Диссертация (1149229), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Например, рассмотрим сеть,состоящую из шести узлов. Состояния, для которых выполнены условия (5.9) и (5.10) с = 1, = 6, схематично изображены на Рис. 5.3(a–c).Рисунок 5.3: Состояния узлов при (a): равномерно-фазовой синхронизации ( = 6); (b):синхронизации трёх кластеров ( = 3); (c): синхронизации двух кластеров ( = 2). Всекластеры содержат одинаковое число узлов.Рассмотрим функцию1 ∑︁ ∑︁ − () = 2. =1=1(5.11)В случае равномерно-фазовой синхронизации (Рис.
5.3(a)) получаем 1 = 2 = 3 = 0, в то времякак при 3-х кластерной синхронизации (Рис. 5.3(b)) и 2-х кластерной синхронизации (Рис. 5.3(c))∑︀имеем 1 = 2 = 0, 3 = 1 и 1 = 3 = 0, 2 = 1, соответственно. Итак, = 0 тогда и толькотогда, когда имеет место кластерная синхронизация с кластерами (сумма берётся по всемделителям ).Объединяя выше изложенные идеи, приходим к следующей целевой функции:4 = 1 − () +2258∑︁|,16< (),(5.12)где | означает, что делитель . Целевая функция (5.12) состоит из главного члена 1 − ,к которому прибавляются «штрафные» слагаемые, чтобы целевая функция не равнялась нулю ˙в состояниях, которые нас не интересуют.
Вычисляя ˙ = −Γ 4 , получаем адаптивный законподстройки˙ = −Γ ∑︁∑︁=1 =1{︃∑︁ sin[( − )]|,1≤<}︃ ]︂[︂∑︁2,− 2 sin[( − )]cos( + , − ) − cos() . (5.13)=1Рисунок 5.4: Адаптивная стабилизация равномерно-фазовой синхронизации с целевойфункцией (5.12). (a): Изменение амплитуд = | |; (b): разности фаз ∆ = − +1 ; (c):изменение параметра , пунктирная линия – значение, полученное с помощью общей функцииустойчивости для Ω1 = 0.96; (d): целевая функция.На Рис. 5.4 показаны результаты численного моделирования для стабилизации равномернофазовой синхронизации ( = = 6, = 1).
Значения параметров такие же как на Рис. 5.1.Разности фаз ∆ = − +1 = 2 − 2/ соответствуют равномерно-фазовой синхронизации. На Рис. 5.4(c) видно, что настраиваемое значение сходится к значению, для которогоустойчивость была доказана аналитически в [35].На Рис. 5.5 и 5.6 приведены результаты численного моделирования для стабилизации двухкластерной ( = 2, = 3) и трёх-кластерной ( = 3, = 2, 4) синхронизации, соответственно.59Рисунок 5.5: Адаптивная стабилизация двух-кластерной синхронизации ( = 3) с целевойфункцией (5.12).
(a): Изменение амплитуд = | |; (b): разности фаз ∆ = − +1 ; (c):изменение параметра , пунктирная линия – значение, полученное с помощью общей функцииустойчивости для Ω3 = 1.08; (d): целевая функция.Значения параметров такие же как на Рис. 5.1. Как и прежде, получаемое значение приближается к полученному аналитически в [35].Метод скоростного градиента позволяет стабилизировать синхронное состояние системы спомощью адаптивной подстройки фазы связей. Для этого необходимо лишь выбрать целевуюфункцию, соответствующую желаемому состоянию.
Однако до сих пор моделирование проводилось для одних и тех же значений параметров = 0.08 и = 0.52.Для случая равномерно-фазовой синхронизации сети четырёх осцилляторов Ландау-Стюарта,соединённых в кольцо, был проведён более детальный анализ сходимости описанного алгоритмаподстройки. На Рис. 5.7 изображена частота сходимости алгоритма в зависимости от амплитудысвязей и запаздывания . Значения остальных параметров такие же как на Рис. 5.1. Согласно [35] существует такое значение фазы связей, которое обеспечивает устойчивость равномернофазового синхронного состояния для произвольных значений и . Численное моделированиебыло проведено для 20 различных начальных условий, которые выбирались произвольно из[−1, 1] × [−, ] для каждого осциллятора. На Рис.
5.7 изображена частота успешной подстройкипараметра , при которой состояние асимптотически стремится к равномерно-фазовому син60Рисунок 5.6: Адаптивная стабилизация трёх-кластерной синхронизации ( = 2, 4) с целевойфункцией (5.12). (a): Изменение амплитуд = | |; (b): разности фаз ∆ = − +1 , (c):изменение параметра , пунктирная линия – значение, полученное с помощью общей функцииустойчивости для Ω2 = 1.03; (d): целевая функция.хронному состоянию. Как видно, величина допустимой амплитуды связей уменьшается приувеличении . По-видимому, это сужение происходит из-за нескольких причин.
Во-первых, приувеличении и устойчивыми становятся сразу несколько состояний, что сужает областьпритяжения желаемого состояния. Во-вторых, уравнение (5.13), которое описывает закон подстройки фазы связей, зависит от запаздывания . При слишком большом запаздывании параметр «проскакивает» подходящее значение.Все представленные выше результаты относились к сетям с идентичными узлами. В[35] было показано, что, используя подходящее значение , можно обеспечить устойчивостьравномерно-фазовой и кластерной синхронизации для узлов с мало отличающейся частотой .На Рис. 5.8 и 5.9 изображены результаты численного моделирования адаптивной стабилизациитрёх-кластерной синхронизации для сети осцилляторов с отличающимися параметрами и .Значения этих параметров выбирались случайным образом по нормальному закону распределения со средними значениями = 0.1 и = 1, соответственно, и стандартными отклонениями1% (Рис.
5.8) и 5% (Рис. 5.9) для обоих параметров. Значения остальных параметров такие жекак на Рис. 5.1. Как видно, для малых значений стандартного отклонения цель управления до-61Рисунок 5.7: Сходимость алгоритма скоростного градиента в зависимости от значенийпараметров и для равномерно-фазовой синхронизации сети четырёх осцилляторовЛандау-Стюарта, соединённых в кольцо.стигается примерно после одинакового времени моделирования. Однако для большего значениястандартного отклонения подстройка занимает больше времени и целевая функция 4 не стремится к нулю, как это было в случае идентичных узлов.
Осцилляторы не синхронизируются доконца, поскольку их амплитуды и частоты колебаний не совпадают, что можно видеть на Рис. 5.8,5.9(a,b). Это объясняет строгую положительность целевой функции.62Рисунок 5.8: Адаптивная стабилизация трёх-кластерного синхронного состояния ( = 2, 4) всети с неидентичными осцилляторами с целевой функцией (5.12). (a): Изменение амплитуд = | |; (b): разности фаз ∆ = − +1 ; (c): изменение параметра , пунктирная линия –значение, полученное с помощью общей функции устойчивости для Ω2 = 1.03; (d): целеваяфункция.Рисунок 5.9: То же, что и на Рис. 5.8, но со стандартным отклонением 5%.63ЗаключениеВ заключение перечислим основные научные результаты работы:1.
получены условия синхронизации сетей идентичных систем Лурье с мгновенными и запаздывающими нелинейными связями с помощью децентрализованного адаптивного регулятора (Теоремы 2.1–2.4) [38, 47, 80, 81, 85].2. для сетей идентичных систем Лурье с ограниченными возмущениями предложен адаптивный закон управления с регуляризацией, получены условия предельной ограниченностиразностей состояний подсистем (Теоремы 2.5–2.6) [46, 83].3. для идентичных систем Лурье с липшицевыми нелинейностями получены условия синхронизации с помощью двух типов консенсусного регулятора по выходам с переменнымограниченным запаздыванием (Теоремы 3.1, 3.2) [6, 84].4. получены условия полуглобальной стабилизации линейных систем с помощью адаптивногорегулятора на основе пассификации при наличии переменного неизвестного запаздыванияв измерениях и управлении (Теорема 4.1) [82].5.
для линейных систем, адаптивно управляемых через сеть, получены условия на границы периода дискретизации и сетевых запаздываний, обеспечивающие асимптотическуюустойчивость [82].6. на основе метода скоростного градиента предложен алгоритм адаптивной подстройки фазысвязей в сети осцилляторов Ландау-Стюарта, обеспечивающий устойчивость кластерныхсинхронных состояний [17, 34].64Список рисунков2.12.2Фазовый портрет системы-лидера .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31∑︀Значение () = 4=1 ‖ () − ()‖2 : A – в течение 500 секунд моделирования;B – в течение первых 35 секунд моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3Подстраиваемые параметры ( = 1, . . . , 4) .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1Система, управляемая через сеть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2Нормы состояний для 5 различных случайно выбранных начальных условий . . . 524.3Адаптивно подстраиваемые коэффициенты () для 5 различных случайно выбранных начальных условий (сплошная линия); значение * = 4.61 (пунктирнаялиния). . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.1Адаптивная стабилизация фазовых синхронных колебаний с помощью целевойфункции (5.3). (a): Изменение амплитуд = | | ( = 1, ..., 6); (b): разности фаз∆ = − +1 ( = 1, ..., 5); (c): изменение параметра , пунктирная линия –значение, полученное с помощью общей функции устойчивости для Ω0 = 0.92;(d): целевая функция. . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
