областях нелинейной динамики, например, для описания нейронов [33].Уравнения (5.1), (5.2) имеют синхронные решения с общей амплитудой ≡ 0, и фазами = Ω + ∆ , где Ω – общая частота, ∆ = 2/ – сдвиг по фазе. Целое число определяет одно из возможных состояний:∙ Фазовая синхронизация, при которой состояния всех подсистемы совпадают, соответствует = 0.53∙ Кластерная синхронизация, при которой все подсистемы разбиваются на (1 < < )групп (кластеров) так, что состояния любых двух подсистем внутри одной группы совпадают. Количество кластеров равно наименьшему общему кратному и , поделённомуна .∙ Равномерно-фазовая синхронизация, при которой фазы всех соседних узлов отличаютсяна одну и ту же величину 2/ .
Ясно, что = (например, при = 1) соответствуетравномерно-фазовой синхронизации.В данной главе под устойчивостью будем понимать асимптотическую устойчивость по Ляпунову. Устойчивость синхронных колебаний в сетях может быть численно исследована с помощью общей функции устойчивости (Master Stability Function [72]). Этот подход позволяетизучать влияние топологии сети на устойчивость независимо от локальной динамики подсистем.Для сетей осцилляторов Ландау-Стюарта с помощью этого метода были вычислены показателиФлоке для различных кластерных состояний [35]. В частности, было показано, что если соединить осцилляторы Ландау-Стюарта в кольцо, то, выбирая подходящее значение параметра ,можно обеспечивать устойчивость фазовой, кластерной и равномерно-фазовой синхронизации.Для = 0 система имеет сразу несколько устойчивых состояний. Для = Ω − 2/ илюбых значений амплитуды связей и запаздывания единственным устойчивым состоянием становится состояние, соответствующее выбранному .
В данной главе с помощью методаскоростного градиента будет выведен алгоритм подстройки , обеспечивающий сходимость кподходящему значению.5.2Фазовая синхронизацияДля применения метода скоростного градиента необходимо определить целевую функцию , минимизация которой позволит сделать фазовое синхронное состояние устойчивым. Эта функциядолжна быть гладкой, равняться нулю когда наступает фазовая синхронизация и быть больше нуля в остальных состояниях.
Простейшая целевая функция, удовлетворяющая указаннымусловиям, имеет вид:1 ∑︁( − 1 )2 .1 ((), ) =2 =254(5.3)Вычисляя градиент от производной вдоль траекторий системы (5.1) с локальной динамикой (5.2),получаем адаптивный алгоритм:˙ = −Γ∑︁=2[︃( − 1 )∑︁=1(︂)︂,cos( + , − ) − cos (︂)︂]︃∑︁,−1cos( + , − 1 ) − cos , (5.4)1=1где , = ( − ) и , = ( − ). Заметим, что правая часть (5.4) неопределена при = 0.Согласно результатам моделирования, для малого числа осцилляторов значения амплитуд отделены от нуля. Только для колец с большим числом подсистем могут приближаться к нулю.В этом случае необходимо ввести параметр > 0 и если < , то в (5.4) вместо подставлять.Рисунок 5.1: Адаптивная стабилизация фазовых синхронных колебаний с помощью целевойфункции (5.3). (a): Изменение амплитуд = | | ( = 1, ..., 6); (b): разности фаз∆ = − +1 ( = 1, ..., 5); (c): изменение параметра , пунктирная линия – значение,полученное с помощью общей функции устойчивости для Ω0 = 0.92; (d): целевая функция.На Рис.
5.1 представлены результаты численного моделирования для сети Эрдеша-Реньи(Erdős-Rényi [40]) из шести узлов. Здесь и далее Γ = 1. Согласно результатам численногомоделирования уменьшение параметра Γ уменьшит скорость сходимости. С другой стороны,увеличение Γ может привести к возникновению нежелательных колебаний. Параметры модели55рования взяты из [35]: = 0.1, = 1, = 0, = 0.08, = 0.52, = 6.
Начальные данныедля и выбирались случайным образом из промежутков [0, 4] и [0, 2], соответственно. Начальное значение равно нулю. Как видно на Рис. 5.1(a), амплитуды узлов совпадают после 60секунд моделирования. На Рис. 5.1(b) видно, что разности между фазами состояний различныхузлов сходятся к нулю, что соответствует фазовой синхронизации. На Рис. 5.1(c) представленоизменение параметра . Пунктирная линия соответствует фазе связей = Ω0 = 0.48, для которой аналитически показано, что синхронное состояние устойчиво [35]. Как видно, адаптивноподстраиваемая фаза связей приближается к этому значению.
Это означает, что даже без знанияточного значения параметров системы алгоритм скоростного градиента позволяет найти подходящее значение , т. е. значение, стабилизирующее желаемое состояние. На Рис. 5.1(d) показанаэволюция целевой функции (5.3), которая, как видно, стремится к нулю.Рассмотрим другую целевую функцию, основанную на параметре порядка Курамото⃒⃒⃒⃒∑︁1 ⃒ ⃒1 = ⃒.⃒⃒ ⃒ =1(5.5)Значение этого параметра может быть легко измерено у реальных систем, например, у лазеров.Очевидно, что 1 = 1 тогда и только тогда, когда наступает фазовая синхронизация. Для другихсостояний 1 < 1.
Используя это наблюдение, приходим к следующей целевой функции1 ∑︁ ∑︁ −2 = 1 − 2. =1=1(5.6) ˙Вычисляя ˙ = −Γ 2 , выводим адаптивный закон подстройки:2˙ = Γ 2 ∑︁∑︁=1 =1sin( − )∑︁(︂=1)︂,cos( + , − ) − cos .(5.7)На Рис. 5.2 представлены результаты численного моделирования. Значения параметров такиеже как на Рис. 5.1. Как и прежде, амплитуды и фазы сходятся к значениям, соответствующимфазовой синхронизации. В то же время, предельное значение не совпадает со значением, длякоторого аналитически доказана устойчивость фазовой синхронизации [35]. Это объясняется тем,что существует целый интервал приемлемых значений , для которых фазовая синхронизацияустойчива.
Алгоритм скоростного градиента находит одно из этих значений. То, к какому именнозначению сойдётся , определяется начальными условиями.56Рисунок 5.2: Адаптивная стабилизация фазовых синхронных колебаний с помощью целевойфункции (5.6). (a): Изменение амплитуд = | | ( = 1, ..., 6); (b): разности фаз∆ = − +1 ( = 1, ..., 5); (c): изменение параметра , пунктирная линия – значение,полученное с помощью общей функции устойчивости для Ω0 = 0.92; (d): целевая функция.5.3Кластерная и равномерно-фазовая синхронизацияЗадача стабилизации кластерного и равномерно-фазового синхронного состояния будет рассмотрена для сети осцилляторов, соединённых в⎛0⎜⎜⎜0⎜⎜.
= ⎜ ..⎜⎜⎜0⎝1кольцо. В этом случае матрица связей имеет вид:⎞1 0 ··· 0⎟⎟0 1 · · · 0⎟⎟.. .. . . .. ⎟. .⎟ .. .⎟⎟0 0 · · · 1⎟⎠0 0 ··· 0Пусть 1 6 6 − 1. Тогда число кластеров вычисляется по формуле = НОК(, )/, гдеНОК – наименьшее общее кратное. Равномерно-фазовая синхронизация соответствует = , акластерная синхронизация 1 < < .
В этом случае аналогом целевой функции (5.3) являетсяфункция вида)︂2 (︂1 ∑︁23 = − +1 −,2 =1где +1 = 1 .57(5.8)Целевая функция (5.8) имеет существенный недостаток: она зависит от того, как перенумерованы узлы, т. е. 3 = 0 только при определённой последовательности узлов. Чтобы избежатьэтого, расширим целевую функцию (5.6). Для этого заметим, что∑︁ = 0(5.9)=1для равномерно-фазовой и кластерной синхронизации. Определим обобщённый параметр порядка1 =⃒ ⃒⃒∑︁⃒⃒⃒ ⃒ ,⃒⃒⃒(5.10)=1где ∈ N. Если теперь вывести целевую функцию по аналогии с (5.6), используя параметрпорядка (5.10), то полученная функция будет равна нулю и при фазовой синхронизации, и прикластерной синхронизации с кластерами, где — делитель .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
